第4章 因式分解（单元重点综合测试）【浙教】七年级数学下册复习

第4章因式分解(单元重点综合测试)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.(2023秋•环江县期末)下列各式从左到右的变形属于分解因式的是()

A.x(2r+l)=3x+lB.1-a2=(1+。)(1-〃)

C.(x+1)(x-1)-1D.cr-2〃+3=(Q-1)2+2

2.(2022秋•南沙区校级期末)分解因式/(x-2)+h(2-x)正确的结果是()

A.(x-2)(a+b)B.b(x-2)(。十1)

C.(x-2)(b2-b)D.b(x-2)(/?-1)

3.观察下列各式：@abx-adx\②ZrF+Gxy2；@8w3-4m2+2m+1；④/+4力+加-Z?3；⑤(p+q)

jry-5x2(p+q)+6(p+q)2；©a2(x+y)(x-y)-4Z?(y+x).其中可以用提公因式法分

解因式的有()

A.①②⑤B.②④⑤C.②④⑥D.①②⑤⑥

4.(2023秋•槐荫区期末)利用因式分解计算2023X2024-20232=()

A.1B.2023C.2024D.20232

5.(2023秋•海沧区期末)运用公式/-2"+店=(〃_力2直接对整式9『-i2x+4进行因式

分解，则公式中的。可以是()

A.3xB.9xC.3『D.9『

6.(2023秋•阿图什市期末)多项式a(『-2x+\)与多项式(x-1)(x+1)的公因式是()

A..x-\B.x+1C.x2+lD.x2

7.(2023春•唐山期末)对于任何整数相，多项式(2〃计3)2-25都能被下列各式中的哪一项

整除()

A.4B.6C.m+1D.m-4

8.(2022春•港北区期中)如果多项式f+or+b可因式分解为(x-1)(x+2),则。、力的值为

()

A.a=1,b=2B.a=1,h=-2C.a=-1,b=-2D.a=-1,b=2

9.(2024•湖南一模)将苏〃-。〃因式分解，正确的是()

A.ab(后-〃)B.aCa2b-b3)

C.ab(a+b)(a-b)D.ab(a・b)2

10.(2023秋•万州区期末)在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分

解的其他方法进行了探究，如：分解因式F-3X-4.设『・3X-4=(x+4)(肝沙)，利用

多项式相等得。=-4,b=l,故『-31-4可分解(x-4)(x+1).此时，我们就说多项

式（*-3内-4）既能被（x-4）整除，也能被（”1）整除.根据上述操作原理，下列说

法正确的个数为（）

（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；

（2）若（x2-4x-5）能被（x+a）整除，则〃=1或〃=-5；

（3）若（/+加+法-3）能被（«+2户3）整除，贝IJQ=1,b=\.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）

11.（2024•大宁县一模）因式分解：尸-4f=.

12.（2024•金乡县一模）因式分解：ax2+ay2+2axy=.

13.（2023秋•正阳县期末）已知x-y=1,孙=3,则-泊卢冷0的值是.

14.（2023秋•辽宁期中）若加3+〃?-1=0,则〃产+〃/+m2_2=.

15.（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2F-f进行因式分解后,有一个因式是,

则m的值为.

16.（2016秋•威海期中）甲、乙两个同学分解因式—+如+〃时，甲看错了。，分解结果为（x+2）

（x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）（x+9）,则〃=,b=.

17.甲，乙两个长方形的边长如图所示.

（1）甲、乙两个长方形的面积分别为S,S2.若一个正方形的面积等于S+S2,则该正方

形的边长是；（用含〃2,〃的代数式表示）

（2）若1个甲长方形和3个乙长方形恰好能拼接成一个正方形（该正方形没有缝隙，没有

重叠部分），则且=.

n

m-4n

m乙

n甲

三、解答题（共8题，共62分）

18.（6分）（2023秋•盘山县期末）因式分解:

(1)2x(x+y)-6y(x+y).

(2)(5加+〃)2-(〃2-5〃)2.

19.（6分）（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解:

(1)-3ab3+6a2b2-3。%；

(2)x1-y2-ax+ay.

