25.2.1　配方法教学设计2026-2027学年人教版九年级上册数学

25.2.1配方法教学目标教学目标1．掌握配方的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．2．在探究配方法解方程的过程中，体会降次转化、化归思想，理解配方法是实现降次的手段．教学重点教学重点理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程．教学难点教学难点能够熟练进行配方．教学过程教学过程知识回顾1．如果x2＝a，那么x叫作a的平方根．当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，分别为_________；当a为0时，a的平方根为0，即x的值有两个，均为_________；当a为负数时，a没有平方根，即x的值不存在．2．若一个数的平方等于9，则这个数是______；若一个数的平方等于7，则这个数是________．【答案】1．02．±3新课导入【问题】回顾思考：（1）解一元二次方程的核心实质是什么？（2）直接对等式两边开平方，需要满足什么条件？（3）移项时，项的符号如何变化？（4）等式两边同时加同一个代数式，等式仍然成立吗？【答案】（1）降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．（2）方程的一边为完全平方式，另一边为非负数．（3）符号改变．（4）成立．新知探究一、探究学习（一）直接开平方法【问题】观察最简一元二次方程x²=4，如何利用平方根的意义求解？【师生活动】学生口述解题过程，教师板书规范步骤．【解答】根据平方根的意义，得x=±2，即x₁=2，x₂=－2．【归纳】一般地，对于方程x²=p：当p>0时，方程有两个不相等的实数根：x₁=，x₂=－；当p=0时，方程有两个相等的实数根：x₁=x₂=0；当p<0时，任意实数的平方均为非负数，方程无实数根．【探究拓展】对照解方程x²=4的过程，你认为应怎样解方程(x+3)²=5？【师生活动】引导学生把(x+3)看成一个整体，类比基础模型开平方降次．【解答】在解方程x²=4时，由方程x2＝25得x＝±5．由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝±．即x＋3＝，或x＋3＝－．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－．【新知小结】像这样，把含有未知数的完全平方式整体开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解的方法，叫作直接开平方法．【例题】解下列方程：（1）4x²－3=0（2）(x+2)²－9=0【师生活动】两名学生上台板演，教师巡视纠错，规范书写步骤。【解答】（1）移项，并将二次项系数化为1，得x²=，开平方得x=±，即x₁=，x₂=－．（2）移项，得(x+2)²=9，开平方得x+2=±3，即x+2=3或x+2=－3，解得x₁=1，x₂=－5。【课堂小练习】解下列方程：（1）x²－9=0；（2）2x²－8=0；（3）9x²－5=3；（4）(x+6)²－9=0；（5）3(x－1)²－6=0；（6）x²－4x+4=5．【设计意图】由单一平方模型过渡到整体平方形式，分层练习巩固“降次”核心思想，为后续配方变形做好铺垫．【过渡提问】我们会解(x＋3)2＝5这类能直接开平方的方程，观察方程x2＋6x＋4＝0，该如何求解？【追问】方程(x＋3)2＝5的左边是含未知数x的完全平方式，右边是非负数，因此可直接开平方实现降次．能否将方程x2＋6x＋4＝0变形为这种可直接开平方的形式？【师生活动】教师引导观察、对比两个方程结构，启发学生思考配方思路，适时点拨．【设计意图】以直接开平方法为基础，搭建新旧知识桥梁，引出配方转化的核心思路，贴合教材“先降次开方、再学习配方”的编排顺序．（二）配方法【问题】怎样解方程x2＋6x＋4＝0呢？【师生活动】先让学生自主观察、尝试变形；若学生无从下手，教师再逐步引导思考。【追问】把方程(x＋3)2＝5的左边展开，得到x2＋6x＋9＝5，对比这个方程与待求解的x2＋6x＋4＝0，你有什么发现？方程x2＋6x＋4＝0经过怎样转化，可以得到方程(x＋3)2＝5？【师生活动】教师引导学生发现方程之间的关联，同时引导学生发现转化的步骤．【答案】转化及解方程过程：第一步：把方程x2＋6x＋4＝0左边的常数项移到等号的右边，得到x2＋6x＝－4；第二步：在方程x2＋6x＝－4的等号两边同时加9，得到x2＋6x＋9＝－4＋9；第三步：将x2＋6x＋9＝－4＋9的左边写成完全平方形式，得到(x＋3)2＝5．第四步：对方程(x＋3)2＝5直接开平方降次求解．【追问】转化过程第二步中，为什么在方程两边加9？加其他数行吗？