新高考高三物理 曲线运动与万有引力 分层学习手册

高中物理·曲线运动与万有引力分层学习手册适用对象：河南省2026届高三学生（新高考I卷，物理单科100分，考查范围覆盖必修二与选择性必修一相关内容）。分值占比：本专题（曲线运动、圆周运动、万有引力与航天）在新高考I卷中约占总分10%–12%，即约10–12分，常以1道选择题（4分）+1道计算/实验题（6分左右）形式出现，属于"中低难度、稳拿分"板块。三档说明：入门档（基础薄弱生）：目标是"会认、会代、会算最基础题"，掌握曲线运动条件、平抛、圆周基础、万有引力定律公式，确保选择题和第一问不丢分。基础档（多数学生）：目标是"中档题拿满分"，熟练平抛计算、圆周临界、天体环绕（含黄金代换、第一宇宙速度），形成解题模板。精进档（优秀生）：目标是"压轴小问不丢分"，掌握类平抛、双星、变轨、追及相遇等综合模型，提升建模与运算能力。一、入门档（基础薄弱生）知识点1.曲线运动的条件速度方向：沿轨迹切线方向，时刻改变⇒曲线运动一定是变速运动（速度矢量变）。条件：物体所受合外力（合力）与速度方向不在同一直线上。合力恒定且与初速垂直但不共线⇒做类平抛（抛物线）；合力指向圆心⇒圆周运动。2.平抛运动（水平抛出，只受重力，a=g竖直向下）x=v_0t,y=1/2gt^2v_x=v_0,v_y=gt,v=√(v_x^2+v_y^2)速度偏角θ：\tanθ=v_y/v_x=gt/v_0位移偏角α：\tanα=y/x=gt/2v_0重要关系：\tanθ=2\tanα3.圆周运动基础（匀速圆周运动）v=ωr,ω=2πf=2π/Ta=v^2/r=ω^2r=ωv（向心加速度，指向圆心）向心力F_n=ma=mv^2/r=mω^2r（是效果力，由合力提供）4.万有引力定律F=Gm_1m_2/r^2G=6.67×10^-11N·m^2/kg^2，方向沿两质点连线，相互吸引。适用：质点间，或质量分布均匀球体（r取球心距）。例题1（曲线运动条件·概念判断）题目关于曲线运动，判断下列说法的正误，并简要说明理由：（1）曲线运动的速度方向一定变化；（2）曲线运动的加速度可以为零；（3）做曲线运动的物体所受合力一定与速度方向不在同一直线上；（4）曲线运动一定是变速运动。解析（1）正确。曲线运动速度沿切线方向，轨迹弯曲⇒方向时刻在变。（2）错误。加速度a=\dfrac{F_合}{m}，曲线运动F_合\neq0⇒a\neq0。（3）正确。这正是曲线运动的条件（若共线则做直线加/减速运动）。（4）正确。速度是矢量，方向变即速度变⇒一定是变速运动。易错提醒错把"曲线运动"与"匀变速"对立。曲线运动也可以是匀变速（如平抛，加速度恒为g）。判断曲线只看"合力与速度是否共线"。答案（1）对；（2）错；（3）对；（4）对。例题2（平抛运动·详细计算）题目从距地面高h=0.8m的桌边水平抛出一小球，初速度v_0=3m/s，取g=10m/s^2。求：（1）在空中飞行时间t；（2）水平射程x；（3）落地时速度大小v及速度与水平方向夹角θ。解析第（1）问：竖直方向自由落体，y=1/2gt^2=ht=√(2h/g)=√(2×0.8/10)=√(0.16)=0.4s第（2）问：水平方向匀速，x=v_0t=3×0.4=1.2m第（3）问：落地竖直分速度v_y=gt=10×0.4=4m/sv=√(v_0^2+v_y^2)=√(3^2+4^2)=√(25)=5m/s\tanθ=v_y/v_0=4/3≈1.333⇒θ≈53^\circ易错提醒1.飞行时间只由高度决定，与v_0无关；2.落地速度是合速度，不是水平速度；3.不要混淆"速度偏角"与"位移偏角"：此处\tanθ=v_y/v_0是速度角。答案t=0.4s；x=1.2m；v=5m/s，θ≈53^\circ。例题3（圆周运动基础·详细计算）题目一物体做匀速圆周运动，轨道半径r=0.5m，角速度ω=2rad/s。求：（1）线速度v；（2）向心加速度a。解析第（1）问：v=ωr=2×0.5=1m/s第（2）问：用两种算法验证a=v^2/r=1^2/0.5=2m/s^2a=ω^2r=2^2×0.5=4×0.5=2m/s^2(一致，结果可信)易错提醒1.v=ωr中ω单位必须是rad/s（弧度每秒），不是rpm或°/s；2.向心加速度不改变速度大小，只改变速度方向，方向始终指向圆心；3."向心力"是合力效果命名，不能说"物体受到一个向心力"，要找是谁提供的（绳拉力、重力、支持力等）。答案v=1m/s；a=2m/s^2。例题4（万有引力定律·直接代公式）题目真空中两质点质量分别为m_1=2kg、m_2=3kg，相距r=0.1m，引力常量G=6.67×10^-11N·m^2/kg^2。求它们之间的万有引力大小。解析直接代入万有引力定律：F=Gm_1m_2/r^2=6.67×10^-11×2×3/(0.1)^2

