25.3　实际问题与一元二次方程（第3课时）教案2026-2027学年人教版九年级上册数学

25.3实际问题与一元二次方程（第3课时）教学目标教学目标1．理解单循环、双循环问题的数量关系，能建立一元二次方程解决握手、球赛、互赠礼品、多边形对角线应用题；辨析两类核心模型：n(n－1)（单循环）与n(n－1)（双循环）；了解多边形对角线模型n(n－3)；能根据方程根的实际意义检验结果，舍去不合理解．2．通过实例探究、对比辨析，提炼组合计数模型，提升阅读理解、建模能力．3．感受数学在赛事安排、生活聚会中的应用，养成审题、区分模型的良好习惯．教学重点教学重点识别单循环、双循环情境，列出对应方程．教学难点教学难点准确判断题目是否需要乘，区分两两之间只发生一次事件（单循环）与两两之间发生两次独立事件（双循环）．教学过程教学过程新课导入回顾本章第一节中的排球邀请赛问题：例题：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？分析：总比赛场数为7×4＝28．设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛一场，则此次邀请赛共需进行x(x－1)场，所以可列得方程x(x－1)＝28．整理，得x2－x－56＝0．解得x1＝8，x2＝－7（舍去）．答：组织者应邀请8支球队参赛．教师设问：如果两支球队之间要进行两场比赛（主客场制，A主场对阵B、B主场对阵A），所列方程会发生什么变化？学生思考交流后教师小结：单循环中AvsB和BvsA算作同一场比赛，需要除以2；主客场双循环中这是两场独立赛事，不再除以2，总场次表达式变为x(x－1)．今天我们就系统研究这类单循环、双循环实际问题．【过渡】同学们，我们借助排球邀请赛的情境，区分了单循环与双循环的数量关系．在主客场双循环赛制下，总场次满足n(n－1)．有人提出：按照双循环赛制，总比赛场次正好是300场．他的计算正确吗？接下来我们进入新知探究．新知探究一、探究学习【问题】若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说：我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？【师生活动】教师活动：出示探究问题，请同学们独立审题，思考两个核心问题①主客场双循环赛制下，总比赛场数怎么表示？②怎样判断“总场次能否等于300”？给学生3分钟独立思考，之后小组内交流思路．学生活动：自主读题、设未知数、尝试列出方程；小组互相交流列式依据，讨论“解出来的根需要满足什么条件才符合现实意义？”教师层层追问：【追问1】什么是主客场双循环比赛？两支球队之间要进行几场比赛？预设学生回答：A队和B队之间要比赛两场，A主场一场，B主场一场．【追问2】设有n支球队参赛，每一支球队需要和多少支其他球队交手？一共能列出什么样的总场次表达式？预设学生回答：每一支球队要和其余(n－1)支球队各进行2场比赛，总场次为n(n－1)．【追问3】如果这个人说法成立，总场次等于300，我们可以列出怎样的方程？预设学生板书：n(n－1)＝300．【追问4】在实际问题里，球队数量n有什么要求？预设学生回答：n必须是大于1的正整数．【追问5】我们解这个一元二次方程，观察根的特点；根号内的1201是完全平方数吗？这代表n能取符合要求的整数吗？【分析】双循环比赛是指所有参赛球队彼此之间进行两场比赛．设有n支球队参赛，每一支球队都要与其余(n－1)支球队分别进行主、客场两场比赛，因此比赛总场数为n(n－1)．【答案】解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，由此可列方程：n(n－1)＝300．整理，得n2－n－300＝0．运用一元二次方程求根公式，此时a＝1，b＝－1，c＝－300．所以Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－300)＝1＋1200＝1201，所以n＝．因为1201不是完全平方数，所以n不是整数．又因为球队数量n应当为正整数，所以不存在满足条件的参赛队伍数量．所以总场数不可能为300，他算得不对．【拓展追问】我们已经借助一元二次方程得到结论．大家观察式子n(n－1)，n和n－1是什么数量关系？由此想一想，双循环总场数存在什么特点？预设学生回答：n与n－1是两个连续正整数，总场数一定等于两个连续正整数相乘．教师补充验证：16×17＝272，17×18＝306，不存在两个相邻正整数乘积等于300，同样可以验证结论．教师小结：方程法是通用方法；这个观察法是快速判断的简便思路．【追问】通过这道题我们得到什么重要解题习惯？引导学生总结：列出方程求出根后，必须检验根是否符合实际意义（正整数、正数等限制）．【过渡设问】刚才我们研究了球赛的单循环、双循环模型．生活中还有很多和球赛原理一致的问题，比如聚会握手、同学之间互赠礼品．