苏科版九年级数学上册 一元二次方程的解法（能力提升）解析版

2.2一元二次方程的解法

能力提升题

题型一配方法的应用

1.将代数式/-10%+5配方后，发现它的最小值为()

A.-2。B.-1UC.-5D.0

【答案】A

【详解】解：；x2—10x+5=x2—10x+25-20=(x—5)2-20,

又•••对任意实数%都有(％-5)2>0,

・•・当(X-5)2=0时，代数式取得最小值，最小值为-20.

2.数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2az4-4a,N=-2(小一2a+2).

⑴比较M,N的大小：

(2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0.

【答案】(1)M>N；(2)见解析

【详解】(1)解：N=-2(a2-2a+2)=-2a2+4cz-4,

:.M-N

=-2a2+4a-(-2a2+4Q-4)

=-2a2+4a+2a2—4Q+4

=4>0,

:・M>N；

(2)证明：•••P+2N=M-5,

.•/=M—5—2N

=-2a2+4a-5-2(-2a2+4a-4)

=-2a2+4Q-5+4a2-8a+8

=2a2—4a+3

=2a2-4Q+2+1

=2(Q2-2Q+1)+1

=2(a-l)2+l,

•••(a-I)2>0,

：.2(a-l)2+1>1,

即P>1,

••.P不可能小于0.

3.阅读下列材料：

材料一“小>0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：炉+4x+5=

X24-4%+4+1=(x+2)2+1

222

,:(r4-2)>0,A(%+2)+1>1,.%X4-4x+5>1

解决下列问题：

(1)填空：x2-6x4-10=(%_)2+_.

(2)已知％2—2xy+2y2+2y+1=0,求x+y的值.

(3)比较代数式%2-1与2%-3的大小,并说明理由

【答案】(1)一3：1；(2)—2；(3)%2-1>2方一3,理由见解析

【详解】(1)解：x2-6%+10=x2-6%+9+1=(x-3)2+1；

(2)解：x2-2xy4-2y2+2y+1=0

(x2-2xy+y2)4-(y2+2y+1)=0

(x-y)2+(y+l)2=0

•••(x-y/>0,(y+I)2>0

.-.x-y=0,y+1=0

:X=y=-1

•,%+y=-1+(-1)=-2：

(3)解：x2-1>2x-3,理由如下：

x2-1-(2x—3)

=-1-2x4-3

=/-2%+2

=x2-2x+1+1

=(x—I)2+1

v(x-I)2>0

.,.(x-I)2+1>1>0,

二十—1—(2x-3)>0

•••x2—1>2x—3.

4.配方法是数学中重要的•种思想方法.常被用到代数式的变形中，还能解决•些与非负数有关的问题或

求代数式最大值.最小值等，例如：求代数式2/-4%+5的最小值，解法如下：

解：2/-4%+5=2(/-2%)4-5=2(7-2x+1-1)+5

=2(x—I)2-24-5=2(%-I)?+3

••,2仪-1)220,.•.2(%一1)2+323.*/-4x+S的最小值是3.

根据材料中的方法，解答下列问题：

⑴若M-6Q+9++1|=0,求成的值.

(2)求代数式工2一6%+12的最小值.

(3)用配方法说明：不论x为何值：代数式3M+6%+10的值总是正数.

【答案】(1)4(2)最小值为3；(3)见解析

【详解】(1)解：。2-6。+9+m+1|=0

•••(ci-3)24-|Z?4-1|=0

2

V(O-3)>0,|ZJ+1|>0

•••Q—3=0,b+1=0

•••a=3,d=—1

：.ab=3T=-：

3

(2)解：x2—6x+12

二,-6%+9+3

=(%-37+3

•••(%-3)2>0

-3)24-3>3

-6%十12的最小值为3；

(3)解：3无2+6%+10

=3(x2+2x+l-1)+10

=3(x4-I)2-3+10

=3(%+1)2+7,

•••3(x+I)2>0,

.-.3(X+1)2+7>7,

.*.3(x+1)2+7>0

••・不论x为何值：代数式3/+6、+10的值总是正数.

题型二根据一元二次方程的根求参数的值

1.若关于欠的一元二次方程/+2%-女=0有实数根，则々的取值范围是()

A.k>lB./c<-1C.k<-1D.k>-l

【答案】D

【详解】解：二•关于工的一元二次方程％2+2%一人=。有实数根，

=22-4x1x(-k)=4+4/c>0

解得kN-L

2.如果关于人的•元二次方程左7-2工+3-0有两个不相等的实数根，那么A的取值范围是《)

A.k>3B.k<\C./c>；D.左〈；且丘0

MMSO

【答案】D

【详解】解：•••方程h2-2%+3=0是关于x的一元二次方程，

:・kN0

•.•方程有两个不相等的实数根，

・••根的判别式A=(-27-4x/cx3>0,

解得k<|

•5

综上，k的取值范围是kV,且kH0.

2

3.若关于"勺一元二次方程(Q+l)x+(a+l)x-1=。有两个相等的实数根，贝必=.

【答案】-3

【详解】解：••・关于汇的一元二次方程(。+1)/+(。+1)%-[=0有两个相等的实数根，

二Q+1H0且A=(a+1)2-4•(a+1).(-[)=0,

由a+1H0得a,一L

化简△=0得：(a+I)2+2(a+1)=0,解得a=-1或a=-3,

•••a=-3.

4.如果关于x的一元二次方程/-2工+g=0没有实数根，那么*的最小整数是.

