2026年上海松江某中学高二（下）期中数学试卷含答案

数学试卷

（考试时间90分钟，满分120分）

一、填空题（本大题共10题，第1—5题每题4分，第6-10题每题5分，共45分）考生应

在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.若球的半径为1,则其表面积为_________.

江+片=1

2.桶圆43的离心率为.

3.在平面直角坐标系中，若直线『上的任何向量都与向量（一11）平行，则/倾斜角的大小为.

4.在长方体488-中,AB=4f8c=2,44=1,则直线叫与平面/网4所成角的大

小为.

5.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是.

6.己知常数若过点（21）、（°力）的直线为网的切线，则/,=.

7.祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间.在8张质地相同的卡

片上分别写有数字3,1,4,1,5,9,2,6,从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡

片的概率为.

8,在三棱柱-中，。为棱"4的中点.若存在％y,zwR,满足8=+,

则”.

9.在空间直角坐标系°一为"中，平面平面夕，。的一个法向量〃4民为万上的

不同四点，满足"'=（1』」）.设〃二（1」1）,而与函的夹角为/若丽尸，则即夕|=.

10.已知常数厂定圆C的圆心为C,半径为小。为圆。上的动点.若存在同一平面上的定点4B,

满足力8=26,。在直线力8上，且使得到4,8两点距离之和等于4的点。有且只有3个，则厂的取值范

围为.

二、选择题（本大题共4题，第11—12题每题4分，第13题5分，共13分）每题有且只有

一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

H.在正方体431GA中，与直线"G异面的直线可以是（）

A.直线8AB.直线DB1C.直线C41D.直线C。

12.过点（0,4）作斜率为％的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则左的值可以是（）

A.-2B.-y]2C.-1D.2

13.如图，在圆柱&。中，4、。分别是上、下底面圆的圆心，线段44，8片为圆柱&。的两条母线,

4。,8三点共线，点。在上底面圆周上，平面a。平面力。。1二48.设N4qC=a，平面4OQ与平面

a所成锐二面角（或直二面角）为打，平面COQ与平面a所成锐二面角（或直二面角）为q.已知仇,。2e

（0,手，对于命题：

7T

①对任意符合题意的4,恒有4W]；

17

②存在常数5uR,使得当a=S时，sin。1+cos4的最大值为一，

-12

下列判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共4题，第14-15题每题14分，第17题16分，第17题18分，共62

分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

14.申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，

其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶

58

6223456789

7234579

8012345

969

（1）在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x,这24名学生成绩的第25百分位数为y.直接写

出工和y的值：

(2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩.记事件从该学生的数学成绩不小于80,事件瓜该学

生的数学成绩为偶数.判断力与8是否相互独立，并说明理由.

15.记抛物线「：/=4x的焦点为广.

⑴设*%，%)为「上一点.用含/的代数式表示归日，并求当儿=2时归日的值；

(2)过点M(2,U)的直线/与「相交十小B两点,满足月彳.丽=—15.求/的方程.

16.如图，长方体48C。一被平面8EG厂所截，点及F,G分别在棱44,CC,,DR上,

AB=BC=2,AE=3,CF=\.

(1)求证：四边形BEG77为平行四边形；

(2)求四棱锥力—8EG/的体积：

(3)设P为直线/C上的动点.是否存在点尸，使得直线GE与平面P8E所成角的大小为arctan2?若存

AD

在，求一的值；若不存在，说明理由.

AC

222

17.在平面直角坐标系xQ"中，曲线「：x2-^-=l(x>0),曲线匚：?一内=1卜<0),点力的坐

标为(一2,0),曲线「由I；与匚组成.

(1)设力关于直线y=-Gx的对称点为8.判断8是否在「上，并说明理由：

(3、

(2)设点”的坐标为0,-,过点M的直线/与「相交于R。两点.若M为线段尸。的中点，求/的

方程：

(3)设S,r为「上的两个动点，满足S在第一象限，7在第三象限，△AST的面积是△力OT的面积的2

倍.记直线/T与圆(x+2『+V=l在第三象限的交点为C.是否存在常数力£火，使得

4,4S+（且卜恒为定值？若存在，求几的值；若不存在，说明理由.