20.（6分）（2024•新华区一模）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定

是4的倍数.

【验证】（2+1）2-（2-1）』；

【证明】设两个正整数为，〃，〃，请验证“发现”中的结论正确；

【拓展】已知（x+y）2=100,肛=24,求（x-y）?的值.

21.（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式f・4x+〃?有一个因式是G+3）,求另一个因式以及〃?的值.

解：设另一个因式为（x+八），得

x2-4x+/n=（x+3）（工+〃）

贝ijx2-4x+〃z=f+（n+3）戈+3〃

.fn+3=-4

m=3n

解得：n=-7,m=-21

・・・另一个因式为（x-7）,m的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次二项式2.P+3x-A有一个因式是（2r・5）.求另一个因式以及％的值.

22.(8分)(2023秋•邹平市期末)在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分

解：

甲：x2-xy+4x-4y乙：cr-b1-(?^1bc

=(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组)=cr-(b^c2-2/?c)(分成两组)

=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)=a2-(b・c)2(直接运用公式)

=(x-y)(x+4)=Qi+b-c)(a-b+c)

请在他们的解法启发下解答下面各题：

(1)因式分解：4a2-9+b2-4ab；

(2)若a・b=-5,b-c=3,求式子a/?-Z?c+ac-/的值.

23.(10分)(2023秋•陵城区期末)阅读下列材料：

“我们把多项式〃+2ab+眇及a1-2ab+P叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方

式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求

代数式最大值、最小值等.

应用一：分解因式。2+2。-3.应用二：求代数式)，2+6)，+14的最小值.

我们可以进行以下操作:先配方层+2〃-3=解：卢6),+14=(/+6y+9)+5=(y+3)2+5

(4+2〃+1)-4=(a+1)2-4•；()，+3)220・・・(尹3)2+5^5

再利用平方差公式可得/+2。-3=(a+1+2).••当)，+3=0,即y=-3时，9+6)斗14的最小

(a+1-2)=(a+3)Ca-1)；值是5.

【问题解决】

(1)分解因式：『-法-15=.

(2)代数式nr-6〃7+11的最小值；

(3)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽

增加x米，请问：当大•取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？

24.(10分)(2023秋•西城区校级期中)阅读下列材料，回答问题：

“我们把多项式。2+2仍+护及CF-2而+店叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方

式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一-种重要的解决问题的数学方法，

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求

代数式最大值、最小值等，例如：分解因式r+21-3,我们可以进行以下操作：/+21--3

=(f+2x+l)-4=(x+1)2-4,再利用平方差公式可得JT+2X-3=(X+3)(x-1)；再

如：求代数式2?+4x-6的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：源+4.1-6=2(『+2工

-3)=2(x+1)2-8,于是由平方的非负性可知，当x=-1时，2『+41・6有最小值・8.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)若多项式f-4x+A是一个完全平方式，则常数％=.

(2)分解因式：f-4."12=,代数式*-81-24的最小值

为.

(3)试判断代数式/+2RU与2"+2"4/7的大小，并说明理由.

25.(10分)(2023秋•遵义期末)阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的

有力工具.下面是对多项式(f-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解题思路：将

-2x”看成一个整体，令.F-2X=〃7,则：原式=/〃(〃计2)+1=nr+2rn+\=(加+1)2.再

将“m”还原为即可.

解题过程如下：

解：设炉-2%=，小贝ij：原式=〃？(机+2)+1=/H2+2W+1=(〃?+1)2=(x2-2x+l)2,

问题；

（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果：;

（2）请你模仿以上方法，将多项式（f+6x）（炉+6户18）+81进行因式分解；

（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算:

（1卷0+…2）xg亭…小）-（1总小…小）xg十…总＞

第4章因式分解(单元重点综合测试)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.(2023秋•环江县期末)下列各式从左到右的变形属于分解因式的是()

A.x(2r+l)=3x+lB.1-a2=(1+。)(1-«)

C.(x+1)(x-1)=^-1D.cr-2〃+3=(Q-1)2+2

【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分

解判断即可.

