重庆市九龙坡区2025-2026学年高一第二学期期末学业质量测评数学试题 含答案解析

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.2.在中，角的对边分别为，已知，则角（）A. B. C.或 D.3.已知三边长分别为3，4，5，以最长边所在直线为旋转轴，将三角形其余两边旋转一周形成旋转体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.4.火箭军甲、乙两支导弹部队分别向同一艘敌方航母发射一枚导弹，甲部队导弹命中航母的概率为0.8，乙部队导弹命中航母的概率为0.9，两支部队发射导弹是否命中航母相互独立，则该航母被导弹命中的概率为（）A.0.26 B.0.72 C.0.98 D.0.025.已知，则（）A. B.C. D.6.要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（）A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度C.横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度7.如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点.若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（）A. B. C. D.8.如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且直线与平面所成的角的余弦值为，则二面角的平面角的正弦值为（）A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（）A.当点位于第四象限时，B.是为纯虚数的充分不必要条件C.当时，D.当时，；时，，则10.在中，，，对边分别是，，，且，则下列说法正确的有（）A.B.若是锐角三角形，则的取值范围是C.若的面积为，则的外接圆半径的最小值为D.若，则取最大值时11.如图，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同.设，则下列说法正确的是（）A.该多面体的表面积为B.一只蚂蚁从石凳表面的点爬到点，最短距离为C.设为平面截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为D.该多面体外接球的体积为三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知古典概型样本空间满足:，，，，则概率_____.13.若复数在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____.14.设函数，当时，曲线与有两个不同的交点，则的取值范围为_____.四、解答题:本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在直三棱柱中，，为中点，.证明：（1）平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.16.为提高市民的法治观念，某区组织了线上法律知识竞赛.欲了解全区参赛者的成绩分布情况，从所有参赛者中随机抽取100名参赛者的成绩作为样本，经统计发现成绩范围为40~100分.现将成绩分成6组，第一组至第六组依次为[40，50)，[50，60)，…，90，100，并绘制出如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；(保留一位小数)（3）采用分层抽样的方法，从第一组、第六组中共抽取5人，在抽取的5人中随机抽取2人，则这2人在同一组的概率是多少?17.已知向量.（1）当时，求的解集；（2）若，求的值.18.如图，在中，角所对的边分别为，且满足，过内一点的直线分别与直线交于点，记与的夹角为.（1）求角；（2）若为的垂心，，求的值；（3）若为的重心，且，求的值.19.如图，三棱锥中，是正三角形，，，，，点，，分别为线段，，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）在三棱锥中，设平面与平面的交线为.（i）证明：；（ii）若点为上的动点，且，两点位于平面的同侧，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：

，所以

复数

的共轭复数为.2.在中，角的对边分别为，已知，则角（）A. B. C.或 D.答案：C解析：思路：利用正弦定理即可得解.解答过程：在中，，由正弦定理可得，可得，又，或.故选：C.3.已知三边长分别为3，4，5，以最长边所在直线为旋转轴，将三角形其余两边旋转一周形成旋转体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：三边长分别为3，4，5，由，得为直角三角形，该直角三角形斜边上的高为，以斜边所在直线为轴旋转一周所得旋转体，旋转体是共底面且高的和为5的两个圆锥组成，两个圆锥的底面圆半径为，所以该几何体的体积.4.火箭军甲、乙两支导弹部队分别向同一艘敌方航母发射一枚导弹，甲部队导弹命中航母的概率为0.8，乙部队导弹命中航母的概率为0.9，两支部队发射导弹是否命中航母相互独立，则该航母被导弹命中的概率为（）A.0.26 B.0.72 C.0.98 D.0.02答案：C解析：思路：通过计算两枚导弹均未命中航母的对立事件概率，即可得到航母被命中的概率.解答过程：设事件为“甲部队导弹命中航母”，事件为“乙部队导弹命中航母”，由题意得，，且、相互独立，因此其对立事件、也相互独立.航母未被命中的概率为两枚导弹均未命中的概率，即

“航母被命中”与“航母未被命中”为对立事件，根据对立事件概率计算公式，航母被命中的概率.5.已知，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，所以，所以，所以.6.要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（）A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度C.横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度D.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度答案：B解析：解答过程：将正弦曲线的横坐标伸长为原来的2倍，得曲线，再将所得曲线的纵坐标缩短为原来的，得曲线，然后将所得曲线向右平移个单位长度，得曲线，ACD错误，B正确.7.如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点.若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将用表示，建立的方程.解答过程：由题意，点为边上靠近的三等分点，则，所以

，已知，，所以

，因为三点共线，且不在直线上，所以与的系数之和为，即，整理得：.