松江二中2025学年第二学期期中考试B卷

-同=ix-一-■数曲o学

考生注意：

1•试卷满分30分，考试时间30分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.试卷共10题，均为填空题.

3.答题前，务必在答题纸上填写学号、姓名、班级,作答必须写在答题纸上，在试卷上作答一

律不得分.

注：本试卷共10题，每题3分，满分30分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果.

18.若函数y=/（x）满足1淅/°）-/（3+力）一］,则曲线歹二/（*）在点（3,/（3））处切线的斜率为

/?->oh

19.若（x+色）的展开式中丁的系数为10,则实数。=.

20.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排

一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方

法数是.（用数字作答）

21.某产品的研发投入费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：

X/万元2.22.64.35.05.9

//万件3.85.47.010.3512.2

根据表中的数据，可得回归直线方程j=2.27x+B，则％=

22.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是

21

一，乙获胜的概率为一，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为.

33

23.一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球,

已知取到白球个数的数学期望为。，则口袋中白球的个数为

7------

24,已知专〜E（4）=5,〃=24+1,则0（〃）=.

25.某公司生产的糖果每包标识质量是500g,但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服

从正态分布N（500,2.52）.则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为.（结果精

确到0.1%）

26.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个

黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件3第

二次摸到的也是红球的概率是.

27.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是

男生人数的;，男生追星的人数占男生人数的!，女生追星的人数占女生人数的2,若根据小概率值

233

a=0.01的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有人.

参考数据及公式：/2=-----、/〃（T/bc）-------,其中"=〃+/）+c+d.

（o+b）（c+d）（a+c）0+d）

尸（屋勺）0.0500.0100.001

k°3.8416.63510.828

2027届高二年级第二学期期中考试

数学试卷

（考试时间90分钟，满分120分）

一、填空题（本大题共10题，第1一5题每题4分，第6-10题每题5分，共45分）考生应

在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.若球的半径为1,则其表面积为.

【答案】4兀

【解析】

【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积.

【详解】由球体表面积为4兀/=4兀x/=4兀.

故答案为：4兀

V2V2

2.桶圆--1---=1的离心率为.

43

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】根据椭圆方程可得a=2,c=l,进而结合离心率的定义求解即可.

【详解】由椭圆工+亡=1,则/=4/2=3,C2=〃2-/=I,

43

c\

即a=2,c=l,所以离心率为？=—=-.

a2

故答案为：y

3.在平面直角坐标系中，若直线/上的任何向量都与向量平行，贝“倾斜角的大小为.

【答案】当

4

【解析】

【分析】直接由直线的方向向量可得直线的斜率，进而可得直线的倾斜角的值.

【详解】因为直线/上的任何向量都与向量平行，所以向量（T1）是直线/的一个方向向量，

所以直线/上的斜率左二」-二—1,设直线/的倾斜角为。，则tana=-1,且。《。〈兀,

—1

所以a二」，故直线/倾斜角的大小为一.

44

4.在长方体力3CQ—4"G"中，4B=4,BC=2,AA,=1,则直线BQ】与平面48尾4所成角的大

小为_______

2x/i7

【答案】arctan

~vT

【解析】

【分析】由线面角的定义确定直线4"与平面所成角为/。田4,进而可求解.

【详解】

在长方体49。。一4与GA中，4。，平面,

则BD1在平面内的射影为BA「故直线BD、与平面ABB.A.所成角为N。田同,

22

A1D1=AD=BC=2,BAJ=+AAj=V4+I=V17，

又4。_L平面力8片4，34u平面4344,所以,

在RtaZ)/8中：iaiiz.DlBA1==~^==

故直线与平面力所成角为arctan今中.

5.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是.

【答案】叵##立兀

33

【解析】

【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可.