=6.67×10^-11×6/0.01易错提醒1.r是两质点（或两球心）之间的距离，平方在分母，别漏平方；2.宏观物体间引力极小，日常感觉不到是正常的；3.计算时注意数量级，10^-11×10^2=10^-9这一级容易算错指数。答案F≈4.0×10^-8N。二、基础档（多数学生）知识点（配解题模板）1.平抛运动计算模板分解：水平x=v_0t、竖直y=\frac12gt^2；求时间：由竖直位移或竖直速度定t；合速度：v=√(v_0^2+(gt)^2)，偏角\tanθ=gt/v_0；合位移：s=√(x^2+y^2)，偏角\tanα=y/x；牢记：\tanθ=2\tanα（速度角是位移角的2倍）。2.圆周运动临界问题模板绳模型（只能拉不能推）：竖直平面内最高点最小速度满足mg=m\dfrac{v_\min^2}{r}⇒v_\min=√(gr)（此时绳恰好无力）；杆/管模型：最高点速度可为0（支持力向上抵消重力）；通式：最高点F_向=mg\pmF_N=mv^2/r（向下为正，绳模型取"-"且F_N\ge0）。3.天体环绕（核心方程）GMm/r^2=mv^2/r=mω^2r=m4π^2/T^2r=ma_n由此得：高轨低速大周期——r越大，v、ω越小，T越大。线速度v=√(GM/r)；周期T=2π√(r^3/GM)。4.黄金代换在天体表面：mg=GMm/R^2⇒GM=gR^2（R为天体半径）凡题中给"表面重力加速度g"和"半径R"，优先用此式消去未知M。5.第一宇宙速度（最大环绕速度、最小发射速度）v_1=√(GM/R)=√(gR)地球：R≈6400km，g≈9.8m/s^2（取10时算得8.0km/s，标准值约7.9km/s）。例题1（平抛综合计算）题目从高度h=45m的塔顶水平抛出一物体，初速度v_0=20m/s，取g=10m/s^2。求：（1）飞行时间；（2）水平射程与合位移大小；（3）落地速度大小及速度偏角。解析（1）t=√(2h/g)=√(90/10)=3s（2）水平射程x=v_0t=20×3=60m合位移s=√(x^2+y^2)=√(60^2+45^2)=√(3600+2025)=√(5625)=75m（3）v_y=gt=30m/s，v=√(20^2+30^2)=√(1300)=10√(13)≈36.1m/s\tanθ=v_y/v_0=30/20=1.5⇒θ≈56.3^\circ易错提醒合位移与合速度方向不同！位移偏角\tanα=45/60=0.75，验证了\tanθ=2\tanα（1.5=2×0.75）。别把两者混为一谈。答案t=3s；x=60m，s=75m；v≈36.1m/s，θ≈56.3^\circ。例题2（圆周临界·绳模型最高点）题目长为L=0.5m的轻绳系一质量m=0.2kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，g=10m/s^2。求：（1）最高点恰能过圈的最小速度；（2）若最高点速度为v=3m/s，此时绳的拉力。解析（1）临界条件：重力恰好提供向心力，mg=m\dfrac{v_\min^2}{L}v_\min=√(gL)=√(10×0.5)=√(5)≈2.24m/s（2）最高点受力：重力+绳拉力均向下，提供向心力mg+T=mv^2/L⇒T=m(v^2/L-g)T=0.2×(3^2/0.5-10)=0.2×(18-10)=0.2×8=1.6N易错提醒1.绳模型最高点必须有速度才能过圈（最小√(gL)）；杆模型才可以速度为0；2.向心力方程是"合力=向心力"，先受力分析再列mg+T=mv^2/L，别漏重力；3.若算出T<0说明该速度下绳已松弛，物体做抛体运动而非圆周。答案v_\min≈2.24m/s；T=1.6N。例题3（天体环绕·黄金代换应用）题目人造卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r=2R（R为地球半径，R=6400km），地球表面重力加速度g=10m/s^2。求卫星的线速度v和周期T。解析由黄金代换GM=gR^2，环绕方程GMm/r^2=mv^2/r：v=√(GM/r)=√(gR^2/2R)=√(gR/2)