【解答】解：4x(2A-+1•=3x+l,没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式

分解，故此选项不符合题意；

8.1・〃2=(]+。)(]・小，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；

C.(I+1)(尤-1)=?-1,是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

D.。2-2〃+3=(。-1)2+2,没把一个多项式转化成儿个整式积的形式，故此选项不符合

题意；

故选：B.

2.(2022秋•南沙区校级期末)分解因式序(x-2)+b(2-x)正确的结果是()

A.(x-2)(b2+b)B.b(x-2)(人+1)

C.Cx-2)(〃・b)D.Z?(x-2)(/?-I)

【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出即可.

【解答】解：b2(x-2)+b(2-x)

=b2(x-2)-h(x-2)

=b(x-2)(Z?-1).

故选：D.

3.观察卜列各式：®abx-adxx②ZrF+Gxy2；(3)8w3-4/w2+2//?+1；@a3+a2b+ab2-护；⑤(p+g)

fy-5*(p+q)+6(p+q)2；©a2(x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法分

解因式的有()

A.①②⑤B.②④⑤C.②④⑥D.①②⑤⑥

【分析】找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；

(2)字母取各项都含有的相同字母；

(3)相同字母的指数取次数最低的.

在提公因式时千万别忘了“-1”.

【解答】解：①abx-adx=ax(Z?-d)；

②Zr2)，।6xy2=2x)，(xi3)，)；

③8加・4M+2〃?+l,不能用提公因式法分解因式；

④〃+〃2/?+出?2-护，不能用提公因式法分解因式；

⑤(p+q)-5x2(p+q)+6(p+q)2=(p+q)[-^y-5x2+6(p+q)]；

⑥〃2(工+y)(x-y)-4h(y+x)=(x+y)[cr(x-y)-4b].

所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥.

故选：。.

4.(2023秋•槐荫区期末)利用因式分解计算2023X2024-20232=()

A.1B.2023C.2024D.20232

【分析】提取公因式2023,再化简，整理即可.

【解答】解：2023X2024-20232=2023(2024-2023)=2023X1=2023.

故选：B.

5.(2023秋•海沧区期末)运用公式。2-2而+。2=(…)2直接对整式9f-12什4进行因式

分解，则公式中的。可以是()

A.3xB.9xC.Sx2D.9f

【分析】把整式因式分解后，再确定。.

【解答】解：9.x2-12x+4

=(3x)2-2X3XX2+22

=(3x-2)2.

・•・公式中的。可以是3x.

故选：A.

6.(2023秋•阿图什市期末)多项式。-2x+l)与多项式(x-l)(x+l)的公因式是()

A.x-1B.x+lC.f+lD.x2

【分析】根据完全平方公式可得：多项式。(f-21+1)=a(x-1)2；再结合公因式定义

进而解答即可.

【解答】解：多项式。(/-2什1)=a(x-1)2,则两多项式的公因式为1.

故选：A.

7.(2023春•唐山期末)对于任何整数加,多项式(2加+3)2-25都能被下列各式中的哪一项

整除()

A.4B.6C.m+\D.m-4

【分析】利用平方差公式将原式分解因式，进而得出各因式再分析得出即可.

【解答】解；(2，〃i3)2-25=(2/7ZI3I5)(2，〃i3-5)=(2〃/8)(2〃？-2)=4("“4)(〃?

-1),

・・・对于任何整数相，多项式4都能被.

故选：A.

8.(2022春•港北区期中)如果多项式f+or+b可因式分解为(x-1)(x+2),则〃的值为

()

A.。=1,0=2B.。=1,b=-2C.a=-1,b=-2D.a=-1,b=2

【分析】已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出。

与〃的值即可.

【解答】解：根据题意得：x2+a^+b=(x-1)(x+2)=f+x-2,

则。=1,b=-2,

故选：B.

9.(2024•湖南一模)将肩。-必3因式分解，止确的是()

A.ab(，-/)B.a(/0-/)

C.abCa+b)(a・b)D.ab(a■力)2

【分析】先提取公因式外，再利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解:a3b-ab3

=ab(a2-序)

=ab(a+b)(a-b),

故选：C.

