25.2.1配方法课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

配方法人教版九年级上册数学

1．如果x2＝a，那么x

叫作a

的平方根．当a

为正数时，a

有两个平方根，即x

的值有两个，分别为_____；

当a为0时，a的平方根为

0，即x的值有两个，均为_____；当a为负数时，

a没有平方根，即x的值不存在．

2．若一个数的平方等于9，则这个数是_____；若一个数的平方等于7，则这个数是_____．0±3（1）解一元二次方程的核心实质是什么？（2）直接对等式两边开平方，需要满足什么条件？（3）移项时，项的符号如何变化？（4）等式两边同时加同一个代数式，等式仍然成立吗？降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．方程的一边为完全平方式，另一边为非负数．符号改变．成立．交流讨论观察最简一元二次方程

x2＝4，如何利用平方根的意义求解？解：根据平方根的意义，得x＝±2，即

x1＝2，x2＝－2．归纳对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1＝－

，x2＝

；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．探究对照解方程x2＝4的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？分析：在解方程

x2＝4时，由方程x2＝4得x＝±2．由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝±．即x＋3＝，或x＋3＝－．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－．利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义．例题

解下列方程．（1）4x2－3＝0；（2）(x＋2)2－9＝0．

解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得x2＝

，由此可得x＝±，即

x1＝

，x2＝－

．（2）移项，得(x＋2)2＝9，由此可得x＋2＝±3，x＋2＝3，或

x＋2＝－3，即

x1＝1，x2＝－5．练习

解下列方程．（1）x2－9＝0；

（2）2x2－8＝0；

（3）9x2－5＝3；（4）(x＋6)2－9＝0；（5）3(x－1)2－6＝0；（6）x2－4x＋4＝5．

解：（1）移项，得x2＝9，由此可得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3．（2）移项，将二次项系数化为1，得

x2＝4，由此可得x＝±2，即

x1＝2，x2＝－2．（3）移项，将二次项系数化为1，得

x2＝

，由此可得x＝±

，即

x1＝

，x2＝－

．练习

解下列方程．（1）x2－9＝0；

（2）2x2－8＝0；

（3）9x2－5＝3；（4）(x＋6)2－9＝0；（5）3(x－1)2－6＝0；（6）x2－4x＋4＝5．（4）移项，得(x＋6)2＝9，由此可得x＋6＝±3，即

x1＝－3，x2＝－9．（5）移项，将二次项系数化为1，得

(x－1)2＝2，由此可得x－1＝±，即

x1＝1＋

，x2＝1－

．（6）左边写成完全平方形式，得

(x－2)2＝5，由此可得x－2＝±

，即

x1＝2＋

，x2＝2－

．方程(x＋3)2＝5的左边是含未知数

x的完全平方式，右边是非负数，因此可直接开平方实现降次．思考我们会解(x＋3)2＝5这类能直接开平方的方程，观察方程

x2＋6x＋4＝0，该如何求解？能否将方程

x2＋6x＋4＝0变形为这种可直接开平方的形式？思考怎样解方程x2＋6x＋4＝0？把方程(x＋3)2＝5的左边展开，得到x2＋6x＋9＝5，对比这个方程和所要求解的方程，你有什么发现？这两个方程经过移项完全一样，说明方程x2＋6x＋4＝0经过转化可以得到方程(x＋3)2＝5，现在我们来探究这个转化过程.解方程

x2＋6x＋4＝0：经过变形，得到了容易解决的方程．解：（1）移项，得x2＋6x＝－4，方程两边同时加

9，得x2＋6x＋9＝－4＋9，左边写成完全平方形式，得(x＋3)2＝5，解这个方程，得

x1＝－3＋

，x2＝－3－

．经检验，－3±是方程

x2＋6x＋4＝0的两个根．思考为什么在方程

x2＋6x＝－4的两边加

9？加其他数行吗？根据完全平方公式：当二次项系数为1时，9是一次项系数

6一半的平方，加

9刚好与

x2＋6x能够配成一个完全平方式：

x2＋6x＋9＝

(x＋3)2．所以不能加其他数．归纳通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解；配方法的依据：完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2．例解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．解：（1）移项，得x2－8x＝－1．配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，(x－4)2＝15．由此可得x－4＝±，x1＝4＋

，x2＝4－．用配方法解形如x2＋px＋q＝0的方程（1）移项，将常数项移到方程的右边．

（2）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式．

（3）直接用开平方法求出它的解．

例解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．分析：（2）先把方程化成2x2－3x＋1＝0．它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．例解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．解：（2）移项，得2x2－3x＝－1．二次项系数化为1，得x2－x＝－．配方，得x2－x＋＝－＋，由此可得x－＝±，x1＝1，x2＝．例解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0；（2）2x2＋1＝3x；（3）3x2－6x＋4＝0．解：（3）移项，得3x2－6x＝－4．二次项系数化为1，得x2－2x＝－．配方，得x2－2x＋12＝－＋12，(x－1)2＝－．因为实数的平方不会是负数，所以x

取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．用配方法解系数不为1的一元二次方程的要点（1）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数要化为1；（2）在二次项系数化为1时，常数项也要同步除以二次项系数；（3）后续配方步骤同上．归纳

如果一个一元二次方程通过配方可以转化成(x＋n)2＝p的形式，则有：（2）当p＝0

时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－n；（3）当p＜0

时，方程无实数根．（1）当p＞0

时，方程有两个不等的实数根：x1＝－n＋，x2＝－n－；你能根据例题中解方程的过程，总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤吗？问题

1．把常数项移到等号的右边．2．把二次项系数化为1．3．在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．4．利用直接开平方法求出方程的解．一移二化三配四解特别提醒

在使用配方法解方程之前，需要先把方程化为x2＋px＋q＝0的形式．配方时易出现的错误（1）移项忘记变号．（2）系数化为1时漏项．（3）方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方．（1）将二次项系数化为1是运用配方