=√(10×6.4×10^6/2)=√(3.2×10^7)≈5.66×10^3m/s

即v≈5.66km/s。

-周期T=2πr/v=2π×(2×6.4×10^6)/5.66×10^3

=8.04×10^7/5.66×10^3≈1.42×10^4s≈3.95h

**易错提醒**

1.不会求地球质量M时，用"黄金代换GM=gR^2"消去M是标准套路；

2.注意r=2R是**轨道半径**（含高度），不是离地高度（高度应为R）；

3.检验：第一宇宙速度v_1=√(gR)=8.0km/s，而r=2R时v=v_1/√2≈5.66，符合"高轨低速"。

**答案**v≈5.66km/s；T≈1.42×10^4s≈3.95h。

---

###例题4（第一宇宙速度）

**题目**已知地球半径R=6400km，表面重力加速度g=10m/s^2。求地球的第一宇宙速度。若取标准值g=9.8m/s^2，结果又约为多少？

**解析**

-第一宇宙速度即近地圆轨道速度：mg=mv_1^2/R⇒v_1=√(gR)

-取g=10：v_1=√(10×6.4×10^6)=√(6.4×10^7)=8.0×10^3m/s=8.0km/s

-取g=9.8：v_1=√(9.8×6.4×10^6)=√(6.272×10^7)≈7.92×10^3m/s≈7.9km/s

**易错提醒**

1.第一宇宙速度是**最大环绕速度、最小发射速度**；超过它但小于第二宇宙速度时，卫星将做椭圆运动；

2.单位换算：R要化成米再开方，结果再转km/s；

3.考试中若未给g精确值，通常取7.9km/s或据题给数据计算。

**答案**取g=10得8.0km/s；取g=9.8得约7.9km/s。

---

##三、精进档（优秀生）

###知识点（配模型）

**模型1.类平抛运动**

-特征：初速度v_0与恒定合力（加速度a）**相互垂直**。

-处理方法同平抛：沿v_0方向匀速，沿a方向匀加速。轨迹方程（消去t）：y=a/2v_0^2x^2（抛物线）。模型2.双星系统两星质量m_1,m_2，相距L，绕共同质心做匀速圆周运动，角速度ω相同。质心关系：m_1r_1=m_2r_2，r_1+r_2=Lr_1=m_2/m_1+m_2L,r_2=m_1/m_1+m_2L角速度：ω=√(G(m_1+m_2)/L^3)，周期T=2π√(L^3/G(m_1+m_2))模型3.卫星变轨低圆轨道→加速（在点A点火）→做离心运动进入椭圆转移轨道→到远地点再加速→进入高圆轨道。关键结论：在同一点，椭圆轨道速度大于低圆轨道速度、小于高圆轨道在该点的圆轨道速度（由机械能守恒与向心力需求决定）。常用活力公式（vis-viva）：v=√(GM(2/r-1/a))，a为椭圆半长轴。模型4.天体追及相遇两卫星同方向绕同一中心天体做圆周运动，角速度ω\proptor^-3/2。初始共线，再次共线（相遇/冲）条件：相对转角差2π(ω_1-ω_2)t=2π⇒t=2π/ω_1-ω_2内轨角速度大，会"追上"外轨。例题1（类平抛）题目一质点从原点以初速度v_0=4m/s沿x轴正方向运动，同时受到沿y轴正方向、大小恒定的力，使其加速度a=2m/s^2（与初速垂直）。求：（1）t=2s时的位置、速度；（2）轨迹方程；（3）此时速度方向与x轴夹角。