【详解】易知圆锥的母线长/=2,设圆锥的底面半径为〃，

则27U，=gx2兀x2,.•.尸=1,则高〃=J/2_/=拒.

则圆锥的体积/二，兀/.〃二1兀xFxJJ=叵，

333

故答案为：叵.

3

6.已知常数6eR.若过点（2,-1）、（0,6）的直线为圆/+『=5的切线，则/,=.

【答案】-5

【解析】

【详解】由题意可知过点（2,-1）、（0,〃）的音线斜率存在，设斜率为上.

则过点（2,-1）、（0⑼的直线方程可以为J+1=左（工一2）,即丘-1—21=0,

由题意可知中石,解得％=2,

J%?+1

所以过点（2,-1）、（0力）的直线方程为2x-y-5=0,

点（0,6）在直线2.丫一），-5=0上，所以一6—5=0,解得6=—5.

7.祖冲之是我国古代的数学家,他曾将圆周率精确到3.1415926和3.将15927之间.在8张质地相同的卡

片上分别写有数字3,1,4,1,5,9,2,6,从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡

片的概率为.

【答案嗯

【解析】

【详解】因为是有放回的抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：

84

则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：7X7=—•

4416

8.在三棱柱45C-44G中，。为棱的中点.若存在X,乂ZER,满足函=++z%，

则”.

3

【答案】4

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理用五瓦您，画表示而后即得.

【详解】由题意，

«*■■«**I-a-IIII

CD=AD-AC=-AA}-（AB-^BC）=-AA]-AB-BC=-AAi-AB-（BCy+C.C）

i______________i______________3__________

=~AA,-7B-~BC.-OC=怒-而-蓝+而=~AA,-~AB-~BC,

/yIII2।।।2।X।

又CD=xAB+yAA}+zBC],

B

9.在空间直角坐标系。一平中，平面aJL平面仅，。的一个法向量方=(1,-1,2),A,B,C,D为0上的

不同四点，满足五^二(1,1,1).设了二(1,1,一1),方与丽的夹角为。.若丽J_尸，则|cos〃|=.

恪案】警

【解析】

【分析】设平面夕的法向量为初二(。,仇。)，由a_L£,而1万，求得蔡，令。。的方向向量为7,通

过加_L/，rib求得7,再由夹角公式即可求解.

【详解】因为a的法向量为=二(1,一1,2),

设平面夕的法向量为而二(&Ac),

则m_L〃，即m-n=a-b+2c=0，①

又48都在£上，则帚_LN5.

即〃人%8=。+6+。=0，②

①©联立，令力=1,得〃=-3,。=2,

即记=(-3,1,2)

乂C,。在/?上，令团的方向向量为7=(x,y,z),

**—*一

则_L/，即〃？♦/=—3x+y$2z=0

又CD_L尸，则厂J_7，则rl=xy-z=0»

nnf-3x+y+2z=0

叫x+y-z=O

令，=1,解得x=3,z=4,得[=（3,1,4），

乂存与函的夹角即为前与7的夹角，

^J=lx3+lxl+lx4=8.

AB=Vl2+I2+I2=V3,

「|=,32+¥+42=俄,

因此：|cos8|=厂8=二竺我

11V3-V26V7839

10.已知常数尸〉0,定圆C的圆心为C,半径为八尸为圆C上的动点.若存在同一平面上的定点力，B,

满足力8=26,C在直线力8上，且使得到力，8两点距离之和等于4的点。有且只有3个，则厂的取值范

围为•

【答案】（；,2、

【解析】

【分析】由题意建立平面直角坐标系,可求得点P的轨迹方程,数形结合可求"的取值范围.

【详解】以4"所在直线为x轴，线段43的垂直平分线为N轴建立平面直角坐标系，

由题意可得M6|=2j],|P川+|PB|=4>2V5=|4B],所以点P在以44为焦点的椭圆上，

且2a=4,2c=2有，所以Q=2.C=VJ，所以/=/一/=[,

2

所以椭圆的方程为r工+/=1，

4-

因为尸为圆C上的动点且使得到4,B两点距离之和等于4的点P有且只有3个，

所以圆C与椭圆工+J?=1有3个不同的交点，

4-

乂因为圆C关于工轴对称，椭圆也关于不轴对称，

所以圆。一定过长轴的一个端点，否则交点一定为偶数个.

