25.3　实际问题与一元二次方程（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级上册数学

[在此处键入]25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）教学目标教学目标1．会建立一元二次方程模型，解决传播问题、平均增长率（或下降率）相关实际问题．2．辨析绝对变化额与相对变化率，能从实际情境中准确提炼等量关系，列出方程．3．结合问题实际意义检验方程的解，能舍去不符合题意的根，规范书写应用题的解题步骤．教学重点教学重点利用一元二次方程解决传播问题、平均增长率（下降率）实际问题．教学难点 教学难点1．传播问题中正确分析每一轮传染源数量；2．理解平均变化率模型，区分“下降额”与“下降率”，准确建立方程．教学过程教学过程新课导入我们在上一节课，已经学习了利用一元二次方程解决几何图形面积类实际问题．不论是矩形、直角三角形相关问题，解题都遵循统一流程，大家回忆一下：列方程（组）解决实际问题的一般步骤是什么？列方程（组）解决实际问题的一般步骤：同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程可以作为刻画现实数量关系的数学模型．上节课我们研究静态几何图形问题，本节课我们继续探究两类新情境：传播问题与平均变化率问题．新知探究一、探究学习探究1传播问题【问题】某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？【师生活动】教师引导学生思考，如何理解“两轮传染”？带领学生交流讨论后得到如下结论：“两轮传染”中，两轮是指两个传染周期．例如，开始有1个人（不妨记为a）被传染，第一轮中a传染给b，c，d，这时有(1＋3)个人被传染；第二轮中这4个人每人又传染了3个人，这一轮新被传染的人数为3×(1＋3)＝12．所以，第二轮后被传染的总人数为3×(1＋3)＋(1＋3)＝16．【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有(1＋x)个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]个人被传染．【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．于是有1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）．答：平均一个人传染了10个人．【追问】如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？【师生活动】教师引导学生借助前面列方程解出的答案，代入求值．【答案】两轮传染之后共有121个人被传染，第三轮的传染源也正是这121人，所以第三轮新被传染的人数为121×10＝1210．三轮传染后被传染的总人数为121＋1210＝1331．【师生活动】算出三轮总人数后，教师引导学生观察人数爆炸式增长，感受传染病快速扩散的危害，体会提前防控、阻断传播的重要意义．【归纳】传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数．【设计意图】将实际问题转化成数学问题，总结解决传播问题的方法．【问题】按照“1传10”的传染速度，n轮传染之后共有多少个人被传染？【师生活动】教师引导学生对已经求出的前三轮被传染的人数进行列式观察，总结规律，从而得出答案．【答案】第一轮后被传染的总人数：1＋10＝11；第二轮后被传染的总人数：11＋10×11＝121；第三轮后被传染的总人数：121＋10×121＝1331．变形后得到：第一轮后被传染的总人数：1＋10＝11；第二轮后被传染的总人数：11＋10×11＝11×(1＋10)＝112；第三轮后被传染的总人数：121＋10×121＝121×(1＋10)＝113．所以，n轮传染之后共有11n人被传染．【追问】如果最初有两个人被传染，按照“1传10”的传染速度，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人被传染？【答案】第一轮后被传染的总人数：2＋20＝22＝2×11；第二轮后被传染的总人数：22＋10×22＝22×(1＋10)＝2×112．【追问】1．根据前面的探究结果，如果最初有a个人被传染，按照“1传10”的传染速度，n轮传染后共有多少个人被传染？2．如果最初有a个人被传染，每轮传染中平均一个人传染给x个人，那么n轮传染后共有多少个人被传染？【师生活动】教师引导学生进行思考，初始感染人数变为a，传播速度变为x，按照前面解决问题的思路进行分析，得出答案．【答案】1．n轮传染后共有a(1＋10)n人被传染．2．n轮传染后共有a(1＋x)n人被传染．【设计意图】通过改变前提条件逐步分析，最终得到解决传播问题的计算方法，即如何找到题目中的相等关系列出方程．【新知】传播问题：若a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总人数，则a(1＋x)n＝b．1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)2，两种写法等价，方便后续推广到多轮传播模型．【易错辨析】注意区分传播问题与后续平均增长率问题：两个公式外形同为a(1＋x)n＝b，但实际意义不同．传播问题中每一轮所有已被传染者都继续作为传染源；增长率问题是基数逐年变化，不要混淆两类模型．同时警惕常见错误：不要把第二轮新增人数直接写成x2，一定要先逐轮分析总人数，再归纳通用公式，切忌死记硬背公式．探究2平均变化率（下降率）问题【问题】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元．随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元．哪种食品成本的年平均下降率较大？【师生活动】教师引导学生思考：怎么求相邻两年之间“成本的年下降额”？怎么求相邻两年之间“成本的年下降率”？并通过分析，和学生一起写出表达式：成本的年下降额＝前一年成本－本年成本；【过渡】本题已知两年前后的成本，我们先计算年平均下降额，它是把两年总共下降的金额平均分到每一年．【分析】甲种食品成本的年平均下降额为(10000－6000)÷2＝2000（元），乙种食品成本的年平均下降额为(12000－7200)÷2＝2400（元）．显然，乙种食品成本的年平均下降额较大．【思考】乙种食品成本的年平均下降额较大，能说明乙种食品成本的年平均下降率较大吗？【师生活动】教师引导学生结合下降额和下降率的计算方法，得出结论：成本的年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．【问题】怎样判断哪种食品成本的年平均下降率较大？【师生活动】教师进行引导，学生组内交流讨论，需要分别求出这两种食品成本的年平均下降率，然后进行比较．【答案】解：①设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本为10000(1－x)元，两年后甲种食品成本为10000(1－x)2元，于是有10000(1－x)2＝6000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5％．