2024-2026年高考数学试题分类汇编导数及其应用（原卷版）

考点01导数的计算和几何意义

1.（2026•全国II卷•高考真题）曲线y=5x+81nx在点（1,5）处的切线方程为（）

A.y=3x+2B.y=5xC.y=8x-3D.y=13.r-8

2.（2024・上海・高考真题）现定义如下:当+时（〃£N）,若〃x+l）=r（x）,则称/（x）为延展函

数.已知当x«0,l）时，g（x）=e'且且*"）,力（此均为延展函数，则以下结论（）

（1）存在y=力工0）与y=g（x）有无穷个交点

（2）存在y=力cRAOwO）与丁=〃（力有无穷个交点

A.（1）（2）都成立B.（1）（2）都不成立

C.（1）成立（2）不成立D.（1）不成立（2）成立.

3.（2024•全国甲卷•高考真题）设函数〃力=£^穹竺，则曲线y=/（x）在点（0,1）处的切线与两坐标

轴所围成的三角形的面积为（）

A.—B.-C.-D.一

6323

4.（2026•上海・高考真题）已知三角函数/（1）=Asin（狈+0+8（A>0,BwR,0>0,0«/<2兀），若

v=/（r）,当n=0或y=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则/（/）=

5.（2025•全国I卷•高考真题）若直线）=2%+5是曲线y=e'+x+a的一条切线，贝.

6.（2024•新课标1卷•高考真题）若曲线y=e'+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+l）+a的切线,

则".

7.（2026.北京.高考真题）设函数/（耳=/+〃a—刎1（“62）,曲线），=/（力在点处的切线方

程为4%+/丁+/+8=0.

⑴求，〃，〃的值：

（2）求“X）的极值点个数；

⑶求丁二h-1伏>（））与“力交点个数.

8.（2026•全国H卷•高考真题）已知函数/（力=城+冰+仇曲线产/（“在点（（）,/（（）））处的切线为

y=-2x+l.

2

⑴求，，b；

(2)当x>0时，f(x+〃。一求次的取值范围;

(3)当x>0时，/"+《)+/(〃T)>2/(左)，求k的最小值.

2

9.(2026•天津・高考真题)己知J(x)=ev--sinx.

(i)求曲线y=/(A)在点(0,/(o))处的切线方程；

1、X

(2)当xe--,+oo时，证明/(1)21+5；

(3)求实数。的最大可能值，使得了《)•/(:)•/(！)fd)2(〃+l)“对任意的〃eN*都成立.

I23n

10.(2026・上海・高考真题)已知vtR,函数/(x)=d+aY+3,g(x)=4x+*.

⑴已知"1)=4,求/。)+3>晨”的解集；

X

(2)已知〃/0,乙是在点(0,3)处的切线，4是过点(。，3)且垂直于4的直线，g(x)与4、/：在第一象限

内均无公共点，求。的取值范围.

11.(2026.上海.高考真题)已知函数/(X)=sin(s+夕)(3>0,0<</><兀).

⑴当°=2,/倨)二°，求函数/(%)在工=0处的切线方程；

(2)若函数的最小正周期为3"且〃x)="在x«0,2026兀)上恰好有1351个解，求。的取值范围.

12.(2025•北京•高考真题)已知函数/*)的定义域是(-1,十8),〃0)=0,导函数厂(工)设《是

1+X

曲线)'=/(同在点4。,/(〃))(〃工0)处的切线.

⑴求八用的最大值;

⑵当时，证明：除切点A外，曲线>=/*,)在直线乙的上方；

(3)设过点A的直线6与直线乙垂直，A，a与x轴交点的横坐标分别是A，x2,若。>0,求2f-*的取

与"

值范围.

13.(2025•天津・高考真题)已知函数/(x)=ar-(hu)2

(l)q=1时，求/(x)在点(I"。))处的切线方程;

⑵f(x)有3个零点，知工2，七且(N<±<玉).

(i)求〃的取值范围:

3

(ii)证明(1叱-1%)1啖--

14.(2025•全国I卷•高考真题)已知数列｛q｝中，％=3,%=」、+7].

(1)证明：数列卜以“｝是等差数列；

⑵给定正整数〃?，设函数/*)=限+生/+匕+。"'，求八-2).

15.(2024•新课标I卷•高考真题)已知函数f(x)=ln+力(KT)，

(1)若b=o,且r(x)N。，求。的最小值;

⑵证明：曲线)，=/*)是中心对称图形：

⑶若/(x)>-2当且仅当1<X<2,求〃的取值范围.

16.(2024•上海肩考真题)对于一个函数和一个点令/)=。-4+(/(幻-"，若s(x)在x=x0

时取得最小值的点，则称(％，"0))是M的“/最近点”.

⑴对于函数/S)=Lxe(0,+8),求证：对于点M(0,0),存在点尸，使得点。是M的“/最近点”；

x

⑵对于函数/a)=e；teR,"(1,0),请判断是否存在一个点尸，使它是M的“/最近点”，巨直线与

曲线/“)在点尸处的切线垂直？

(3)已知函数/(x)(xeR)可导，函数以x)>0在xeR上恒成立，对于点陷("IJ⑺-鼠小与点

M*+lJ(f)+g(f)),若对任意实数%均存在点。同时为点M与点的“/最近点”，说明了⑶的单调性.

17.(2024.北京滴考真题)设函数〃x)=x+、n(l+x)(丘0),直线/是曲线y=〃力在点(fJS)(t>0)处

的切线.

⑴当〃=-1时，求/")的单调区间.

(2)求证：/不经过点((),()).

