重庆市主城区七校联考2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则等于A. B. C. D.2.已知，，若，则（

）A. B. C. D.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.或4.已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知事件，互斥，事件A发生的概率，事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（）A. B. C. D.6.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为9B.已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为7C.用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1D.已知事件A与事件相互独立，若，，则，10.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A.复数是纯虚数，则或1B.若，则的最大值为C.若，则D.若是关于的方程（p，）的一个根，则11.如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是6 B.三棱锥的体积为定值C.的最小值为 D.直三棱柱的外接球表面积是三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.某中学高一年级有男生600人，女生400人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样的方法．得到容量为100的样本，则应抽取的女生人数为_______．13.记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______.14.已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为_______．四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某次测试后，从全校成绩中抽取名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）若落在中的样本数据的平均数为，方差为；落在中的样本数据的平均数为，方差为，求这两组数据的总平均数和总方差.16.如图，在正方体中，E是的中点．（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求证：平面ACE；17.为了普及法律知识，某区组织了一次中学生法律知识的竞赛．在半决赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且每个人回答正确与否相互之间没有影响．（1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值；（2）求甲队得分与乙队得分为的概率．18.在中，角，，所对的边分别为，，，满足（1）求角．（2）为边上一点，且．①若，求的最小值；②若为角平分线，求的取值范围．19.如图，直三棱柱中，，，为线段上的动点（不含端点）．（1）当为线段上的中点时，证明：平面；（2）记平面与平面，平面，平面，平面所成的角分别为，，，，，求的取值范围．

数学考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则等于A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：∵复数∴故选B2.已知，，若，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，且，所以，即.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.或答案：C解析：解答过程：因为中，，，，，所以，因为，所以，解得，即，解得，则或，因为，所以，因为，所以不可能为，只能是锐角，即.故选项C正确.4.已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据题意结合数量积的几何意义运算求解.解答过程：因为点，分别为，的中点，则，且在方向上的投影数量为2，所以.故选：B.5.已知事件，互斥，事件A发生的概率，事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为事件，互斥，所以，即，事件，都不发生的概率是，则，选项B正确.6.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意得解得，又圆锥的表面积，即可求得，又即可求得高，最后由圆锥的体积公式即可求解.解答过程：设圆锥的母线为，底面半径为，高为，所以有解得，又圆锥的表面积为，解得，即，所以，所以圆锥的体积为，故选：C.7.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合锐角的条件确定角的范围为，利用正弦定理和三角恒等变换得到的取值范围，根据三角形面积公式推导得边上的高，结合的范围即可得到高的取值范围，选出对应选项.解答过程：设边上的高为，推导过程如下：三角形面积满足：，代入，化简得：

2h=ab⋅由正弦定理：，得，因此.因为锐角中，，且代入，因为锐角,所以

，所以

，解右半部分不等式：

3π4−A<所以可得的取值范围：

，​化简：

由，得，因此：

8.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：根据液体体积不变列方程求解可得.解答过程：记侧面水平放置时，液面与分别交于，的中点为，连接交于点，的面积为，由题可知，，则，所以，则梯形的面积为，所以直棱柱的体积为，又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为，所以，解得.故选：D.二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为9B.已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为7C.用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1D.已知事件A与事件相互独立，若，，则，答案：CD解析：解答过程：A：根据方差性质：数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，A错误；B：一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，故总和为35，所以加入三个新数据3，5，7后的平均数为，故B错误；C，依题意，简单随机抽样中，个体被抽到的概率为，故C正确；D，，，且与相互独立，所以，，故D正确.10.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A.复数是纯虚数，则或1B.若，则的最大值为C.若，则D.若是关于的方程（p，）的一个根，则答案：BD解析：解答过程：选项A，由题意得是纯虚数，所以且，所以，故A错误；选项B，由题意得表示复数在复平面对应点在以原点为圆心，半径的圆上；可得表示圆上点到定点的距离，而原点到距离为，圆上点到定点最远距离是，故B正确；选项C，取，，但，，故C错误；选项D，由题意得若是根，则另一根为，由韦达定理得到，故D正确.11.如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是6 B.三棱锥的体积为定值C.的最小值为 D.直三棱柱的外接球表面积是答案：ABD解析：思路：A选项，求出，从而根据柱体体积公式得到答案；B选项，为定值，点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，由勾股定理求出最小值；D选项，将直三棱柱补形为长方体，求出外接球半径，得到外接球表面积.解答过程：A选项，直三棱柱中，，所以，直三棱柱的体积是，A正确；B选项，矩形的面积为，当是侧棱上运动时，为定值，又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示，连接，与相交于点，故的长即为的最小值，故最小值为，的最小值为5，C错误；D选项，将直三棱柱补形为长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球，故外接球的半径为，表面积为，D正确,故选：ABD方法提示：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.某中学高一年级有男生600人，女生400人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样的方法．得到容量为100的样本，则应抽取的女生人数为_______．答案：40解析：思路：利用比例分配的分层抽样的性质直接求解．解答过程：由比例分配的分层抽样得：女生应该抽取：．13.记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______.答案：2解析：思路：根据三角形面积公式、向量的数量积及余弦定理求解即可.解答过程：由的面积为，即，又，两式相除得，又，所以，所以，又，所以.由余弦定理，所以.14.已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为_______．答案：解析：思路：分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果．解答过程：由题意设三棱台为，如图，上底面所在平面截球所得圆的半径是，（为上底面截面圆的圆心）下底面所在平面截球所得圆的半径是，（为下底面截面圆的圆心）由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，设球的半径为，当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，解得，因此球的体积是；当在的延长线上时，可得，无解.所以正三棱台的外接球的体积是.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某次测试后，从全校成绩中抽取名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）若落在中的样本数据的平均数为，方差为；落在中的样本数据的平均数为，方差为，求这两组数据的总平均数和总方差.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.（1）由，解得；（2）由题意可得，落在的样本个数为：，样本平均成绩为，样本方差为，落在的样本个数为：，样本平均成绩为，样本方差为，两组样本成绩合并后的平均数为：，方差为：．16.如图，在正方体中，E是的中点．（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求证：平面ACE；答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角其即为异面直线和所成角，从而得解；（2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，即可得到，从而得证.（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线和所成角，又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为；（2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点，又因为E为的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE．17.为了普及法律知识，某区组织了一次中学生法律知识的竞赛．在半决赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且每个人回答正确与否相互之间没有影响．（1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值；（2）求甲队得分与乙队得分为的概率．答案：（1），（2）解析：思路：（1）（2）分别求出对应事件的概率，再结合独立事件的概率公式求解即可.（1）记甲队三人回答正确分别为事件、、，则、、相互独立，且，，，记乙队三人回答正确分别为事件、、，则、、相互独立，且，得到，故.（2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为的概率为，则，且，即甲队得分与乙队得分为的概率为.18.在中，角，，所对的边分别为，，，满足（1）求角．（2）为边上一点，且．①若，求的最小值；②若为角平分线，求的取值范围．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由正弦定理及三角