解析（1）位置：x=v_0t=4×2=8m,y=\frac12at^2=\frac12×2×2^2=4m速度：v_x=v_0=4m/s，v_y=at=2×2=4m/sv=√(v_x^2+v_y^2)=√(16+16)=4√2≈5.66m/s（2）轨迹：由x=v_0t⇒t=x/4，代入y=\frac12at^2y=\frac12×2×(x/4)^2=x^2/16检验：当x=8时y=64/16=4m，与（1）一致。（3）\tanθ=v_y/v_x=4/4=1⇒θ=45^\circ易错提醒类平抛的"抛"不一定要竖直向下，只要是初速与恒加速度垂直即可；轨迹仍是抛物线y\proptox^2。别套错成自由落体。答案t=2s时位置(8,4)m，速度4√2m/s；轨迹y=x^2/16；夹角45^\circ。例题2（双星系统）题目宇宙中两颗恒星组成双星，质量分别为m_1=2m、m_2=m，其中m=2×10^30kg，两星中心距L=3×10^9m。引力常量G=6.67×10^-11。求：（1）各自轨道半径；（2）共同的角速度ω与周期T。解析（1）由质心关系：r_1=m_2/m_1+m_2L=m/3m×3×10^9=1×10^9mr_2=m_1/m_1+m_2L=2m/3m×3×10^9=2×10^9m（验证r_1+r_2=3×10^9=L，正确）（2）双星角速度：ω=√(G(m_1+m_2)/L^3)

=√(\frac{6.67×10^-11)×(3×2×10^{30)}{(3×10^9)^3}}

分子：6.67×10^-11×6×10^30=4.002×10^20

分母：(3×10^9)^3=2.7×10^28=√(1.482×10^-8)≈1.22×10^-4rad/sT=2π/ω=\frac{6.283}{1.22×10^-4}≈5.16×10^4s≈14.3h易错提醒1.双星角速度相同、周期相同，但轨道半径不同（质量大的离质心近）；2.向心力由彼此引力提供，满足Gm_1m_2/L^2=m_1ω^2r_1=m_2ω^2r_2，可用来验算；3.公式分母是L^3（L为两星间距），不是某颗星的半径。答案r_1=1×10^9m，r_2=2×10^9m；ω≈1.22×10^-4rad/s，T≈5.16×10^4s≈14.3h。例题3（卫星变轨·活力公式）题目近地圆轨道（半径r）上的卫星要变轨到半径为4r的圆轨道。采用"先加速进入椭圆转移轨道、到远地点再加速圆化"的方案。设地球质量M，求：（1）在原圆轨道速度v_1；（2）转移轨道近地点速度v_p与远地点速度v_a；（3）目标圆轨道速度v_2。（用v_1表示）解析原圆轨道：v_1=√(GM/r)转移椭圆：近地点距r，远地点距4r，半长轴a=r+4r/2=2.5r活力公式v=√(GM(2/r-1/a))近地点：v_p=√(GM(2/r-1/2.5r))

=√(GM/r(2-0.4))=√(1.6)√(GM/r)≈1.265v_1

-远地点（距4r）：=√(GM/r(0.5-0.4))=√(0.1)√(GM/r)≈0.316v_1目标圆轨道（半径4r）：v_2=√(GM/4r)=1/2√(GM/r)=0.5v_1易错提醒1.变轨必须两次加速（低→高）；每次点火加速都使卫星做离心运动；2.椭圆上同一点，速度大于该处低圆轨道、小于高圆轨道的圆