垂直于弦的直径课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

垂直于弦的直径人教版九年级上册数学

连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫做直径．如图，_______________是弦，_________是直径．线段圆心AB，CD，ACAB

圆上大于小于OBACDE

半圆剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？探究ABOCD圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

分析：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意的一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．OA

B

M′

证明：如图，设AB是⊙O的任意一条直径，M

为⊙O上点A，B以外的任意一点．MN

M’是M关于直线AB的对称点，证明那么直线AB是线段MM’的垂直平分线．∵圆心O在AB上，

∴OM’=OM，∴点M’在⊙O上.OA

B

M’

M

N如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．OC

D

如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．探究OB

A如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称．设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧．探究OE

C

D

OB

A

结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？思考结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？思考垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

C

D

E

OB

A⇒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧在这个定理中，①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．题设结论反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？探究

请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD（不是直径）．找到弦CD的中点E，过点E

作⊙O的直径MN，MN与CD有什么位置关系？CDEMN测量∠MED的度数，得∠MED＝90°，即MN⊥CD．如果弦CD是直径呢？OCDMNM1N1M2N2O两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．你能对猜想进行证明吗？

证明：连接OA，OB，则AO＝BO．思考

DACBPO垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

C

D

E

OB

A⇒垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立．题设结论E

例1

如图，在⊙O中，弦AB的长为8

cm，圆心O

到AB的距离为3

cm，求⊙O的半径．在Rt△OEA中，由勾股定理，得

∴OA＝5，即⊙O的半径为5

cm．

OA2＝42＋32，解：过点O

作OE⊥AB，垂足为E，连接OA．ABO∵OE⊥AB，AB＝8

cm，

例2

如图，

M

是⊙O中的弦CD的中点，EM经过圆心

O

交⊙O于点

E，并且CD＝6

cm，EM＝9

cm，求⊙O的半径．在Rt△OCM中，由勾股定理，得解得r＝5，即⊙O的半径为5

cm．

r2＝(9－r)2＋32，解：如图，连接OC．设OC＝r

cm，则OM＝(9－r)cm．∵EM经过圆心

O，M是CD的中点，CD＝6

cm，OCDEM

1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个变量中的任意两个可求其他两个．归纳

垂径定理基本图形的四变量、两关系例3

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1

400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37

m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23

m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．37m7.23m

分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题．

ABOCD

R

ABOCDR实际问题用数学语言描述已知和未知画出图形运用相关知识数学问题的解实际问题的答案检验数学问题归纳思考

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．观察垂径定理及其推论的题设与结论，你能发现什么？对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所