【答案】3

【详解】解：•.•关于”的一元二次方程/-2%+：=0没有实数根，

•••△=b2-4ac=(-2)2—4xlx^<0,

化简得4-2k<0,

解得k>2,

M的最小整数值为3.

题型三换元法解一元二次方程

1.已知〃、〃满足(J-淋)(〃2-庐+驴+4=0,则代数式扇的值为()

A.-2B.4C.-2或4D.2

【答案】4

【解答】解：设x=〃2-射，方程化为f+4x+4=0,

(x+2)2=0,

解得：--2,

•斓-b2=-2,

故选：A.

2.若关于x的一元二次方程〃(.v+m)2+〃=。的两根分别为月=-2,0=1,则关于x的一元二次方程

(x+w-2025)2+/?=0(«#0)的两根分别为()

A.XI=-2,X2=IB.Xi=2023,J2=2026

C.x\=-2023,X2=2O26D.XI=-2027?X2=-2022

【答案】B

【解答】解：令尸x-2025,

由a(x+〃？・2025)2+/?=0可得aCy+m)2+n=0,

-a(x+m)2+〃=0的两根分别为川=-2,xi=\,

'-a(y+W2+〃=o的两根分别为y|=-2,y2=l,

・2=x・2025或l=x-2025,

解得xi=2023,X2=2026；

故选:B.

3.一元二次方程a(x+h)，Z:=0的两根分别为-3,1,则方程a(2x+/?-3)2+k=0(a#0)的两根分别为

()

A.xi=-6,X2=~2B.xi=O,X2=-I

C.x\=-9,X2=-1D.xi=O,X2=2

【答案】。

【解答】解：由题知，

格一元二次方程4(%+力)2+k=0中的“X”用“2x-3”替换，

可得方程a(2.v+/?-3)2+k=0.

因为一元二次方程a(x+h)2+k=0的两根分别为-3,1,

所以2A•・3=・3或1,

解得x=0或2,

即方程aC2x+h-3)2+k=0(,#())的两根分别为用=(),x2=2.

故选：D.

4.若是一个直角三角形两条直角边的长a,b,满足(/+庐)(j+1J+i)二口，则这个直角三角形的斜边

长为.

【答案】V3

【解答】解：•./,〃是一个直角三角形两条直角边的长

设斜边为c,

:.(/+，)(a2+b2+1)=12,根据勾股定理得:c2(J+l)-12=0

期(c2-3)(C?2+4)=0,

•*+4和，

■•c2-3=0,

解得—遍或0=-V3(舍去).

则直角三角形的斜边长为百.

故答案为：V3

c

1.己知关于x的方程/-(3A+1)X+2F+2Z=0

(1)当2=1时，请判断此方程根的情况.

(2)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根.

(3)若等腰AABC的一边长为。=6,另两边长Ac恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.

【答案】(1)方程有两个相等的实数根；(2)见解析；(3)三角形的周长为16或22.

【解答】(1)解：•・•△=[・(32+1)]2-4xlx(2F+2k)

=(…)2,

当2=1时，△=(),则方程有两个相等的实数根：

(2)证明：△=[-(3H1)]2-4xlx(2d+2%)

=&2-2A+I

=(1)2,

•・•(2-1)2>0,

所以无论A取什么实数值，方程总有实数根；

(3)解：原方程因式分解得：(工-2&)(x-k-\)=0,

解得：x]=2k,x2=k+\,

：b,c恰好是这个方程的两个实数根，设〃=2匕c=Hl,

当a、》为腰，则4=2=6,而a-b<cf所以三角形的周长为：6+6+4=16；

当。、c为腰,则4+1=2匕解得4=1,

■-b=c=2,这种情况不成立；

当a、c为腰&+1=6则火=5,

.,./?=10,

三角形的周长为：6+6+10=22.

综上，三角形的周长为16或22.

2.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为。△)=/-/?,根据这个规则，解决下列问题.

(1)求4&3的值.

(2)当(A-+2)△SnO时，求；I的值.

(3)已知一个直角三角形的两边长是方程3a(x-8)=0的两个根，求第三边的长.

【答案】(1)7；(2)x=-7或x=3；(3)或4遍.

【解答】解：(1)4A3=42-32=7；

(2)(x+2)A5=0,

即(x+2)2-52=0,

解得x=-7或K=3；

⑶3A(x-8)=0

即32-(x-8)2=0,

解得工=5或x=11,

即直角三角形的两边长分别为5和11,

当11为直角边长时，第三边的长=V52+I/=0诟:

当11为斜边边K时，笫三边的K=Vll2-52=4V6,

综上所述，第三边的长二/荻或4遍.

3.己知方程。1+2版+。=0,其中实数小b,c满足a>b>c,且a+〃+c=0.

(I)试求£的取值范围；

a

(2)求证：方程ad+2〃x+c=0有两个不相等的实根，且均小于2.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：a>b>cfa+b+c=0,

b=~(a+c),

a>-(a+c)>c,

-2<-<-1；

a2

(2)证明：A=(2b)2-4ac

=4b2-4ac=4(a+c)2-4ac

=4(a2+c2+ac)

=4[(a+'c)?+*C2]K),

且存存0,

有两个不相等的实根,

解方程。』+2法+c=0得k一5±*2-砒

令X1>X2,

3

十-

3=1V+J(＞》4

方程ar+2bx+c=0有两个不相等的实根，且均小于2.

4.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式/+4），+8的最小值.

解：『+4y+8=）2+4.y+4+4=（j+2）2+4.

•••（y+2）2>0,

:.（y