2026新人教版七年级数学上册核心知识点1第一章 有理数（六大考点+四大易错）（教师版）

1

第一章有理数

知识点一正数和负数

1.定义

正数：大于0的数；负数：在正数前加”―“、小于0的数；

0既不是正数，也不是负数，是正负数分界。

2.应用：用正负数表示一组相反意义的量（如上升/下降、收入/支出）。

3.符号规则：正数”+“可省略，负数”―“不能省略。

知识点二有理数的概念

1.定义：整数和分数统称为有理数。

1

2.分类方式

①按定义分

整数：正整数、0、负整数；

分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数属于分数；휋这类无限不循环小数不是有理数）。

②按正负分

正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

3.拓展名词

非负数=正数+0；非正数=负数+0。

知识点三数轴

1.三要素（缺一不可）：原点、正方向、单位长度。

2.核心性质

①所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示；

②数轴上右边的数一定大于左边的数。

3.画图规范：直线、标注原点0、统一长度单位、标出正方向箭头。

知识点四相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；数푎的相反数是―푎。

2.特殊值：0的相反数是0。

3.核心性质：互为相反数的两数之和为0，即푎+(―푎)=0。

4.多重符号化简法则：奇负偶正（负号个数奇数，结果为负；偶数，结果为正）。

5.几何意义：数轴上互为相反数的两点到原点距离相等，分布原点两侧。

知识点五绝对值

1.几何意义：数轴上表示数푎的点与原点的距离，记作|푎|，距离恒非负，|푎|≥0。

2.代数化简公式

푎푎>0

|푎|=0푎=0

―푎푎<0

1

3.重要结论

①绝对值最小的数是0；

②互为相反数的两个数绝对值相等。

知识点六有理数的大小比较

两种常用方法

1.数轴比较法：数轴右侧的数>左侧的数。

2.法则比较法

①正数＞0＞负数；

②两个负数比较：绝对值大的数，本身数值更小。

易错点1化简多重符号

易错提醒

一、易错点总结

1.数错负号个数，导致最终正负判断相反。

2.误以为式子前面有负号，结果一定是负数。

3.化简时混入绝对值、括号运算顺序，先算数字再去符号，导致出错。

4.偶数个负号仍误判为负，奇数个负号误判为正。

二、注意事项总结

1.严格使用奇负偶正：只数负号个数，与数字大小无关。

2.正号可以直接全部省略，不影响结果。

3.多重符号运算：先化简符号，再算绝对值、计算。

4.做题不要凭感觉，一定逐个清点负号数量。

【对点训练】1．化简下列各数：

（1）--3=________；

（2）+-3=________；

（3）-+3=________；

1

（4）---3=________．

【答案】3-3-3-3

【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则．

根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果

负号的个数为奇数，结果为负．

【详解】解：（1）--3=3，

故答案为：3；

（2）+-3=-3，

故答案为：-3；

（3）-+3=-3，

故答案为：-3；

（4）---3=-3，

故答案为：-3．

易错点2带“非”字的有理数的分类

易错提醒

一、易错点总结

1.最大误区：带“非”字分类习惯性漏掉0。

2.概念混淆：把“非负数”当成正数、“非正数”当成负数。

3.混淆非负整数、非正整数，误把分数、小数纳入整数范围。

4.分不清：非负数≠正数、非正数≠负数。

二、注意事项总结

1.口诀：带“非”必含0。

2.非负数=正数+0；非正数=负数+0。

3.非负整数、非正整数只包含整数，不含分数和小数。

4.分类题一定要对照定义逐条筛选，不要凭直觉。

1

【对点训练】2．1，-2023，-3.14，0.10%，0，--1，6，0.13，--2

7

分数集合：{__________…}；

1

非负整数集合：{__________…}；

非正数集合：{__________…}；

正有理数集合：{__________…}；

自然数集合：{__________…}

1

【答案】1，-3.14，0.10%，0.130，--1，6-2023,-3.14,0,--2

7

1

1,0.10%,--1,6,0.130,--1,6

7

【分析】根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于

等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到