【师生活动】教师抛出问题，学生小组讨论交流、发表观点，教师总结梳理配方核心规则．【答案】要想使方程左边化成完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征可知，当二次项系数为1时，需要加上一次项系数一半的平方，本题一次项系数为6，一半是3，平方为32＝9；加其他数，无法将左侧配成标准完全平方式．【设计意图】通过对比、分步探究，让学生自主归纳配方的基本思路与操作步骤，体会转化、降次的核心思想．【新知】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解；配方法的依据：完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2．【过渡】前面我们学习了直接开平方法，也探究出配方变形的思路，接下来通过三道典型例题，完整掌握配方法解方程的规范步骤。二、典例精讲【例题】解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．【师生活动】学生独立完成，请两名学生板书，教师与学生一起总结解方程的步骤，给出规范格式．【分析】（2）先把方程化成2x2－3x＋1＝0．它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．【答案】解：（1）移项，得x2－8x＝－1．配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，(x－4)2＝15．由此可得x－4＝±，x1＝4＋，x2＝4－．（2）移项，得2x2－3x＝－1．二次项系数化为1，得x2－x＝－．配方，得x2－x＋＝－＋，．由此可得x－＝±，x1＝1，x2＝．（3）移项，得3x2－6x＝－4．二次项系数化为1，得x2－2x＝－．配方，得x2－2x＋12＝－＋12，(x－1)2＝－．因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．【设计意图】细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到按部就班、环环落实．【归纳】1．用配方法解形如x2＋px＋q＝0的方程（1）移项，将常数项移到方程的右边；（2）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（3）直接用开平方法求出它的解．2．用配方法解系数不为1的一元二次方程的要点（1）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数要化为1；（2）在二次项系数化为1时，常数项也要同步除以二次项系数；（3）后续配方步骤同上．【问题】通过配方将方程化为(x＋n)2＝p后，根据p的取值情况，你能总结出方程解的情况吗？【师生活动】先由学生归纳，教师补充完善，得到方程的解的三种情况．【答案】如果一个一元二次方程通过配方可以转化成(x＋n)2＝p的形式，则有：（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：x1＝－n＋，x2＝－n－；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－n；（3）当p＜0时，方程无实数根．【设计意图】让学生知道p可能的取值情况，由此得出方程的解的三种情况，为下节课推导求根公式奠定基础．【思考】通过例题解答，你能总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤吗？【师生活动】学生独立思考、讨论、总结，教师引导学生得出配方法的基本步骤．【答案】1．把常数项移到等号的右边．2．把二次项系数化为1．3．在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．4．利用直接开平方法降次求出方程的解．简记为：“一移二化三配四解”．补充说明：前文分两类梳理解题注意事项，下方为通用完整解题口诀，兼顾不同层次学生记忆需求．【设计意图】引导学生归纳配方法解任意一元二次方程的通用操作步骤，简记“一移二化三配四解”，规范解题流程．课堂小结板书设计25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法一、直接开平方法（把完全平方式整体开方，实现降次）二、配方法（一）配方法的概念1．定义：配成完全平方式解方程2．核心：降次3．依据：完全平方公式（二）配方法的步骤：一移二化三配四解（三）配方法的关键：加一次项系数一半的平方（四）配方后(x＋n)2＝p根的三种情况课后任务课后任务完成教材第9页练习题．教学反思教学反思___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________