大家想一想：握手问题更贴近单循环还是双循环模型？下一组例题我们一起来辨析．【设计意图】本探究题为教材原题，承接导入环节单、双循环模型对比，巩固双循环模型n(n－1)；借助真实赛事情境培养数学建模能力，强化一元二次方程应用题必须检验根是否符合现实意义（正整数）的解题习惯，同时为后续握手、互赠礼品、多边形对角线等同类模型迁移做好铺垫，突破本节课区分单、双循环的教学难点．二、典例精讲【例1】某次同学聚会，所有人两两握手一次，经统计一共握手55次，求参加聚会的人数．【师生活动】教师活动：出示例题，引导学生审题思考：①A和B握手，与B和A握手，算作一次还是两次？②本题属于单循环还是双循环？该列出什么式子？给学生2分钟独立列式求解，请一名学生上台板书．学生活动：独立审题、设未知数、建立方程求解．【追问1】设有x人参加聚会，每个人需要和多少人握手？预设：(x－1)人【追问2】直接写x(x－1)代表什么？为什么要乘（除以2）？预设：x(x－1)会把A—B、B—A算作两次握手，实际只能算一次，因此除以2．【答案】解：设共有x人参加聚会．由题意，得x(x－1)＝55．整理，得x2－x－110＝0，解得x1＝11，x2＝－10．因为人数不能为负数，所以舍去x2＝－10．答：一共有11人参加聚会．【归纳】握手模型公式为x(x－1)，属于单循环．【设计意图】以聚会握手情境呈现标准单循环模型，让学生理解“A与B握手”和“B与A握手”属于同一事件，掌握公式x(x－1)，建立基础模型认知．【例2】手工兴趣小组内，每位同学向小组内其他同学各赠送一件手工艺品，全组一共互赠132件手工艺品，这个小组共有多少名同学？【师生活动】教师活动：出示例题，对比握手题提问：同样是人与人之间互动，本题和握手有什么不同？组织学生同桌交流．学生活动：对比两道例题情境，尝试列式．【追问1】A送给B礼品、B送给A礼品，这是两件独立礼物吗？能不能只算一次？预设：是两件独立礼物，不能只算一次．【追问2】本题还需要乘（除以2）吗？为什么？预设：不需要乘，A送给B与B送给A算作两件不同物品，不存在重复计数．【答案】解：设小组有x名同学．由题意，得x(x－1)＝132，整理，得x2－x－132＝0．解得x1＝12，x2＝－11（舍去负数）．答：小组一共有12名同学．【模型对比小结】（1）只发生一次（A—B等价B—A）：握手、单循环球赛n(n－1)（2）双向独立（A→B与B→A不同）：主客场球赛、互赠礼品n(n－1)【设计意图】选取和握手高度相似的生活情境形成对照，突出两类模型核心差异：互赠礼物是两件独立事件，无需乘，突破本节课核心易错点。【过渡】我们已经分清了握手与互赠礼品两类典型模型。数学中还有一类单循环衍生模型——多边形对角线问题，请大家留意，它的公式和握手模型并不完全相同．【例3】一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．【师生活动】教师活动：引导回忆对角线概念“一个顶点不能连接自身、相邻两个顶点．”学生活动：思考“n边形每个顶点可以引出几条对角线？”【追问1】n边形的一个顶点，能和其余多少个顶点连成对角线？预设：(n－3)个【追问2】为什么是n－3，不是n－1？预设：不能连自己，不能连左右相邻两个顶点．【追问3】对角线会重复计算吗？因此总对角线公式是什么？【答案】解：设多边形为n边形，对角线总数公式为n(n－3)．①由题意，得n(n－3)＝20．整理，得n2－3n－40＝0，解得n1＝8，n2＝－5（舍去）答：它是八边形．②由题意，得n(n－3)＝18．整理，得n2－3n－36＝0．此时a＝1，b＝－3，c＝－36．所以Δ=(−3)2−4×1×(−36)＝9＋144＝153，不是整数，没有正整数解，因此不存在．【设计意图】作为单循环模型的变式拓展，引导学生区分对角线公式n(n－3)与基础握手公式，防止学生机械套用公式，培养具体情境具体分析的习惯。【典例精讲板块总体设计意图】选取握手、互赠礼品两组高度相似但列式不同的情境进行对比辨析，直击本节课难点：判断是否需要乘；借助多边形对角线作为变式拓展，区分基础单循环与对角线模型，防止学生机械套用公式；通过建模、列式、检验完整流程，巩固一元二次方程解决计数类应用题的解题规范，实现球赛模型向生活、几何情境的模型迁移．课堂小结板书设计一、两类核心计数模型1．单循环（两两事件只算1次）A↔B视为同一件事公式：n(n－1)适用：握手、单循环球赛2．双循环（两两为独立两件事）A→B与B→A互不相同公式：n(n－1)适用：主客场球赛、互赠礼品二、拓展变式：多边形对角线n边形对角线总数为n(n－3)区别：不能连接自身、相邻顶点三、通用解题步骤审→设→列→解→检验（正整数、正数）→答课后任务 课后任务完成教材第23页练习第1题、第24页习题25.3第3题．教学反思教学反思_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________