8.如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且直线与平面所成的角的余弦值为，则二面角的平面角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得的正弦值.解答过程：在平行四边形中，，，，在中，根据正弦定理，，即，解得，所以，即，则，且，，翻折后，如图，分别取的中点，连接，则，所以，故是二面角的平面角，过点作于点，连接，由，，平面，平面，可得平面，因为平面，所以，又，平面，平面，可得平面.所以是直线与平面所成的角.在中，，则，，在中，，则.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（）A.当点位于第四象限时，B.是为纯虚数的充分不必要条件C.当时，D.当时，；时，，则答案：BC解析：思路：对于选项A，根据点位于第四象限，求出的取值范围判断；对于选项B，先判断时，是否为纯虚数，再判断为纯虚数时，的值是否为3；对于选项C，当时，求出复数，求其模判断；对于选项D，分别求出复数判断.解答过程：对于选项A，由点位于第四象限，则，解得或，所以，故选项A错误；对于选项B，当时，，所以复数为纯虚数；由复数为纯虚数，得且，解得或，所以是为纯虚数的充分不必要条件，故选项B正确；对于选项C，当时，，所以，故选项C正确；对于选项D，当时，，所以；当时，，所以，因为为虚数，不能比较大小，故选项D错误.10.在中，，，对边分别是，，，且，则下列说法正确的有（）A.B.若是锐角三角形，则的取值范围是C.若的面积为，则的外接圆半径的最小值为D.若，则取最大值时答案：ACD解析：思路：对于A，根据正余弦定理求解即可；对于B，根据正弦定理及两角差的正弦公式，结合同角三角函数关系及正切函数性质求解即可；对于C，根据正余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可；对于D，根据正弦定理及两角差的正弦公式，辅助角公式求解即可.解答过程：对于A，由，得，即.由正弦定理得.由余弦定理得.因为，所以，A正确.对于B，若是锐角三角形，，则，且，所以.由正弦定理得.因为，所以，，，所以，即，B错误.对于C，已知，则，所以.由余弦定理得，当且仅当时取等号，此时.由正弦定理得，外接圆半径，C正确.对于D，若，由正弦定理得，.则，其中，.当，即时，取得最大值，此时，D正确.11.如图，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同.设，则下列说法正确的是（）A.该多面体的表面积为B.一只蚂蚁从石凳表面的点爬到点，最短距离为C.设为平面截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为D.该多面体外接球的体积为答案：BCD解析：思路：根据几何体的表面形状，计算表面积，判断A，转化为展开图的两点间距离计算点之间的最短距离，判断B，首先得到截面形状，再根据数量积的几何意义，判断C，求几何体外接球的球心和半径，再代入球的体积公式，判断D.解答过程：A.该多面体由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形构成，所以该多面体的表面积为，故A错误；B.点所在的正方形和点所在的等边三角形放在同一个平面，如下图，，根据余弦定理，,所以，根据平面内两点间线段距离最近，可知由点到点的最近距离为，故B正确；C.平面截该几何体所得截面为正六边形，当点与点重合时，此时在方向上的投影最大，最大值为，所以的最大值为，当点与点重合时，此时在方向上的投影最小，最小值为，所以的最小值为，所以的取值范围为，故C正确；D.因为，所以原正方体的棱长为,该几何体外接球的球心为正方体的中心，，所以该几何体外接球的体积为，故D正确.三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知古典概型样本空间满足:，，，，则概率_____.答案：解析：解答过程：，已知，，，则，，，，.13.若复数在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____.答案：解析：思路：根据复数模的公式，结合圆的方程进行求解即可.解答过程：设，因此点的坐标为，，显然方程表示以为圆心，为半径的圆，方程表示以为圆心，为半径的圆，所以满足条件的点组成的图形为同心圆，组成的圆环（下图阴影部分），面积为.14.设函数，当时，曲线与有两个不同的交点，则的取值范围为_____.答案：解析：思路：利用分段函数结合函数奇偶性，应用单调性得出函数值域结合交点个数得出参数求解.解答过程：当时，与有两个不同的交点，所以有两个不同的根，所以有两个不同的根，所以当时，与有两个不同的交点，当时，，所以是偶函数，当时，单调递减，所以所以当时，，与有一个交点，因为是偶函数，所以当时，，与有一个交点，所以当时，，与有两个不同交点，所以当时，，与有两个不同的交点.四、解答题:本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在直三棱柱中，，为中点，.证明：（1）平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.答案：（1）证明：由直三棱柱

，可得由直三棱柱

得所以，由得，.（2）.解析：思路：（1）由已知易证，进而可得，可得结论；（2）连接，可得异面直线与所成的角，据此计算即可.（1）略.（2）连接，如图所示则，所以，，所以，因此异面直线与所成的角，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.16.为提高市民的法治观念，某区组织了线上法律知识竞赛.欲了解全区参赛者的成绩分布情况，从所有参赛者中随机抽取100名参赛者的成绩作为样本，经统计发现成绩范围为40~100分.现将成绩分成6组，第一组至第六组依次为[40，50)，[50，60)，…，90，100，并绘制出如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；(保留一位小数)（3）采用分层抽样的方法，从第一组、第六组中共抽取5人，在抽取的5人中随机抽取2人，则这2人在同一组的概率是多少?答案：（1）（2）中位数为，平均数为（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于建立方程求解.（2）利用频率分布直方图中，中位数和平均数计算公式即可.（3）先根据分层抽样确定各组抽取的人数，再利用古典概型概率公式计算.（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）中位数为.平均数为.（3）第一组的频数为，第六组的频数为.两组共人，采用分层抽样抽取人，抽样比为.从第一组抽取人，记为；从第六组抽取人，记为.从这人中随机抽取人，所有可能的情况有共10种.其中人在同一组的情况有共4种.所以所求概率为.17.已知向量.（1）当时，求的解集；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据，得，由向量数量积的坐标运算及三角函数关系式得，从而解出的值；（2）由（1）得，通过三角函数关系式求出的值.（1）由，得.，所以，则或，解得，或.所以的解集为.（2），化简得，.令，则，.18.如图，在中，角所对的边分别为，且满足，过内一点的直线分别与直线交于点，记与的夹角为.（1）求角；（2）若为的垂心，，求的值；（3）若为的重心，且，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理化边为角后求解；（2）利用及数量积的定义求解；（3）由已知条件结合余弦定理求得，确定是等腰直角三角形，再确定重心的位置求得，然后由正弦定理求得，再根据数量积的定义求解.（1）因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，即，是三角形内角，所以；（2）为的垂心，则，即，所以，，所以，所以；（3），所以，，又由余弦定理得，所以，由，解得，所以，，设是斜边中点，则重心在上，且，所以，所以，中，，，，由正弦定理得，，所以.19.如图，三棱锥中，是正三角形，，，，，点，，分别为线段，，的中点.（1）求点到平面的距离；