2027高考数学复习：数列的基本知识与概念（练习）原卷版

题型一：数列的周期性

1.（2024・四川广安•二模）已知数列｛《,｝满足4=2,。e=汨（〃cN）,则%>24=（）

n

A.—3B.—C.2D.2

23

2.（2024•河南新乡•二模）已知在数列｛q｝中，生=-2,%+凡m=°，则生024=（）

A.—2B・—1C.1D.2

3.若数列｛q｝满足4=2吗=3此=也（〃23且〃wN,），则%的值为（）

an-2

A.3B.2C.yD.|

4.（2024.广西南宁•一模）已知数列｛q｝的首项（其中且。工0），当〃22时，勺二77」一，则

1-an-\

%以二（）

A.aB.C.1D.无法确定

\-aa

题型二：数列的单调性

5.已知数列｛《,｝的通项公式为%=加2-〃-2,若｛%｝为递增数列，则攵的取值范围为（）

「］、（1

A.（1,+co）B.（。,+8）C.3,+8D.-,+oo

6.（2024.内蒙古呼伦贝尔.二模）已知递增数列｛q｝的前〃项和为S“，若《=1,S,用+2/7-3=*5”，则

k的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,-H»）C.（0,3）D.（3,包）

7.（2024・高三•河南•期末）己知数列｛q｝是单调递增数列，q="«2"-1卜岛则实数机的取值范

国为（）

A.（2,+8）B.（1,2）

。,俘+”）D.（2,3）

8.已知等差数列｛《J的前〃项和为工，公差为d,且｛S.｝单调递增，若%=6,则d的取值范围为（）

A.0,—IB.0,--C.0»—D.[0,2）

_）L'）I3）

9.己知数列｛〃”｝的通项公式为/=〃2-2加.当它为递增数列时，上的取值范围是（）

33

A.k<-B.k<-

22

C.k<\D.k<\

题型三：数列的最大（小）项

10.已知数列｛〃〃｝的通项公式为%=9”\：1）,则此数列的最大项为（）

99

A.210B.9—C.9-4D.9-4-

910109I08

5+9

11.（2024.广东广州•一模）已知数列｛&｝的前〃项和，="+〃，当」一取最小值时，〃=.

n

12.（2024•高三・广东潮州•期末）设等差数列｛为｝的前〃项和为S”，且兀=0,九=25,若。=〃弋，则

数列｛〃“｝中最小项的值为.

13.（2024•上海普陀•一•模）若数列｛q｝满足q=12,a,t+]=an+2n（“21,〃eN）,则中的最小值是.

14.已知数列｛q｝的通项公式对=2黑，则数列｛〃”｝的最大项的值为；数列｛q｝的最小项的值

为•

题型四：数列中的规律问题

5（2024・浙江•模拟预测）任意大于I的正整数〃?的三次塞均可“分裂'喊机个连续奇数的和，如：2=3+5,

33=7+9+11,43=13+）5+17+19,…，按此规律，若加分裂后,其中有一个奇数是2019,则，〃的值是（）

A.46B.45C.44D.43

16.（2024.福建厦门.一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒

或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的I,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边形数从

小到人依次排列，则其第8个数为（）

12

B.70D.117

17.（2024•全国•校拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩

上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用

6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,3,6,10等叫作“三角数”或“三角形

数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如图所示即摆出的六边形数，那

么第20个六边形数为（）

A.778B.779C.780D.781

18.（2024・海南•模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十''的推论，主要用于解释

中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.己知"大衍数列''的前10项分别为

0,2,4,8』218,24,32,40,50,…，据此可以推测,该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

题型五：数列的恒成立问题

19.（2024・高三・陕西渭南•期中）已知数列｛q｝的前〃项和为S"，数列｛4｝的前〃项和为7；,满足4=2,

3s.=（〃+2）q,,且。也=；.若对任意%＞北恒成立，则实数力的最小值为.

20.已知数列包｝的通项公式为q=2/1.若对于任意〃wN,不等式2%（4-㈤＞（q-1）2恒成立，则实数

义的取值范围为.

21.在数列｛%｝中，4=5,练“=4%-3,若对任意的〃£—4-1）22〃-5恒成立，则实数%的最小

值.

题型六：递推数列问题

22.(2024.陕西咸阳•三模)在数列｛q｝中，6=1,。向=《,+2〃-1,则%=()

A.43B.46C.37D.36

23.(2024.北京昌平•二模)已知数列也｝满足/川=2%,%=4,则数列｛4｝的前4项和等于()

A.16B.24C.30D.62

24.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进

行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年

起第〃年绿洲面积为。“万平方千米.