相应集合．

【详解】解：--1=1，--2=-2，

ì1ü

分数集合í1,-3.14,0.10%,0.13ý．

î7þ

非负整数集合0,--1,6．

非正数集合-2023,-3.14,0,--2．

ì1ü

正有理数集合í1,0.10%,--1,6,0.13ý．

î7þ

自然数集合0,--1,6．

11

故答案为：1,-3.14,0.10%,0.13；0,--1,6；-2023,-3.14,0,--2；1,0.10%,--1,6,0.13；

77

0,--1,6

易错点3利用分类讨论数学思想化简绝对值

易错提醒

一、易错点总结

1.不分类讨论，直接去掉绝对值符号，导致结果错误。

2.当绝对值内为负数时，忘记变号，不会整体取相反数。

3.遗漏“等于0”的情况，只分正负两类，讨论不完整。

4.已知字母取值范围，仍判断错误式子正负。

二、注意事项总结

1.含字母绝对值必须分类讨论：正数、0、负数三种情况。

1

2.内部为负：去绝对值要整体加括号变号。

3.分界点（使式子为0的值）一定要单独讨论，不能漏掉。

4.化简核心口诀：正去、0零、负变反。

【对点训练】3．请利用绝对值的性质，解决下列问题：

ab

(1)已知a，b是有理数，当a>0时，=；当b<0时，=．

ab

ab

(2)已知a，b是有理数，且ab<0，求+的值．

ab

b+ca+ca+b

(3)已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求++的值．

abc

abc

(4)已知a，b，c是有理数，当abc¹0时，求++的值．

abc

【答案】(1)1，-1

(2)0

(3)-1

(4)3或-3或1或-1

【分析】本题主要考查了绝对值是化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的

相反数，0的绝对值是0．

aabb

（1）根据绝对值是性质可得，当a>0时，=，当时，=，进行化简即可；

aab-b

（2）ab<0，得a、b异号，设a>0，则b<0，和a<0，则b>0，讨论解答即可；

（3）a+b+c=0，abc<0，可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0，解答即

可；

（4）根据a¹0，b¹0，c¹0，再进行分类讨论①当a、b、c均为正数时，②当a、b、c中两正一负时，

③当a、b、c中一正两负时，④当a、b、c中均为负数时，四种情况讨论即可．

aabb

【详解】（1）解：当a>0时，则==1，当b<0时，==-1

aab-b

故答案为：1，-1；

（2）Qab<0，

\a、b异号，

若a>0，则b<0，

abaæbö

+=+ç-÷=1-1=0，

abaèbø

1

若a<0，则b>0，

abab

+=-+=-1+1=0；

abab

（3）a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0

\b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，且三个数中必需有两个正数，一个负数，

设：a>0，b>0，c<0，

b+ca+ca+b-a-b-c

++=++=-1+-1+1=-1；

abcabc

（4）解：∵a，b，c是有理数，abc¹0，

∴a¹0，b¹0，c¹0，且三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或

三个都为负数．

①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，

abcabc

则：++=++=1+1+1=3；

|a||b||c|abc

②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，

aabca-b-c

则：++=++=1+(-1)+(-1)=-1；

|a||a||b||c|abc

③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a>0，b>0，c<0，

aabcab-c

则：++=++=1+1+(-1)=1；

|a||a||b||c|abc

④当a，b，c三个数都为负数时a<0，b<0，c<0，，

aabc-a-b-c

则：++=++=-1+(-1)+(-1)=-3；

|a||a||b||c|abc

abc

综上所述：++的值为3或-3或1或-1．

abc

易错点4绝对值的几何意义

易错提醒

一、易错点总结

1.最常错：认为绝对值可以为负数，如|-6|=-6。

2.只会代数计算，不懂几何意义是数轴上的距离。

3.不理解距离≥0，不会判断绝对值最小值为0。

4.计算两点距离时忽略绝对值，出现负数结果。

二、注意事项总结

1

