用频率估计概率-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）学生版

第七讲用频率估计概率

【学习目标】

能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部.

所蕴涵的客观规律一频率的稳定性、知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.

【基础知识】

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事

件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂口勺试验来完成概率估计，这样的试验称为模

拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随

机数。

【考点剖析】

考点一：求事件的频率

例I.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八(1)班学生在数学

实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一

个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统

计表：

摸球的次数s15030060090012001500

摸到白球的频数n63a247365484606

摸到白球的频率20.4200.4100.4120.4060.403b

S

(1)按表格数据格式，表中的；b=；

(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1)；

(3)请推算：摸到红球的概率是_______(精确到0』)；

(4)试估算：这一个不透明的口袋中红球有只.

考点二：由频率估计概率

例2.勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务.在学期初，小丽同

学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x

小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0Sv<10),B(10<v<20),C(20<x<30),D(30<r<40),

E（x>40）.并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图:

16

14

12

10

ABCDE类别

做家务总时间条形统计图做家务总时间扇形统计图

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了名学生；

（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中阳=,类别。所对应的扇形圆心角a的度数是度；

（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率.

考点三：用频率估计概率的综合应用

例3.如图，两个转盘A,8都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针,

同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指

向上边的扇形）

（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；

（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：

转机总次数20305010()150180240330450

“和为7”出现的频数71()1630465981110150

“和为7”出现的频率0.350.330.320.300.310.330.340.330.33

如果实验继续进行卜.去，根据上表数，据,出现“和为7”的4页率将彳急定在它的概率附近，试估计出现“和为7”

的概率;

（3）根据（2）,若OVxVy,试求出x与y的值.

【真题演练】

1.某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲤鱼，该鱼

塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率检定在0.5附近,

则该鱼塘捞到鳏鱼的概率约为（

2.•个不透明的盒子里装有若干个同••型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球

的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里.每次摸球前先将盒子

里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频

率稳定在30%,估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）

A.21B.24C.27D.30

3.小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的

每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频

率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）

B.抽出的是“长”字

D.抽出的是带打”的字

4.某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频

率是，在这300个灯泡中估计有个为不合格产品.

5.“新冠病毒”的英语“NcwCoronavirus”中，字母"o”出现的频率是

6.“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早''字出现的频率是______

7.某农场引进•批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验.实验结果

如下表所示：

实验的菜种数2005001000200010000

发芽的菜种数19348798319429734

发芽率0.9650.9740.9830.9710.973

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为.（精确到（）.01）

8.同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频

率，卜.表是依次累计的实验结果.

抛掷次数50010(X)1500200030004(X)05(X)()

盖面朝上次数2755588071054158721242650

盖面朝上频率0.5500.5580.5380.5270.5290.5310.530

下面有两个推断:

①随着实验次数的增加，"盖面朝上''的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上''的

概率是0.530；

②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上''的频率不一定是0.558；

其中合理的推断的序号是：.

9.在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外

均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次,

发现有25次摸到黑球.请你估计这个袋中有个白球.

10.在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄

清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下

表是实验的部分数据：

（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是—（精确到0.01）,黄球有一个；

（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率.

摸球次数8018060010001500

摸到白球次数2146149251371

摸到白球的概率0.26250.2560.24830.2510.247

II.某校为了解初一年级学生的近视情况，在初一年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表

所示：

所抽取的班级班级1班级2班级3班级4班级5

总学生数4743424850

近视学生数2525302733

（1）在这五个班级的学生中随机抽取一名学生，求抽中近视的学生的概率：

（2）该校初一年级有690名学生，估计该校初一年级近视的学生数.

12.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验:

将球搅匀后从中任意摸出I个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的频数7293130334532667

摸到白球的频率0.36(H)0.3100().3250033400.33250.3335

（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数

（精确到0.01），由此估出红球有几个？

（2）在这次摸球试验中，从袋中班机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状

图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率.

