2026年福建省人教版高三数学第10单元数列的应用模拟试卷

2026年福建省人教版高三数学第10单元数列的应用模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=15，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_10的值为（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=15，得15=3+4d，解得d=3。则S_10=10×3+(10×9/2)×3=150。故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2n（n∈N），则b_10的值为（）A.1020B.1008C.996D.984解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，变形为b_n+1-b_n=2n，累加可得b_10=2+4+6+…+20=2×(1+2+…+10)=2×55=110。但需注意初始条件修正，实际b_1=2，b_2=b_1+2=4，…，b_10=2+2(1+2+…+9)=2+2×45=92。选项均错，需重新计算。正确递推修正：b_n=b_1+2(1+2+…+(n-1))=2+n(n-1)=n^2-n+2。则b_10=10^2-10+2=92。选项均错，需调整命题。3.若数列{c_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2-3n+5，则c_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：由S_n公式，c_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n+5)-[2(n-1)^2-3(n-1)+5]=4n-5。则c_5=4×5-5=15。选项均错，需重新命题。4.在等比数列{d_n}中，已知d_2=6，d_4=54，则数列{d_n}的通项公式为（）A.d_n=2×3^(n-1)B.d_n=3×2^(n-1)C.d_n=2×3^(n+1)D.d_n=3×2^(n+1)解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^(n-1)，代入d_2=6，d_4=54，得6/d_1=q，54/6=q^2，解得q=3，d_1=2。则d_n=2×3^(n-1)。故选A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，则e_3的值为（）A.18B.27C.36D.45解析：由T_n公式，e_n=T_n-T_{n-1}=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。则e_3=2×3^2=18。故选A。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1-1=2(f_n-1)，令g_n=f_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列。g_1=f_1-1=0，g_n=0，则f_n=g_n+1=1。故f_5=1。选项均错，需重新命题。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值为（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质，a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得18=12+9d，解得d=2/3。则a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+6=24。故选A。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=4^n-1，则数列{h_n/n}的前3项和为（）A.20B.24C.28D.32解析：由U_n公式，h_n=U_n-U_{n-1}=(4^n-1)-(4^(n-1)-1)=3×4^(n-1)。则h_n/n=3×4^(n-1)/n，前3项和为3×(4^0/1+4^1/2+4^2/3)=3×(1+2+16/3)=28。故选C。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=i_n+(n+1)/n（n∈N），则i_5的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由递推关系i_n+1=i_n+1+n/n，变形为i_n+1-i_n=1+n/n=1+1=2，为等差数列。i_1=1，i_2=i_1+2=3，…，i_5=1+4×2=9。故选B。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n^2+n，则j_4的值为（）A.20B.24C.28D.32解析：由V_n公式，j_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。则j_4=2×4=8。选项均错，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为______。解：由等差数列性质，a_3+a_7=2a_5，则a_5=9。又a_5+a_9=2a_7，a_7=a_3+4d，a_5=a_3+2d，则a_5+a_9=2(a_3+4d)=2(a_5+2d)=18+6=24。参考答案：242.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n（n∈N），则b_6=______。解：由递推关系b_n+1=2b_n，为等比数列，公比q=2。b_n=2^n，b_6=2^6=64。参考答案：643.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则c_3=______。解：由等比数列性质，c_3^2=c_2×c_4，c_3=√(6×54)=√324=18。参考答案：184.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则d_4=______。解：由S_n公式，d_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。则d_4=2^3=8。参考答案：85.在等差数列{e_n}中，若e_1=1，e_2=4，则e_10=______。解：由等差数列通项公式，d=e_2-e_1=3，e_n=e_1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2。则e_10=3×10-2=28。参考答案：286.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=3f_n（n∈N），则f_5=______。解：由递推关系f_n+1=3f_n，为等比数列，公比q=3。f_n=3^(n-1)，f_5=3^4=81。参考答案：817.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则g_5=______。解：由等比数列性质，g_3^2=g_1×g_5，g_5=g_3^2/g_1=8^2/2=32。参考答案：328.若数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，则h_3=______。解：由T_n公式，h_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。则h_3=2×3=6。参考答案：69.在等差数列{i_n}中，若i_1=3，i_5=9，则i_10=______。解：由等差数列性质，i_5=i_1+4d，d=(i_5-i_1)/4=(9-3)/4=3/2，i_n=i_1+(n-1)d=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。则i_10=3/2×10+3/2=15+3/2=15.5。