1.绝对值本质是距离，结果一定非负数。

2.|a|：数a到原点的距离；|a-b|：a、b两点距离。

3.所有绝对值最小值都是0，不可能为负。

4.遇到最值、范围题，优先用数轴几何意义解题，更简单不易错。

【对点训练】4．已知A、B在数轴上分别表示a、b

(1)对照数轴填写下表：

a6-6-6-62-1.5

b404-4-10-1.5

A、B两点的距离26100

(2)若A、B两点间的距离记为d，直接写出d和a、b的数量关系______．

(3)如果x+2+x-3的和最小时，整数x有______．

(4)当a为______时，代数式x+a+x-3的最小值是7．

(5)式子x+3-x-6有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；

【答案】(1)2；12；

(2)d=a-b；

(3)-2,-1,0,1,2,3；

(4)4或-10；

(5)有最大值9和最小值-9

【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想

求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意

义简化计算与分析．

（1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的a、b值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出A、

B两点的距离；

（2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离d与表示两点的数a、b的数量关系；

（3）x+2+x-3的几何意义是数轴上表示x的点到-2和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当x在-2

和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可；

1

（4）先将x+a转化为x--a，明确其几何意义为数轴上表示x的点到-a和3的点的距离之和，再结合

几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离3--a，结合最小值为7列方程求解a的值；

（5）先明确x+3和x-6的几何意义，再根据x在数轴上的位置分-3左侧、-3与6之间、6右侧三类情况

进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值．

【详解】（1）解：当a=-6，b=-4时，A、B两点的距离为-6--4=-2=2；

当a=2，b=-10时，A、B两点的距离为2--10=12=12；

故答案为：2；12；

（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得d和a、b的数量关系为d=a-b；故答案为：d=a-b；

（3）解：x+2+x-3表示数轴上表示x的点到表示-2和3的点的距离之和，当x在-2和3之间(包括端点)

时，距离之和最小，此时整数x为-2,-1,0,1,2,3；故答案为：-2,-1,0,1,2,3；

（4）解：x+a+x-3=x--a+x-3，其几何意义是数轴上表示x的点到表示-a和3的点的距离之和，

当x在这两点之间时，距离之和最小，

最小值为3--a=a+3=7，

则a+3=7或a+3=-7，解得a=4或a=-10；

故答案为：4或-10；

（5）解：x+3表示数轴上点x到-3的距离，x-6表示数轴上点x到6的距离．

①当点x在-3的左侧，

x+3=-3-x，x-6=6-x，

\x+3-x-6=-3-x-6-x=-9；

②当点x在-3与6之间（包含端点），

x+3=x+3，x-6=6-x，

\x+3-x-6=x+3-6-x=2x-3，

此时-9£2x-3£9；

③当点x在6的右侧，

x+3=x+3，x-6=x-6，

1

\x+3-x-6=x+3-x-6=9．

综上，式子x+3-x-6有最值，最大值为9，最小值为-9．

1

一、单选题

1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（）

A．1B．-2C．-1D．0

【答案】C

【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小．

【详解】解：因为被遮住的左边是整数-2，右边的整数是0，

因此被遮挡的整数是-1．

2．如图，在数轴上将点A向右移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）

A．-5B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】根据数轴上点A对应的数为-2，结合平移性质可得答案．