10.(2023秋•万州区期末)在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分

解的其他方法进行了探究，如：分解因式1・3X・4.设f・3X・4=(x+a)G+b),利用

多项式相等得。=-4,6=1,故x2-3x-4可分解(龙-4)(x+1).此时，我们就说多项

式(x2-3X-4)既能被(x-4)整除，也能被(x+I)整除.根据上述操作原理，下列说

法正确的个数为()

(1)(1+3x+2)能被Q+1)整除；

(2)若(x2-4x-5)能被(x+a)整除，则。=1或a=-5；

(3)若(/+加+力汗-3)能被(f+2x+3)整除，则a=l,b=1.

A.0B.1C.2D.3

【分析】对所给多项式进行因式分解即可解决问题.

【解答】解：因为f+3犬+2=(x+1)(x+2),

所以(/I3XI2)能被(xi1)整除.

故(1)正确.

因为f-4x-5=(x+1)(x-5),且(f-4x-5)能被(x+〃)整除，

所以x+l=x+。或x-5=x+。，

则〃=1或-5.

故(2)正确.

因为(/十底十/状-3)能被(5+2计3)整除，

所以将整式炉+加+云・3因式分解后，有一个因式为x2+2x+3,

贝ij令x^+a^r+bx・3=(x+c)(/+2%+3),

2

所以丁+加+陵-3=丁+(c+2)x+(2c+3)x+3ct

对比两边系数可知，

a=c+2

,b=2c+3»

-3=3c

\=1

解得,b=l.

c=-l

故(3)正确.

故选：D.

二、填空题(共7小题，每题4分，共28分)

11.(2024•大宁县一模)因式分解：r3-4/=/(Z4-2)(/-2).

【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：原式=/(3・44)

=t(r+2)(r-2),

故答案为:t(z+2)(f-2).

12.(2024•金乡县一模)因式分解：ar2+«y2+2ary=a(x+y)2.

【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：a^+ay^axy

=a(『+)2+2Ay)

=a(x+y)2.

故答案为：a(x+y)2.

13.(2023秋•正阳县期末)已知x-y=l,盯=3,则-v-ZvV+x,的值是3

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解；Vx-y=1,xy=3>

，原式=不，(x2-Zyy+y2)=xy(x-y)?=3,

故答案为：3.

1

14.(2023秋•辽宁期中)若rn^+rn-1=0,则加+m3+m2_2=-i.

33

［分析］先由，/+〃?-1=0得m+m=1,再将相+加+加2_2提取公因式,逐步将m+m=1

代入降次，最后化简得出答案即可.

【解答】解:Vm3+m-1=0,

m3+m=1,

：.m4+m3+nr-2

=/T?4+W2+W3-2

—m(m3+m)+m3-2

=mXl+/n3-2

=mJt-nv,-2

=1-2

=-1.

故答案为：-1.

15.(2023秋•沙坪坝区校级期末)若将多项式2好-f+m进行因式分解后，有一个因式是户1,

则m的值为3.

【分析】由多项式〃进行因式分解后，有一个因式是x+1,可得当尤=7时，多

项式=0,从而得出一个关于机的方程式，解得即可.

【解答】解：・・•多项式Zr-f+w进行因式分解后，有一个因式是x+1,

当x=-1时，Zr3-f+加=0,

即2X(-1)3-(-1)2+m=0,

解得m=3.

故答案为：3.

16.(2016秋•威海期中)甲、乙两个同学分解因式f+or+力时，甲看错了。，分解结果为(x+2)

(x+4)；乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则a=6,b=9.

【分析】由题意分析。，〃是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，〃决定因式的常数

项，。决定因式含工的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等

即可求出纵b的值.

【解答】解：分解因式甲看错了儿但。是正确的，

他分解结果为(xi2)(xi4)=x216.r।8»

・•a=6,

同理：乙看错了4,分解垢果为(x+1)(x+9)=f+10x+9,

:・b=9,

故答案为：6；9.

17.甲，乙两个长方形的边长如图所示.

