实际问题与二次函数第三课时课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与二次函数（第3课时）人教版九年级上册数学解决实际最值问题的一般流程是什么？分析变量关系，列出二次函数解析式，利用顶点或者自变量取值区间性质求最值．二次函数常见两种解析式形式：①一般式

y＝ax2＋bx＋c；②顶点式

y＝a(x－h)2＋k．思考：在抛物线形问题中，如果我们能够直接找到抛物线的顶点坐标，优先选择哪一种解析式？为什么？优先选用顶点式，顶点坐标可以直接代入，只需要求一个未知数

a，计算更简便．一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4

m

时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1

m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？思考：我们之前学习的面积、利润最值问题，可以直接根据文字列出函数表达式；而拱桥外形是抛物线曲线，我们该怎样利用二次函数求出水位上涨后的水面宽度？探究一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4

m

时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1

m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？想要利用二次函数研究这条抛物线，首先要把实物图形转化为平面直角坐标系内的函数图象，把图中的长度转化成点的坐标，这就是数学建模．如何建立平面直角坐标系，是我们今天首要思考的问题．探究一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4

m

时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1

m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？以拱顶（抛物线顶点）为坐标原点，抛物线的对称轴为y

轴，建立平面直角坐标系．探究Oy/mx/m－1－224－41－3－2－1－335－5－4一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4

m

时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1

m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？探究－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4思考：①坐标系建好后，观察图形，你能直接读出哪些点的坐标？②已知抛物线顶点在原点，我们优先设哪种形式的解析式？一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4

m

时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1

m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题．为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y

轴，建立平面直角坐标系．探究－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y

轴建立平面直角坐标系（如图）．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(5，－4)，可得－4＝a×52，解得

a＝

．因此，这条抛物线表示的二次函数为

．－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4当水面上升1

m

时，由

得此时水面左右端点的横坐标分别为

所以水面宽度为所以水面上升

1m后，水面宽约为

8.6m．水面的纵坐标为－3．≈8.6（m）．－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4除了这种建系方式，我们还可以怎么建立平面直角坐标系解决这道拱桥问题？方案①：以水面左侧交点为原点，水面水平线为

x轴建立平面直角坐标系（如图）．1Oy/m79632x/m810424135(5，4)

1Oy/m－224－4132x/m－1－335－54方案②：以水面中点（拱顶正下方水面处）为原点，水面水平线为

x轴建立平面直角坐标系（如图）．方案③：以水面右侧交点为原点，水面水平线为

x轴建立平面直角坐标系（如图）．1Oy/m32x/m4(－5，4)

－2－4－3－5－1－7－9－8－10－6大家观察三种新坐标系，结合抛物线顶点位置，思考：每种方案适合设哪一类解析式？计算量和刚才的方案对比，有什么感受？坐标系选择会直接影响计算复杂程度．对比所有建系方案，想要简化运算，建立坐标系时有什么技巧？优先利用抛物线的对称性，尽可能把抛物线顶点放置在坐标轴上，将对称轴设置为y

轴，解析式形式最简单．归纳抛物线拱形类问题建系技巧（1）充分利用抛物线的对称性，优先将对称轴设为y

轴，简化计算；（2）建系后根据顶点位置选择解析式：①顶点落在原点：优先设

y＝ax2；②顶点在y

轴上（非原点）：优先设

y＝ax2＋k；③顶点不在y

轴上：优先选用顶点式

y＝a(x－h)2＋k．抛物线拱形（抛物线轨迹）问题通用解题步骤（1）建：建立适当的平面直角坐标系；（2）设：根据顶点位置灵活选择解析式（优先顶点式，简化运算）；（3）求：代入已知点坐标，求出函数关系式；（4）用：根据题意确定对应纵坐标（横坐标），求出对应自变量，换算线段长度，回归实际问题作答．归纳

例1在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线

y＝－0.2x²＋3.85的一部分（如图）．若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l．问题：对比刚才拱桥例题，这道题和拱桥题有什么不同？

例1在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线

y＝－0.2x²＋3.85的一部分（如图）．若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l．思考：①篮筐高度为3.05m，对应函数中哪个量？②我们需要先求什么？再怎样计算距离l？解：由题意，得篮筐高度

y＝3.05，令y＝3.05，得

－0.2x²＋3.85＝3.05，整理，得－0.2x²＝－0.8，即

x²＝4，解得x＝±2．结合图象，篮筐在y

轴右侧，取x＝2．因为运动员投篮位置的横坐标x＝－3.2，所以

l＝2－(－3.2)＝5.2（m）．答：运动员到篮筐正下方的距离l

为5.2m．－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4无论是拱桥建筑，还是投篮运动轨迹，本质都是抛物线型实际问题，都遵循“建—设—求—用”的通用解题流程，区别仅在于坐标系与解析式是否提前给出。

例2一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面

4m

时，水面宽

10m．突降暴雨后水面上升

1m，有一艘装有物资的船准备从桥下通过．船身及物资外形如图所示．这艘船宽

4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面

2m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？本题坐标系需要我们自主建立，请大家回忆刚才总结的解题四步骤．－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y

轴建立直角坐标系（如图）．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(5，－4)，可得－4＝a×52，解得a＝

．因此，这条抛物线表示的二次函数为

．当水面上升1

m

时，水面的纵坐标为－3．－1Oy/m－224－41－3－2x/m－1－335－5－4因为物资顶部距离水面2m，所以物资顶部纵坐标为－3－2＝－5．船宽4m，船只居中通行，对应横坐标为x＝2．将x＝2

代入解析式，得

y＝×22＝＝－0.64，即横坐标

x＝±2处，拱桥高度对应纵坐标为－0.64．∵－0.64＞－5，说明该位置桥拱高于物资顶部．∴这艘船能够顺利通过．

例2一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面

4m

时，水面宽

10m．突降暴雨后水面上升

1m，有一艘装有物资的船准备从桥下通过．