【详解】解：由数轴知，点A对应的数为-2，

由平移性质，点A向右移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是2．

3．正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF

绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为-1．按此规律继续翻转下去，

数轴上-2026所对应的顶点是（）

A．AB．BC．CD．D

【答案】B

【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已

知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为E、D、C、B、A、

F；再通过计算2026除以6的余数，结合循环规律确定-2026对应的顶点．

【详解】解：根据题意，第1次点E对应-1，第2次点D对应-2，第3次点C对应-3，第4次点B对应

1

-4，第5次点A对应-5，第6次点F对应-6，第7次点E对应-7，¼¼

由此可得，每6次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为E、D、C、B、A、F．

数轴上-2026所对应的顶点是正六边形ABCDEF经过2026次翻转得到的，

计算2026¸6=337LL4，

根据循环规律，余数为4时对应的顶点是B，

因此数轴上-2026所对应的顶点是B．

故选：B．

4．下列说法中不正确的有（）

①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正

数．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题

的关键．

根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可．

【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确；

对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确；

对于③：0的相反数是0，∴③正确；

对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确；

∴不正确的有①和④，共2个，

故选：B．

5．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（）

A．在x和0之间有3个负数B．与3相比，x离0更近一些

C．在x和1.5之间有5个整数D．x比-3大

【答案】C

【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意；

B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意；

C、在x和1.5之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意；

1

D、x比-3小，原说法不正确，该选项不符合题意．

二、填空题

6．把下列各数填入相应的集合中：

1

+3，-4，-1.9，0.17，0，-8，+123．

3

正有理数集合{_______________}；

负分数集合{_______________}；

整数集合{_______________}；

非负整数集合{_______________}．

1

【答案】+3,0.17,+123；-4,-1.9；+3,0,-8,+123；+3,0,+123

3

【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握根据有理数的定义和分类方法，是解题的关键．根据正

有理数包括正整数和正分数；负分数是负的分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数是正整数和零，

进行求解即可．

【详解】解：正有理数集合{+3,0.17,+123}；

1

负分数集合{-4,-1.9}；

3

整数集合{+3,0,-8,+123}；

非负整数集合{+3,0,+123}．

7．点A、B分别是数-3，-12在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A¢B¢，且线段A¢B¢的中点对

应的数是3，则点A¢对应的数是___________，点A移动的距离是___________．

1521

【答案】

22

【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段AB的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据

线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点A¢对应的数．

【详解】解：根据题意，点A对应数为-3，点B对应数为-12，

由数轴上两点中点的计算公式，可得线段AB的中点对应的数为：

115

´é-3+-12ù=-.

2ëû2

已知平移后线段A¢B¢的中点对应的数是3，因此中点移动的距离为：

æ15ö21

3-ç-÷=.

è2ø2

21

线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为.

2

点A¢对应的数为点A对应的数加上移动距离，即：

1

2115

-3+=.

22

8．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0,1,2,3．先让圆周上表示数字0的点与

数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上重合的点表示的数字

是____________．

【答案】2

【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示0的点重合的数字起，每4个单位长度即为一个周

期，计算到数轴上表示2025的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字．

【详解】解：如图所示，每4个单位长度即为一个周期，

∵数字0的点与数轴上表示-1的点重合，

∴数字1的点与数轴上表示0的点重合，

∵2025¸4=506......1，

∴2025为从数字0和数轴上表示-1的点重合起，第506个周期后的第一个数，

即1+1=2．

故答案为：2．

-28

9．化简：-é+-5ù=_______；-=_______．

ëû35

4

【答案】5

5

【分析】本题主要考查相反数，分数；第一个表达式通过处理括号内的符号和外部负号化简；第二个表达

式先化简分数，再处理负号．

【详解】解：对于第一个表达式：-ëé+-5ûù，先计算内部括号：+-5=-5，然后外部负号：--5=5，

-28-28-4

对于第二个表达式：-，先化简分数，分子和分母同时除以最大公约数7，得，然后外部负号：

35355

æ-4ö4

-ç÷=，

è5ø5

4

故答案为：5，．

5

10．如果x为有理数，式子2026-x-2存在最大值，这个最大值是__________．

【答案】2026

1

【分析】利用绝对值的非负性，得出x-2的最小值进而确定表达式的最大值即可．

【详解】解：Qx为有理数，

\x-2³0，

\-x-2£0，

\2026-x-2£2026，当且仅当x-2=0时，即x=2时取等号，

\最大值为2026．

三、解答题

11．将下列各数填在相应的括号里：

15

-2、5、-0.3、-、3.14、0、102、-17、-1、-p

76

分数集合：{}；

非正有理数集合：{}；

负数集合：{}

151515

【答案】-0.3,-,3.14,-1；-2,-0.3,-,0,-17,-1；-2,-0.3,-,-17,-1,-π

767676

ì15ü

【详解】解：分数集合：í-0.3,-,3.14,-1ý；

î76þ

ì15ü

非正有理数集合：í-2,-0.3,-,0,-17,-1ý；

î76þ

ì15ü

负数集合：í-2,-0.3,-,-17,-1,-πý

î76þ

12．探索研究：

(1)比较下列各式的大小（用“<”或“>”或“=”连接）．

①+1+4__________+1+4；

②-6+-3__________-6-3；

③10+-3__________10-3；

④0+-8__________0-8

(2)通过以上比较，请你分析､归纳出当a,b为有理数时，a+b__________a+b（用“<”或“>”或“=”或“≥”或

“≤”连接）．

(3)根据（2）中得出的结论，当x+2025=x-2025时，则x的取值范围是__________．

1

【答案】(1)=,=,>,=

(2)³

(3)x£0

【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的大小比较。解题关键是通过计算具体式子的绝对值，归纳出