如图所示，圆C过椭圆长轴的右端点（2,0）时，因为C在直线.44上，

设圆心为(加,0),则圆的半径为2-〃?，所以圆的方程为a—7n)2+y2=(2—m)2,

丫23

与椭圆二+y2=1联立方程组，哨去y得一1-2mx+m2=4-4m+〃/-1,

44

3

整理得了丫2—2mx4-4m—3=0,△=(2zn)2—4x,(4m-3)=4m2—127n+9=(2m—3)2.

当加二g时，圆与椭圆只有一个交点(2,0),不符合题意，所以尸w；,

c_4w-316m-12

设方程的另一根为与(一2<%!<2),则由根与系数的关系可得“*=一£=—3一，

4

所以—2〈处工<2,整理得-6<8〃7-6<6,解得0<，〃〈士，此时A>0,符合题意；所以r=2-mW

32

/1\

同理可得圆C过椭圆长轴的左端点时.，rG(1,2)；所以厂的取值范围为-,2.

二、选择题(本大题共4题，第11—12题每题4分，第13题5分，共13分)每题有且只有

一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

11.在正方体申，与直线4G异面的直线可以是()

A.直线8AB.直线C,直线C&D.直线C。

【答案】D

【解析】

【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为

相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得.

【详解】如图，在正方体45CQ-44Goi中,

对干A,因为在正方体中，所以4B//CR且4B=CR,所以四边形48GA是平行四边形,

而,4G与8A是平行四边形48GA的对角线，所以/qn8A=。，故A错误；

对于B,因为在正方体中，所以/O〃C圈且力。=。£,所以四边形是平行四边形,

而4G与。尾是平行四边形/QC蜴的对角线，所以4弓门。4=。，故B错误；

对干C,因为在正方体中，所以』4〃CG且44=C£,所以四边形力4G。是平行四边形，

而.4。1与C&是平行四边形44G。的对角线，所以NGnc4=o,故c错误；

对于D,因为直线是平面。CG2内一条直线，直线4G经过平面。CG。外一点力和平面。CG。内

一点£且G任CD1,

所以直线4G与直线C"是异面直线，故D正确.

12.过点（0,4）作斜率为左的直线与双曲线——言=1的右支相交于不同两点，则左的值可以是（）

A.-2B.-y/2C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案.

【详解】过点（0,4）作斜率为〃的直线方程为y-4=kx,

将y—4=kx与x2-=1联立可得（2—左~）r—8Ax—18=0,

显然2-公wo，△=64公+72（2-r）＞0,

解得我（-3忘,-/）U卜后,6）U（虚,3后），

设直线与双曲线右支相交的两点分别为/（X，乂）,8（4,”），

84-18

则再+x2=汴，取2二汴，

8k

石+”＞0

2-k2

故＜,解得攵＜一々,

-18

V2-T>0

综上，Zre（-3V2,-V2）,显然只有人=-2满足要求.

13.如图，在圆柱a。中，a、。分别是上、下底面圆的圆心，线段力4，为圆柱a。的两条母线,

4。,8三点共线，点。在上底面圆周上，平面an平面力。。1=48.设N4QC=a，平面.40Q与平面

a所成锐二面角（或直二面角）为名,平面COQ与平面a所成锐二面角（或直二面角）为网.已知

7T

0,-,对于命题:

7T

①对任意符合题意的4,恒有5；

17

②存在常数3eR,使得当。2=6时，sinq+cos”的最大值为二，

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】B

【解析】

【分析】命题①，考虑建立空间直角坐标系，设圆柱底面半径和高为参数，写出相关点的坐标，进而求出

平面COQ和平面。的法向量，利用平面法向量的点积为0,那么4可以等于5，以此判断命题①的真假:

命题②，根据平面力与平面。所成二面角2,求出平面。的法向量满足的关系，再求出平面与

平面。所成二面角4的余弦值表之式，结合4的定义，将sinq+cosq转化为关于〃的函数，若能找到常

数b使得函数最大值为石，则命题②为真.