【过关检测】

1.某超市经营某品牌的•种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温/（单位：°C）有关.为

了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表：

最高气温单位：℃）天数每天销售量（瓶）

/<2015240

20</<253()300

/>2545500

（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的俏售量不超过300瓶的概率；

（2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；

（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营

这种乳制品的总利润.

2.在大课间活动中，同学们枳极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目''进行了一次调查统

计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息，解答以下问题：

(2)补全条形统计图;

(3)在扇形统计图中，“乒乓球''部分所对应的圆心角度数为.

(4)若全校有1830名学生，请计算出“其他”部分的学生人数.

3.随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方

式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结

合图中所给的信息解答下列问题:

（1）这次参与调查的共有人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为

（2）将条形统计图补充完整;

（3）如果我国有6亿人在使用手机；

①清估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；

②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？

4.某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋

中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动为5000（）人次，公园

游戏场发放的福娃玩具为10000个.

（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；

（2）估计袋中白球接近的个数.

5.一个不透明的袋子中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方

法估算其中白球的数量.从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回袋子中，摇匀后再随机摸出

一个球，记下颜……小明重复上达过程，共摸了20（）次，其中有120次摸到白球，请回答：

（1）估计袋子中的白球有多少个？

（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，如果彩球池里共有6000个球，那么需准

备多少个红球？

6.新冠疫情期间，某校有“录播''和“直播”两种教学方式供学生目主选择其中一种进行居家线上学习.为了

了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查

结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）.

0-20%20%〜50%50%〜80%80%〜100%

录播5181413

直播2152112

（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于50%的概率；

（2）若该校共有120（）名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为3:5,试估计选择“录播”或“直播”参与度

均在20%以下的共有多少人？

7.一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和〃（〃>0）个蓝球，每个球除颜色外都相同.

（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到

蓝球的频率稳定于0.8附近，那么〃的值是一；

（2）甲乙丙三人利用该布袋和球进行摸球游戏，约定由甲从中摸出一个球，摸到黄球甲胜，摸到红球乙胜,

摸到蓝球丙胜，已知此游戏对乙最有利，对甲最不利，那么〃的值是一；

（3）若将〃个蓝球从布袋中取出，只剩下2个黄球和4个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状

图的方法求两次摸到球的颜色相同的概率.

8.某个盒中装有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚

棋，记录颜色后放回摇匀.重复进行这样的试验得到以下数据：

摸棋的次数"10020()30()5008001000

摸到黑棋的次数团245176124201250

摸到黑棋的频率一（精确到0.001）0.2400.2550.2530.2480.2510.250

n

（1）根据表中数据估计，从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是（精确到0.01）；

（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜

色不同的概率.

9.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表.

抽取件数（件）1001502005008001000

合格频数88141176445720900

合格频率—0.940.880.890.90—

（1）完成上表.

（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率.

（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有儿件.

10.一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和〃（〃>（））个蓝球，每个球除颜色外都相同.

（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到

蓝球的频率稳定于0.8附近，那么〃二:

（2）若从布袋中取出一些球，只剩下2个黄球和2个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状图的

方法求两次摸到球的颜色相同的概率.

11.问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说:

“随机掷两枚均匀的硬币，可以有,二正、一正一反、二反，三种情况，所以尸（一正一反）=!”小颖反驳道:

这里的‘一正一反'实际上含有‘一正一反，一反一正'这两种情况，所以尸（一正一反）=!''

2

（1）的说法是正确的.

（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试脸，得到如下数据:

二正一正一反二反

小聪245026

小颖244729

计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率

是多少吗？

（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？

12.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将

球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数〃1001502005008001000

摸到黑球的

73113154370604751

次数m

摸到黑球的

频率%0.730.7530.770.740.7550.751

n

（1）请估计；当〃很大时，摸到黑球的频率将会接近（结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有_

只；

（2）在（1）的结论"请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率.

13.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个