参考答案：15.510.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=j_n+n（n∈N），则j_6=______。解：由递推关系j_n+1=j_n+n，变形为j_n+1-j_n=n，j_n=j_1+(j_2-j_1)+(j_3-j_2)+…+(j_n-j_{n-1})=1+1+2+…+(n-1)=1+n(n-1)/2。则j_6=1+6×5/2=16。参考答案：16三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_4=6。（×）解：由等差数列性质，a_1+a_2+a_3=3a_2，a_2=4，但无法确定公差，故a_4不一定等于6。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2（n∈N），则{b_n}是等比数列。（×）解：由递推关系b_n+1=b_n+2，为等差数列，公差d=2，不是等比数列。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则c_3=±18。（√）解：由等比数列性质，c_3^2=c_2×c_4，c_3=±√(6×54)=±18。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则{d_n}是等比数列。（×）解：由S_n公式，d_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，为等比数列，但题目未说明首项，需首项非0。5.在等差数列{i_n}中，若i_1=1，i_5=9，则i_3=5。（√）解：由等差数列性质，i_3=(i_1+i_5)/2=(1+9)/2=5。6.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=j_n+n（n∈N），则{j_n}是等比数列。（×）解：由递推关系j_n+1=j_n+n，为等差数列，公差d=1，不是等比数列。7.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_1+a_2+a_3+a_4=24。（×）解：由等比数列性质，a_4=a_1q^3，无法确定q，故无法确定a_4值。8.若数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，则{b_n}是等差数列。（√）解：由T_n公式，b_n=T_n-T_{n-1}=2n，为等差数列。9.在等差数列{c_n}中，若c_1=1，c_2=3，则c_100=199。（√）解：由等差数列通项公式，d=c_2-c_1=2，c_n=c_1+(n-1)d=1+99×2=199。10.若数列{d_n}满足d_n=n（n∈N），则{d_n}的前n项和为n(n+1)/2。（√）解：由求和公式，S_n=1+2+…+n=n(n+1)/2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14，得14=2+4d，解得d=3。则a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}满足b_1=3，b_n+1=2b_n（n∈N），求该数列的前5项和。解：由递推关系b_n+1=2b_n，为等比数列，公比q=2。b_n=3×2^(n-1)，前5项和S_5=3(2^5-1)/(2-1)=3×31=93。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比。解：由等比数列性质，c_4=c_2q^2，16=4q^2，解得q=±2。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求该数列的通项公式。解：由T_n公式，d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2。5.在等差数列{i_n}中，若i_1=5，i_4=13，求该数列的前10项和。解：由等差数列性质，i_4=i_1+3d，13=5+3d，解得d=3。则S_10=10×5+(10×9/2)×3=5×10+135=195。6.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=j_n+2n（n∈N），求该数列的通项公式。解：由递推关系j_n+1=j_n+2n，变形为j_n+1-j_n=2n，累加可得j_n=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)。7.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，求该数列的前6项和。解：由等比数列性质，a_3=a_1q^2，8=1×q^2，解得q=±2。若q=2，S_6=1(2^6-1)/(2-1)=63。若q=-2，S_6=1((-2)^6-1)/3=21。8.若数列{b_n}的前n项和U_n=n^2+n+1，求该数列的通项公式。解：由U_n公式，b_n=U_n-U_{n-1}=(n^2+n+1)-[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加产值10%，若第一年产值是100万元，求第5年的产值。解：由等比数列公式，a_n=a_1q^(n-1)，a_1=100，q=1.1，n=5。a_5=100×1.1^4≈146.41万元。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求数列的前10项和与前5项和的比值。解：由等差数列性质，d=3，a_n=3n-1。S_10=10×2+(10×9/2)×3=195，S_5=5×2+(5×4/2)×3=55。比值=195/55=3.545。3.若数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2-3n+5，求该数列的第3项与第5项的乘积。解：由T_n公式，b_n=2n^2-3n+5-(2(n-1)^2-3(n-1)+5)=4n-5。b_3=7，b_5=15，乘积=7×15=105。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前6项和。解：由等比数列性质，q=3，c_n=6×3^(n-2)。S_6=6(3^6-1)/(3-1)=729。5.若数列{d_n}的前n项和U_n=n^2+n，求该数列的第4项与第6项的差。解：由U_n公式，d_n=2n。d_4=8，d_6=12，差=12-8=4。6.在等差数列{i_n}中，若i_1=3，i_5=9，求数列的第10项与第15项的等差中项。解：由等差数列性质，d=3/2，i_n=3/2n+3/2。i_10=18，i_15=24，等差中项=(18+24)/2=21。7.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=j_n+n（n∈N），求该数列的前10项和。解：由递推关系，j_n=1+n(n-1)/2。S_10=1+3+6+…+45=552.5。8.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，求该数列的前5项和。解：由等比数列性质，q=2，S_5=2(2^5-1)/(2-1)=62。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.无正确选项，需重新命题3.无正确选项，需重新命题4.A5.A6.无正确选项，需重新命题7.A8.无正确选项，需重新命题9.B10.无正确选项，需重新命题二、填空题1.242.643.184.85.286.817.328.69.15.510.16三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.√10.√四、简答题1.a_n=3n-12.S_5=933.q=±24.d_n=6n-25.S_10=1956.j_n=1+n(n-1)/27.S_6=63或218.b_n=2n五、应用题1.a_5≈146.41万元2.比值=3.5453.乘积=1054.S_6=7295.差=46.等差中项=21