【详解】设圆柱底面半径为1,。为原点，为“轴，。。为Z轴，得各点坐标：

。（0,0,0）,0］（0,0,〃）,4（一1,0,0）,4（-1,。,〃），由幺。©=q,得（7（-854囚114，〃），

平而ai寸X轴（交线44）,设平面a:z=ycot02，其法向量七=（°,C0t，2，-l），

命题①，

平面C001的法向量：由OQ］=（0,0J?）,OC=（-cosa，sina，A）,又乘得法向量％=（sin/cosq,。），

7T

若a=一，说明两平面垂直，即拉3•%=0：々♦%=cosacoiq=0,

7T7TJT7T

己知4£（0,；］,当a二;时，3sq=o,满足上式，此时4二一，存在这样的情况，因此①恒有。3工不

2222

是假命题；

命题②，

。3是锐二面角，因此COS%=胃含^,代入得：1%l=U〃al=CSCa，|〃3，〃a|=COSaCOtq,

In3IInaI

化简得：cosq=cosqcos%，令b=2，目标式为：/'（a）=sina+cosa=sinq+cos3cosa，

由辅助角公式，/（〃）的最大值为Jl+cos：Mcosb工1，因此最大值最大为壮77=血＜1，不存在这

11

17

样的b使得最大值为二，因此②是假命题；

：O"'"7B-

rI

三、解答题（本大题共4题，第14—15题每题14分,第17题16分，第17题18分,共62

分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

14.申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，

其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”.

58

6223456789

7234579

8012345

969

(1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于7()的人数为x,这24名学生成绩的第25百分位数为y.直接写

出工和y的值；

(2)从该班随机抽取I名学生，记录其数学成绩.记事件4该学生的数学成绩不小于80,事件4：该学

生的数学成绩为偶数.判断4与3是否相互独立，并说明理由.

【答案】（1）x=10,y=65.5

(2)由尸(力)尸(5)二尸(4C5),得事件/与事件“相互独立

【解析】

【分析】(1)将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，结合百分位数的计算方法，即可求解：

(2)根据题设中的统计数据分别求得P(Z)=1,尸(8)=1和P(/A8)=!，根据相互独立事件的判定方

326

法，即可求解.

【小问1详解】

解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得：

58.62,62,63,64,65,66,67,68,69,72,73,74,75,77,79,80,81,82,83,84,85,96,99

其中低于70分的有:58,62,62,63,64,65,66,67,68,69,共有10个,即x=10,

因为24x25%=6,所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数，

所以第25分位数为y=竺产=65.5.

【小问2详解】

解；事件4与事件〃相互独立.

理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有:80,81,82,83,84,85,96,99,共有8个,

学生数学成绩为偶数的有:58,62,62,64,66,68,72,74,80,82,84,96,共有12个,

由事件力：该学生的数学成绩不小于80,事件&该学生的数学成绩为偶数，

Q1121

可得其概率分别为0(/)=—=-,P(B)=-=

243242

又由事件4cB表示成绩不小于80分且为偶数，有80,82,84,96,共有4个，

41

所以其概率为尸（4n8）=——二：,

因为P（4）P（B）=3xg=%所以尸（4）P（8）=P（4CB）,

所以事件4与事件8相互独立.

15.记抛物线「：</=4%的焦点为足

⑴设。（%,4）为「上一点.用含/的代数式表示归日，并求当凡=2时归日的值;

（2）过点“（2,0）的直线/与「相交于4,B两点,满足成.丽=一15.求/的方程.

【答案】（1）|PF|=x0+l；2

（2）x-岛-2=0或1+。-2=0

【解析】

【分析】（1）利用抛物线定义即可求得；

（2）设出直线方程和交点坐标，利用韦达定理进行求解.