(1)甲、乙两个长方形的面积分别为52.若一个正方形的面积等于S+&,则该正方

形的边长是团+2〃；(用含〃?，〃的代数式表示)

(2)若1个甲长方形和3个乙长方形恰好能拼接成一个正方形(该正方形没有缝隙，没有

重叠部分)，则皿=2.

n

止3〃

〃甲力乙

【分析】(1)将S+S2的和合并后因式分解可求出正方形的边长；

(2)按要求画出符合题意的正方形，利用边长相等，可求出结论.

【解答】ft?.：(1)由题意，

S\+Si=n(m+4n)+m(〃z+3〃)=mn+4ir+nr+3mn=ifr+4mn+4ir=(m+2n)2.

・•.正方形的边长为；

故答案为：

(2),:tn+4n>m+3n，

Al个甲长方形和3个乙长方形恰好能拼接成一个正方形(该正方形没有缝隙，没有重叠

部分)，

只能拼成如下形状：

・・"2=2/2.

•m门

,,一=2,

n

故答案为2.

三、解答题(共8题，共62分)

18.(6分)(2023秋•盘山县期末)因式分解：

(1)2x(x+y)-6y(x+y).

(2)(5/w+n)2-(m-5ft)2.

【分析】(1)利用提公因式法因式分解即可；

(2)利用提公因式法及平方差公式因式分解即可.

【解答】解：(1)原式=2(x+y)(x-3y)；

(2)原式=[(5m+n)+(m-5n)][(5m+n)+(〃L5〃)]

=(5m+n+m-5〃)(5ni+n-m+5n)

=(6m-4n)(4m+6n)

=4(3//z-2n)(2〃?+3〃).

19.(6分)(2023秋•沙坪坝区校级期末)把下列各式因式分解：

(1)-3ab^+6a2b2-3苏5

(2)x2-y2-ax+ay.

【分析】(1)先提取公因式・3ab,然后利用完全平方公式进行因式分解；

(2)首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可.

【解答】解：(1)原式=-3出？Cb2-2ab+a2)

=-3ab(b-a)2；

(2)原式=Cd-)?)+(-ax+ay}

=(x+y)(x-y)-a(x-y)

=(x-y)Cx+y-a).

20.(6分)(2024•新华区一模)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定

是4的倍数.

【验证】(2+1)2-(2-1)2=4X2；

【证明】设两个正整数为优，〃，请验证“发现”中的结论正确；

【拓展】已知(x+y)2=100,xy=24,求(x-y)?的值.

【分析】【验证】根据有理数乘方的运算法则进行计算即可；

【讦明】计算(〃什〃)2-(m-/7)则可得X结论：

【拓展】根据【证明】得(xiy)2-(x-y)2=4xy,然后将(*)，)2=100,町=24整体

代入计算即可得出答案.

【解答】解：【验证】(2+1)2-(2-1)2=32-12=8=4X2；

【证明】(m+n)2-Cm-n)2

=[(tn+n)+(in-/?)]•[(m+n)-(m-n)]

=2"?X2〃

=4mn,

・・・历，〃是正整数，

(ni+n)2-(w-n)?是4的倍数

即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数；

【拓展】根据【发现】得：(I+y)2-(x-y)『4盯，

又,:(x+y)2=100,孙=24,

.'.100-(x-y)2=4X24,

•・•(x-y)2=100-4X24=4,

21.(6分)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式r-4/〃2有一个因式是(X+3),求另一个因式以及〃7的值.

解：设另一个因式为(x+八)，得

x2-4x+/n=(x+3)(x+n)

则x2-4x+/n=x2+(n+3)x+3n

・fn+3=-4

m=3n

解得：n=-7,tn=-21

・•・另一个因式为(x-7),〃z的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2.F+3x・A有一个因式是(2x・5),求另一个因式以及攵的值.

【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式*-4x+〃?的二次项系数

是1,因式是(x+3)的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子

工+3工-攵的二次项系数是2,因式是(公-5)的一次项系数是2,则另一个因式的一次项

系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.

【解答】解：设另一个因式为G+。)，得：

2X2+3X-k=(2x・5)(x+a).