a+b与a+b的大小关系，再利用这一结论分析含绝对值的等式，确定未知数的取值范围．

（1）每一个小题计算后进行比较；

（2）由（1）的例子归纳即可；

（3）由（2）的结论回答即可．

【详解】（1）解：①+1++4=1+4=5,+1+4=5=5,

②-6+-3=6+3=9,-6-3=-9=9,

③10+-3=10+3=13,10-3=7=7,

④0+-8=0+8=8,0-8=-8=8,

故答案为：=,=,>,=；

（2）通过（1）的例子可归纳：

当a,b同号（或其中一个为０）时，a+b=a+b;

当a,b异号时，a+b>a+b．

故答案为：³；

（3）Qx+2025=x-2025,

\x+-2025=x+-2025．

由（2）的结论，当x与-2025同号（或x=0)时，x+-2025=x-2025．

故答案为：x£0．

13．【总结提炼】

aa

小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当a>0时，a=a，则==1；当a<0时，

aa

a-a

a=-a，则==-1．

aa

【解决问题】

1

ab

（1）若ab>0，则+=．

ab

abc

（2）若abc<0，则++=．

abc

【拓展提升】

abcababcbac

（3）若++=1，计算：--=_________．

abcababcbac

【答案】（1）-2或2（2）-3或1；（3）1或-1或3

【分析】（1）分a<0,b<0和a>0,b>0，两种情况进行讨论求解即可；

（2）分a,b,c中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解；

（3）分a<0，和a>0，两种情况，进行讨论求解．

【详解】解：（1）∵ab>0，

∴a,b同号，

ab

当a<0,b<0时：+=-1-1=-2；

ab

ab

当a>0,b>0时：+=1+1=2；

ab

故答案为：-2或2；

（2）∵abc<0，

∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数，

abc

当a<0,b<0,c<0时，则：++=-1-1-1=-3；

abc

abc

当有两个正数和一个负数时，假设：a>0,b>0,c<0，则：++=1+1-1=1；

abc

故答案为：-3或1；

abcaba

（3）∵++=1，

abcaba

∴abc,ab,a中有两正一负，

①当a<0时：则：abc,ab均为正，

∴b<0,c>0，

1

bcbacbc-b-ac

∴--=--=-1+1+1=1；

bcbac-bcbac

②当a>0时，则：abc,ab一正一负，

bcbacbcbac

若b>0，则：c<0，此时：--=--=-1-1+1=-1；

bcbac-bcb-ac

bcbacbc-bac

如b<0，则：c<0，此时：--=--=1+1+1=3；

bcbacbcb-ac

综上，原式=1或-1或3．

故答案为：1或-1或3

【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进

行求解，是解题的关键．

14．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道5-3可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理

解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，5--2可以表示5与-2之差的绝对值．

(1)4-1表示数轴上_____与_____所对应的两点之间的距离；

(2)x-5表示数轴上有理数x所对应的点到______所对应的点之间的距离；x+2表示数轴上有理数x所对

应的点到________所对应的点之间的距离；

(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得x+2+x-5=7．这样的整数x有________；

(4)利用绝对值的几何意义，写出x+3+x-2+x-5的最小值为________．

【答案】(1)4，1；

(2)5，-2；

(3)-2，-1，0，1，2，3，4，5；

(4)8

【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，

（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；

（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；

（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到-2的距离和到5的距离的和为

1

7，进而求解；

（4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．

【详解】（1）解：由题意得：4-1表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；

故答案为：4，1；

（2）解：x-5表示数轴上