【小问1详解】

抛物线为「：y2=4x,其准线为：x=-l,焦点为：F（l,0）,

为「上一点，由抛物线定义得：点。到准线的距离和点尸到焦点距离相等，

所以归曰=%+1,若J。=2,则％=1,此时|PE|=1+1=2.

【小问2详解】

x=ty+2.

不妨设直线方程为：x=ty+2,则〈2），解得：/-4/）^-8=0,

y=4x

设.4（%,必），4（£,必），且必〉。，则由韦达定理得弘+%=4，乂必=一8,

212

所以X]+x2=t(yl+^2)+4=4/+4,王/=-—-=4>

16

由题意得:FA=(xt»FB=(x2-1,^),

xx

所以斤•FF=(Xj-1)X(X2-1)+乃为=l2~(%1+%2)+1+7172

=4-(4t2+4)4-1-8=-15,解得：F=2,所以Z=±0，

因此/的方程为：x->/2y-2=0^x+y/2y-2=0.

16.如图，长方体—被平面BEG厂所截，点&F,G分别在棱44,CC,,DD.h,

AB=BC=2,AE=3,CF=\.

(1)求证：四边形BEG77为平行四边形；

(2)求四棱锥力—8EG/的体积：

(3)设P为直线/C上的动点.是否存在点尸，使得直线GE与平面P8E所成角的大小为arctan2?若存

Ap

在，求一的值；若不存在，说明理由.

AC

【答案】(1)证明见解析:

(2)4

/、i4P八fAP1

(3)存在，---=0或----=—

ACAC3

【解析】

【分析】(1)补全长方体，结合面面平行的性质定理证明即可;

(2)连接E尸，再根据匕一班守=匕.阳•+嗫-MG，结合等体积法求解即可；

2

(3)根据题意，建立空间直角坐标系，设「(〃,〃,())，利用向量法求解线面角，建立方程求得。=0或。=],

进而求得答案.

【小问1详解】

如图，在长方体481GA中，平面力88/1//平面。2G，平面8CC£//平面/。。/,

因为平面力8814n平面BEGF=BE,平面CO2GA平面BEGF=GF，

平面BCCM口平面BEGF=BF,平面ADD}A,c平面BEGF=EG,

所以EG//BF,BE//GF,

所以四边形BEGF为平行四边形.

【小问2详解】

解：如图，连接防，则匕.般泸二匕.8防+匕-卬G，

因为dB=8C=2,AE=3,CF=\,

所以匕gw=/=-S•BC=-x—x3x2x2=2

A-ii卜匕r-ADL3£^ADL32

嗫-EFG=^F-AEG~§^^AEGCD=—X—x3x2x2=2,

所以VA-BEGF=VA-BEFA-EFG=2+2=4

【小问3详解】

解：如图，建立空间直角坐标系，

如图，设尸(240),8(2,0,0),E(0,0,3),G(O,2,4),

所以丽=(0,2,1)，丽=(a-2,a,0)，BE=(-2,0,3).

设平面PBE的一个法向量为in=(芭,必,Z),

所以M亘=0,即［("2)三产】：0,令马=2%则玉=3%力=6-3。，即沅=(3a,6-3a,2a),

设直线GE与平面PBE所成角为€,

hH|sing=|cos何屈)|=-l|X(6-3°)l2al=

'店xj9a2+，：6-3a)，4a2

假设存在点P,使得直线GE与平面P4E所成角的大小为arctan2,贝han6=2,

2|2x(6-3a)+2a|_2

所以sin'=存,即司=：=谒

所以两赛空嬴二看即22/—36。+36=(6—24，

2

整理得：3Q2-2Q=0,解得。=0或。=一，

3

AP

当4=0时，点?与点A重合，二一=0；

AC

当°=，时，JP=—，AC=2叵，与=:

33月C3

ApAp\

综上，存在点P,使得直线G£•与平面尸8后所成角的大小为arclan2,此时——=0或——=-.