贝!J2A2I3x-k=2x21(2«-5)x-5a

..j2a-5=3

I-5a=-k

解得：a=4,k=20.

故另一个因式为(x+4),〃的值为20.

22.(8分)(2023秋•邹平市期末)在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分

解：

甲：x2-xy+4x-4yZi：a1-b1-(r+2bc

=(x2-x)0+(4x-4y)(分成两组)=cr-(加+c2・2bc)(分成两组)

=x(x-y)+4(犬-y)(直接提公因式)-(…)？(直接运用公式)

=(x-y)(x+4)={a+b-c)(«-b+c)

请在他们的解法启发下解答下面各题：

(1)因式分解：4a2-9+Zr-4ab；

(2)若a-b=-5,b-c=3,求式子-bc+ac-序的值.

【分析】(1)先分组，再运用公式法进行因式分解；

(2)对式子进行因式分解，再代入求值.

(解答］解：(1)4/-9+b2-4ab

=(4a2-4ab+b2)-9

=(2a-b)2-32

=(267-/7-3)(2〃-b+3)；

(2)ah-hc+ac-a2

=(ab-be)+(ac-er)

=b(a-c)+a(c-a)

=b(a-c)-a(a-c)

=(a-c)(b・a),

*•a-b=-5,b-c=3,

••a-c=-2,b-a=5,

ab-bc+ac-a2=(a-c)(h-a)=-2X5=-1().

23.(10分)(2023秋•陵城区期末)阅读下列材料：

“我们把多项式W+2ab+吩及a1-2而+庐叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方

式，我们常作如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解次问题的数学方法，

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求

代数式最大值、最小值等.

应用一：分解因式/+2。-3.应用二：求代数式)?+6)，+14的最小值.

我们可以进行以下操作：先配方〃+2O-3=解：9+6)，+14=(产+6)，+9)+5=(尹3)2+5

2

(/+2.+1)-4=(。+1)-4丁()，+3)220.・・(y+3)2+525

再利用平方差公式可得-3=(〃+1+2).♦.当)，+3=0,即y=-3时，尸+6计14的最小

(67+1-2)=(〃+3)值是5.

【问题解决】

(1)分解因式：x2-2x-15=(x+3)(x・5).

(2)代数式m2-6m+11的最小值2；

(3)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽

增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？

【分析】(1)把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，

再用平方差公式进行因式分解；

(2)把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完

全平方式的取值范围可得所求代数式的最小值.

(3)得到面积S的代数式，把含字母的项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的

式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大值.

【解答】解：(1)e-公-15=(x2-2T+1)-16=(x-1)2-42=(x-1+4)(x-1-4)

=(x+3)(x-5)；

(2)/??2-6〃z+11=(nr-6〃吐9)+2=(机・3)2+2.

;(w-3)220,

・・・(根-3)2+222.

工代数式m2-6/n+ll的最小值是2；

(3)S=(8-x)(4+x)=32+&L4_r-f=32-(x2-4.t)=32-(x2-4犬+4)+4=36-

(x-2)2.

(x-2)220,

Ax-2=0,即x=2时，36-(x・2)2最大，为36.

答：当x取2时:矩形区域的面积S最大，最大值是36.

24.(10分)(2023秋•西城区校级期中)阅读下列材料，回答问题:

“我们把多项式*I2"以及CT-2«加叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方

式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，

不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求

代数式最大值、最小值等，例如：分解因式/+213,我们可以进行以下操作：f+2x-3

=(f+2x+l)-4=(x+1)2-4,再利用平方差公式可得f+2.3=(x+3)(x-1)；再

如：求代数式Z&4X-6的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：2X2+4x-6=2(f+2x

-3)=2(x+1)2-8,于是由平方的非负性可知，当x=-1时，2「+41・6有最小值・8.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)若多项式x2-4x+A是一个完全平方式，则常数2=4.

(2)分解因式：^-4x-12=(x-2)(x-6),代数式2r-8^-24的最小值为

32.

(3)试判断代数式。2+2〃+11与2"+2〃+4。的大小，并说明理由.

【分析】(1)设炉-4卢女=(x+〃?)2,再根据多项式恒等性质列