②设乙种食品成本的年平均下降率为y，于是有12000(1－y)2＝7200．解方程，得y1≈1.775，y2≈0.225．根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5％．所以，两种食品成本的年平均下降率相等．【思考】解出甲种食品成本的年平均下降率后，为什么选择22.5％作为答案？【答案】根据问题的实际意义，食品成本的年平均下降率应是小于1的正数，所以应选取22.5％作为答案．【问题】通过对平均下降率问题的探究，你能总结出解决平均下降率问题的公式吗？【师生活动】教师引导学生结合探究过程，对解题思路进行分析：设基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为a(1－x)，第二次下降后的数量为a(1－x)(1－x)，即a(1－x)2．以此类推，第n次下降后的数量为a(1－x)n．如果下降n次后的数量为b，那么可列方程a(1－x)n＝b．【答案】平均下降率公式：a(1－x)n＝b．【设计意图】通过对食品成本下降问题进行探究，引导学生归纳总结出解决平均下降率问题的公式；同时还结合实际，提醒学生对解方程的结果进行检验，选出符合问题实际意义的答案．【问题】某村种的水稻2023年平均每公顷产8000kg，2025年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．【师生活动】学生独立对题目进行分析：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．用含x的代数式表示：（1）2024年种的水稻平均每公顷的产量为8000(1＋x)kg；（2）2025年种的水稻平均每公顷的产量为8000(1＋x)2kg．根据分析结果，列方程进行求解．【答案】解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．于是有8000(1＋x)2＝9680．解方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1．根据问题的实际意义，该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10％．【思考】你能总结出解决平均增长率问题的公式吗？【师生活动】仿照对平均下降率公式的分析过程，学生独立完成对平均增长率问题的公式的探究过程：设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数量为a(1＋x)(1＋x)，即a(1＋x)2．以此类推，第n次增长后的数量为a(1＋x)n．如果增长n次后的数量为b，那么可列方程a(1＋x)n＝b．【答案】平均增长率公式：a(1＋x)n＝b．【设计意图】完成对平均增长率问题的解决思路的探究，得出解题公式，同时再一次强调，要根据问题的实际意义对答案进行取舍．【新知】求平均增长率（下降率）问题：一般列方程a(1±x)n＝b．其中a为原始数据，b为增长（下降）后的数据，n为变化次数，x为平均增长率（下降率）．解出所列的方程后，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际意义．【对比辨析】我们发现，传播问题公式a(1＋x)n＝b和平均变化率公式外形相似，但实际情景与内在规律不同：（1）传播问题：每一轮所有已经被传染的个体，都可以作为新的传染源继续向外传播；（2）平均增长率（下降率）问题：仅基数逐年发生变化，不存在“原有个体持续增殖”的特点．做题时不能只记忆公式外形，一定要读懂题目情景，区分两类模型．二、典例精讲【例1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【师生活动】教师引导学生对题目进行分析，得出解题思路：设每轮感染中一台电脑会感染x台电脑．开始有一台电脑感染了病毒，第一轮中它感染了x台电脑，则第一轮后共有(1＋x)台电脑感染病毒；第二轮感染中，这些被感染的电脑中的每一台又感染了x台电脑，则第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]台电脑感染病毒．求出感染速度后，便可以判断三轮感染后共有多少台电脑被感染．【答案】解：①设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程，得1＋x＋x(1＋x)＝81．解方程，得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．②∵第三轮感染的电脑数量为81×8＝648，∴三轮感染后，被感染的电脑总数量为81＋648＝729，∴三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【归纳】传播问题中，原传染源的数量算在感染总数中．若原传染源的数量为1，每个传染源传染x个个体，则第一次传染后感染个体总数为1＋x，第二次传染后感染个体总数为(1＋x)2．传播问题需要找清：（1）每一轮传播的传播源的数量；（2）每一个传播源每轮传播的数量．【设计意图】提高学生解决传播问题的能力，帮助学生熟练掌握该类问题的解题思路．【例2】为进一步发展基础教育，自2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费6000万元，2025年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2026年该县投入教育经费多少万元．【师生活动】学生独立解决问题，教师巡视纠错．【答案】解：（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得6000(1＋x)2＝8640．解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20％．（2）因为2025年该县投入教育经费8640万元，且年平均增长率为20％，所以2026年该县投入的教育经费为8640×(1＋20％)＝10368（万元）．答：2026年该县投入教育经费10368万元．【小结追问】大家观察例1、例2，两道题公式外形都为a(1＋x)2＝b，为什么一道是传播问题、一道是增长率问题？再次回忆两类模型本质区别．趁热打铁，强化辨析，落实本节课最大易错点。【例3】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【师生活动】学生以组为单位进行交流讨论，解答本题．【答案】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x．根据题意，得400(1－x)2＝361．解得x1＝0.05，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5％．（2）361×(1－5％)＝342.95（万元）．答：4月份该公司的生产成本为342.95万元．【归纳】在平均增长率（下降率）问题中，要注意下面三个关系：①增长还是下降；②变化前和变化后的量；③增长（下降）的次数或增长（下降）的周期．【设计意图】巩固学生对平均增长率（下降率）公式的熟练使用，提高解决相关问题的能力．课堂小结板书设计