(3)当〃=1时，设点4(，J(/))(/>D),C(f),/(/)),0(0,0),6为/与)轴的交点，5~。与5,位分别表示

△ACO与，ABO的面积.是否存在点A使得2S”°=15So8。成立？若存在，这样的点A有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<In7<1.95)

18.(2024.天津.高考真题)己知函数/(力=如u.

(1)求曲线)，=/(“在点(1J⑴)处的切线方程：

⑵若/(x"。(X-Jx)对任意x£(0,-K»)成立，求实数。的值；

4

若求证：

（3）w（O,l）,|/（X1）-/（A-2）|^|X1-X2|2.

19.（2024•新课标H卷’高考真题）已知函数〃.r）=e--依-加.

（1）当。=1时，求曲线），=/1）在点（1,/⑴）处的切线方程；

⑵芳/（X）有极小值，且极小值小于0,求〃的取值范围.

考点02导数在研究函数中的作用

I.（2026•全国n卷•高考真题）已知函数/（%）=弓r」+2的最大值为I,则。=（）

e+a

A*B.1C.-D.2

2.（2026・北京・高考真题）下列函数/（x）是奇函数且在定义域上单调递增的是（）

A./（x）=^—B./（x）=sinx

x~+1

C./（x）=2-A-2vD.f（x）=\n^

3.（2024・上海・高考真题）已知函数/a）的定义域为R,定义集合M={xmoeR,xe（-8田）J⑴</（x。）},

在使得M=[7』]的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在/（x）是偶函数B.存在/（x）在x=2处取最大值

C.存在/*）是增函数D.存在/*）在x=-l处取到极小值

4.（2026•全国II卷•高考真题）（多选）已知圆G：（x+1）2+V=l，圆。,：。-1尸+»3=1,圆

G：f+（y—6『=1,直线/:尸质+»与C-G，C,均有两个交点.记/被C-G，G截得的弦长分别为距、

*、*，则（）

A.&可以取任意实数B.满足*=$2二邑的直线/共有3条

C.满足再+与+鼻=3的直线，多于3条D.当b=0时，电+$2+工的最大值为半

5.（2025全国H卷高考真题）（多选）已知了（幻是定义在R上的奇函数，且当x>0时，””=（/-3卜、2,

则（）

A./（0）=0B.当x<0时，/（x）=-（x2-3）e-x-2

C.f（x）之2当且仅当工之6D.x=—l是/'（X）的极大值点

6.（2024•新课标II卷•高考真题）（多选）设函数“1）=2./_3加+1,则（）

5

A.当时，/(x)有三个零点

B.当。<0时，4=0是/(x)的极大值点

C.存在4,从使得X=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在小使得点为曲线y=/(x)的对称中心

7.(2024•新课标I卷•高考真题)(多选)设函数/(幻=。-1)2。-4),则()

A.x=3是/⑴的极小值点B.当Ovxvl时，fM<f(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2A-1)<0D.当-IvxvO时,/(2-x)>/(x)

8.(2026・北京・高考真题)已知/。)=k2-cosx一娼，给出下列四个结论：

①f(x)在上有最小值和最大值；

②c=l,xe(-1,2］时，/3)有最大值；

③c=0,/。)=1有3个解；

④c〉0,/(x)与丁=。有4个交点.

其中正确结论的序号是.

9.(2026•全国n卷•高考真题)已知/")=2sin(or+e)(awZ,0"<2兀)是偶函数，人幻在区间卜

上单调递增.则8=,=.

I1，

10.(2025•全国n卷•高考真题)若x=2是函数/(幻=3-1)(尸2)3-〃)的极值点，则/(0)=

11.(2025・上海・高考真题)已知一(6+2)x+〃Hnx,〃?wR.

(1)若/⑴=0,求不等式/(幻£1-1的解集；

(2)若函数y=八幻满足在(0,+8)二存在极大值，求m的取值范围；

12.(2025•全国H卷•高考真题)已知函数"r)=ln(l+x)T+；x2一小，其中。<女

(1)证明：/*)在区间(0,+8)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)女演,A2分别为/(A-)在区间(0,400)的极值点和零点.

(1)设函数g«)=/(x+。—/(3一)证明：g(f)在区间(0,%)单调递减；

(ii)比较2%与&的大小，并证明你的结论.

13.(2025•全国I卷・高考真题)(1)求函数/3=5cosx-cos5x在区间I"。闱的最大值；

_4_

(2)给定夕"(0,兀)和awR,证明:存在yw定一。,0+例使得8sy«cos。：

6

(3)设R,若存在山丘R使得5以)$犬一(：05(5'+e)，/?对才仁1＜恒成立，求)的最小值.

14.(2025・上海・高考真题)已知函数)，=/'(力的定义域是。.对于fe。，定义集合S”,)=1|/(力2/(1)｝.

(1)/W=log2x,求S川附；

(2)对于集合A,若对任意xeA都有-xeA,则称A是对称集.若。是对称集，证明：”函数.y=/(x)是偶函

数”的充要条件是“对任意飞。，S/a)是对称集“；

(3)若xcR,/(.t)=e=；­.求〃?的取值范围，使得对于任意：＜/2仁。，都有S小)qS《).

15.(2024•全国甲卷•高考真题)已知函数〃x)=a(x-1)-lnx+1.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)当时，证明：当x＞l时，恒成立.

16.(2024-全国甲卷•高考真题)已知函数/(x)=(l-or)ln(l+x)-K.

(1)当。=一2时，求/(x)的极值；

(2)当x20时，/(x)20,求〃的取值范围.

点03导数的综合应用

1.(2025.上海.高考真题)已知数列也｝、出｝、仁｝的通项公式分别为%=1。"-9,…晨，

&=而”+(1-团”.若对任意的;1«0』，/、"、q,的值均能枸成三角形，则满足条件的正整数〃有()

A.4个B.3个C.1个D.无数个

2.