ACAC3

17.在平面直角坐标系xOy中，曲线■：x2-^=l(x>0),曲线口：y-^-=l(x<0),点/的坐

标为(—2,0),曲线「由I；与一组成•

(1)设力关于直线歹=-百工的对称点为判断8是否在「上，并说明理由;

3、

(2)设点"的坐标为0,-,过点"的直线/与「相交于P,。两点.若"为线段尸。的中点，求/的

方程；

(3)设S,7为「上的两个动点，满足S在第一象限，7在第三象限，△AST的面积是△/OT的面积的2

倍.记直线47与圆(工+2『+/=1在第三象限的交点为C.是否存在常数;IwR,使得

刃/5|+(由［讶)|力「卜恒为定值？若存在，求4的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)4不在「上，证明见解析

33

(2)y=—x+—

42

(3)-2

【解析】

【分析】（1）根据直线48与直线y=垂直以及线段48的中点在直线y=上得到8的坐标,

再代入曲线的方程即可；

（2）设出直线方程，根据直线与曲线的交点以及中点坐标即可求解;

（3）根据题意写出川阳+（而刀）|力7|的表达式即可求解.

【小问1详解】

设点A关于直线y=-VL:的对称点为点力的坐标为（-2,0）,

因为直线与直线y=-氐垂直以及线段的中点在直线y二-岛上,

'b=-^/7Tx—a-2

所以有，解得｛

x(-V3)=-1b=垂)

即由于点8的横坐标工=1>0,因此代入曲线方程I；：/—g=i,不满足方程，因此点8不

在「上.

【小问2详解】

显然，直线/的斜率一定存在，因此设直线/的方程为y=6十；，设

由于是线段P0的中点，所以%+%=0,4+为=3,因此P,。只能分别在曲线「的两边，

乙）

不妨设Pw],QeT2t则%”喙=1（4>0）,反—1=g哈—造=4（和<0），

3412

两式相减得（/一切）一g（煽一必）=一3=（孙一和）（孙+XQ）-1（yp-y（?）（yp+y（?）=-3,代入

JJ

xp+xQ=0,yp+yQ=3,

得匕，一为=3，因此力=3,为=0，分别代入说一号二i，亨-普-1，解得与=2,%=-2

即P（2,3）,Q（-2,0）,

因此直线/的斜率k=言与=即直线I的方程为y=（x+1.

【小问3详解】

由题意可知Sw「[,Te「2，设S(必,ys),T(x7,月),C(xc,yc)，WxS9ys>O,xT,yT<O,xc,yc<0

设直线4T：x=My-2,由于△4ST的面积是“0T的面积的2倍，则S到直线AT的距离是0到直线AT

4

距离的2倍，即

\ll+m2Vi+w2

化简得%=〃«+2或％=ms-6,

由于S在第一象限，则S在直线x=/号+2上,

x=my-2,口1m

联立2,

(x+2)2+y2=i得先=\!m2+1'V/w2+1

CO•CA=x；+2xc+=—3—2xc=1+/川,

\lm2+\

X=my—212m

得(3加2_i)y2_i2my=0,y=

T2

{T12-3W-1

⑷i=E小=号"

x=my+2

2

226/w+3Vw+1

联立2y得(3加—I)>？—12my+9=0,ys

x一1—11-3777

3

5-3/?r+6m\]nf+1

14sl=+2>+£=《(A+2)2+3x；-3=2x+1=

s1—3〃?2

(12+6A)7nVm2+1+(24-3A)m2+51

A\AS\+(cdCA)\AT\=

若要使其为定值，则要使〃?的系数为0,即％=一2,

3O〃Jo

代入/l=—2得原式二

1-3/

所以存在久二-2符合题意.

松江二中2025学年第二学期期中考试B卷

高二数学

考生注意：

1.试卷满分30分，考试时间30分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.试卷共10题，均为填空题.

3.答题前，务必在答题纸上填写学号、姓名、班级.作答必须写在答题纸上，在试卷上作答一

律不得分.

注；本试