⑴求第〃年绿洲面积应与上一年绿洲面积(〃22)的关系：

(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(lg2«0.3010)

25.(2024.天津河西.模拟预测)已知桶人中盛有3升水，桶舔中盛有1升水.现将桶4中的水的1和桶综中

1-)I

的水的鼻倒入桶A中，再将桶4与桶线中剩余的水倒入桶片中；然后将桶A中的水的；和桶尾中的水的可

倒入桶A?中，再将桶A与桶片中剩余的水倒入桶当中；如此继续操作下去.

⑴求操作1次后桶4中的水量；

(2)求操作〃次后桶生中的水量；

(3)至少操作多少次，桶中的水量与桶纥(〃eN*)中的水量之差小于上开？(参考数据：

lg2®0.3010,lg3«0.4771)

3q+1,可为奇数

1.（2024•甘肃兰州—模）数列｛4｝满足%讨=｛1“/田留，则/侬二（）

汽。“为偶数

A.5B.4C.2D.I

2.（2024.高三•山西大同•期末）等比数列｛47｝中，S.为其前〃项和，％=1,且4q,2a”4成等差数列，则

手的最小值为（）

I416

A.：B.-C.—D.1

2925

3.（2024・山东济南.二模）已知｛可｝是各项均为正整数的递增数列，｛4｝前〃项和为S.，若S”=2024,当〃

取最大值时，明的最大值为（）

A.63B.64C.71D.72

4.（2024・河南•模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人

又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3

再加I,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到I.对任意正整数即，按照上述规则实施第〃次

运算的结果为a”（〃eN）,若为=1，且4（i=l,2,3,4）均不为1,则4=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数

分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，第三行

的I,5,12,22称为五边形数.则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（）

.△

13610

•口HEl

1

1

C.15,20D.14,25

6.（多选题）（2024.浙江绍兴.二模）已知等比数列｛叫的公比为q，前〃项和为工，前〃项积为7；,且eN,

^<0,则（）

i-q

A.数列a｝是递增数列B.数列｛4｝是递减数列

C.若数列｛，｝是递增数列，则D.若数列｛瑁是递增数列，则

7.（多选题）（2024.辽宁•一模）已知数列｛叫的首项为q,C%+e*f=7,则（）

A.存在q使数列｛凡｝为常数列

B.存在外使数列｛巴｝为递增数列

C.存在为使数列｛6｝为递减数列

D.存在力使得可恒成立

8.（多选题）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,

13,….即从第三项开始，每一项常是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下

面美于斐波那契数列｛%｝说法正确的是（）

A.«12=144

B.“2022是奇数

C.

«2022=«|+«2+^+---+«2020

D.^2020+々2024=3々2022

9.（2024•四川雅安・模拟预测）已知数列｛《,｝满足/+2=3%-2凡，q="2,｛对｝单调递增，则4的

取值范围为.

10.数列｛q｝的通项公式是〃“二〃2-加，若数列｛q｝是递增的，则实数R的取值范围是

11.（2024・重庆•二模）记正项数列｛为｝的前〃项和为5.，若S,〃cN,则S；+等的最小值

为.

12.（2024.全国.模拟预测）已知等差数列｛4｝和等比数列｛4｝满足%+%="2=30,%+%="+4=1（），

则数列｛为"｝在〃二时取到最小值.

13.（2024・重庆•一模）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且£=2勺-1,记7；=42+匿+h+…+个，则

『;若数列也｝满足仇=34-2（）〃一3,则4+H+H+L+2的最小值是.

14.（2024・全国•模拟预测）设数列｛4｝的前〃项和为S”，且Se+S“=1.若。用>/对〃©N恒成立，则

外的取值范围为.

15.（2024.高三•黑龙江大庆.期末）已知数列｛%｝满足：4+胃+g+…+宅+%=〃，设数列/\

23n-in+

的前〃项和为，，若对于任意的〃eN",不等式］<万-2恒成立，则实数4的取值范围为.

为偶数；

222

16.数列也｝定义如下：4=1,且当心2时，/二•।，已知%=—，则正整数〃的值为.

」一,〃为奇数.7

«，i

17.已知数列｛4｝满足。向+（—若q=1,则%=；前60项和为

18.（2024•陕西西安•模拟预测）数列｛〃”｝满足%+|=占，%=3,则％=

1.（2021年浙江省高考数学试题）已知数列也｝满足4=1，。，川=「金色€^）.记数列｛4｝的前八项和

为S”,则（）

399

A.3Vsl00V3B.3Vsl00V4C.4<S100<—D.—<5100<5

2.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列｛%｝的公比为q,前〃项和为S”，设甲：夕>0,乙：

｛，｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.（2019年浙江省高考数学试卷）设a"e数列｛《,｝中，•，则

A.当。=］，4o>1OB.当〃=彳,即）>10

C.当6=-2,%0>1°D.当b=-4,qo>lO

4.（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））设等差数列｛七｝的公差为d,若数列｛2叫｝

为递减数列，则

A.d<0B.d>0C.qd<0D.4d>。

5.（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经

常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

13610

将三角形数1,3,6,10,…记为数列｛凡｝，将可