函数的概念（练习）解析卷-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第6讲函数的概念•分类练习（解析卷）

答案速查表

12345

CDDBC

678910

ADA[1,+00)13或—5

1112131415

[-12]

[1,2].的M解[3,6](-2,2)

1617181920

3--l-V5-1+V5-

@4)r见详解见详解

[%)2'2

2122232425

见详解见详解B(f(x)=\lnX

2627282930

2

BABD[-3,5]B

5

3132333435

4+V7-4+行

[V3,V6]353]见详解BC

3637383940

3

BBBA

-2

4142434445

ACDBCD8DA

46474849

3

DAABD[],+8)

考点一：函数的概念与表示

考法1：根据定义或图像判断函数关系

1.（2026•山东东营•一模）在平面直角坐标系中，直线x=Q（a6R）与函数y=/（%）图象

的交点个数为（）

A.OB.1C.0或1D.无法确定

【答案】C

【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个X,都有唯一的y与之对应.若Q在函数y=/(x)

的定义域内，则直线无=Q与函数y=/(%)的图象有1个交点；若Q不在函数y=/(%)的定义域内，

则直线％=Q与函数y=f(x)的图象有0个交点.综上，交点个数为。或1.

【点拨】判断直线与函数图象的交点个数，紧扣函数定义中“定义域内任意一个自变量都有唯一

确定的函数值”这一核心特征即可.

2.(2024•山东潍坊・一模)存在函数/'(%)满足：对任意％€R都有()

A./(|%|)=x3B.f(sinx)=x2

C./(x2+2x)=|x|D./(|x|)=x24-1

【答案】D

【解析】对于A,当靠=1时，/(|1|)=/(1)=1；当时，/(|-1|)=/(1)=一1，不

符合函数定义，A错误；

对于B,令％=0,贝iJf(sinO)=f(0)=0,令x=7T,则/(sirnr)=/(0)=TT2,不符合函数定

义，B错误；

对于C,令％=0,则/(0)=0,令％=—2,则/'(0)=/((-2)2+2(-2))=2,不符合函数

定义，C错误：

22J2

对于D,f(|x|)=x+l=|x|+l,xERt则||N0,则存在％NO时，/(%)=%+1,符合函

数定义，即存在函数/■(乃=d+1(X20)满足：对任意XER都有/(|x|)="2+i,D正确.

【点拨】检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值，通过举

反例可快速排除错误选项.

3.如图，可以表示函数f(x)的图象的是()

D.

【答案】D

【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个心只能有唯一的y与之对应，作垂直于刀轴的

直线，观察其与图象的交点个数，只有D满足要求.

【点拨】利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于%轴的直线与图象至多有一个交点.

4.函数y=/(%)的图象与直线％=1的交点个数()

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个

或多个

【答案】B

【解析】若1不在函数/(%)的定义域内，y=/(x)的图象与直线％=1没有交点；

若1在函数/(》)的定义域内，y=/(%)的图象与直线x=1有1个交点.

所以交点个数为至多1个.

【点拨】结合函数定义域的限制，考虑直线％=1是否穿过函数的定义域区间，从而确定交点情况.

考法2：判断两个函数是否为同一函数

5,下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=Igx2,g(x)=21gx

B./(x)=1g当，g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)

c/Q)=悟=悟

D.f(x)=(y)2,g(x)=

【答案】C

【解析】对于A：f(x)=lg%2的定义域为｛%|%H0),g(x)=21gx的定义域为(0,+8).二•定义域不

同，，/'(x)和9(x)不是同一个函数.故A错误；

对于B：/(x)=1g言的定义域为(-co,-1)U(1,+oo),g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)的定义域为

(1,+8).•.,定义域不同，.•./■(工)和。(%)不是同一个函数.故B错误；

对于C：/(u)=居的定义域为［-1,1),仪切二栏的定义域为［-1,1),・••定义域相同.又对应

关系也相同，，为同一个函数故C正确；

对于D：/(x)=(C)2的定义域为［0,+co),g(x)=A/N的定义域为•定义域不同，.,」(；＜)和

9(%)不是同一个函数.故D错误.

【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致，切忌先化简

再求定义域.

6,下列四组函数中，表示同一个函数的一组是()

A.y=|x|,u=B.y=Vx^,s=(Vt)2

C.y=j~»m=72十1D.y=\/x+1-Vx—1,y—vx?—1

【答案】A

【解析】对于A,y二|x|和〃=行二|M的定义域都是A,对应关系也相同，是同一个函数，故选

项A正确；

对于B,函数y=的定义域为R,函数s=(〃)2的定义域为[0,+8),定义域不同，入是同一个

函数，故选项B错误：

对于C,函数y=的定义域为{X戊r1},函数m=八十1的定义域为A,定义域不同，不是同

一个函数，故选项C错误；

对于D,函数y==x+1•Vx-1的定义域为{%|x21},函数y=7W-1的定义域为(一8,-1]u

口,+8),定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误.

【点拨】紧抓定义域和对应法则两要素，自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.

7,下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(x)=elnx,g(x)=x

比2.4

B・/(X)=77T。(乃=%一2

C./(%)=x°,g(x)=1

D./(%)=|%|,%E{-1,0,1],g{x}=%2,%G(-1,0,1)

【答案】D

【解析】对于A：f(x)=e®"的定义域是(0,+8),g(x)=丫的定义域是R,两个函数的定义域不

相同，不是同一函数：

对于B：fQO=;标的定义域是{xlx=一2},g(x)=x-2的定义域是R,两个函数的定义域不相

同，不是同一函数；

对于C：/■(切=3的定义域为"|工工0},g(x)=1的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不

是同一函数；

对于D：/(%)对应点的坐标为{(一1,1),(0,0),(1,1)},g(x)对应点的坐标为{(一1,1),(0,0),(1,1)},

两个函数对应坐标相同，是同一函数.

【点拨】离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标比对最为直

观.

考点二：函数的定义域

考法3：求具体函数的定义域

8,已知等腰三角形的周长为40cm,底边长y(cm)是腰长％(cm)的函数，则函数的定义域为

()

A.(10,20)B.(0,10)C.(5,10)D.[5,10)

【答案】A

【解析】由题设有y=40-2x,

由140一笠工-得10Vx<20,故选A.

lx4k-%>40-2x

【点拨】实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义，如三

角形两边之和大于第三边.

9.函数/•(%)=的定义域为.

【答案】口,+8)

【解析】令器20,•・•/+1>0,二可得%一120,解得xNl.

故函数f(x)=J品■的定义域为[L+8).

【点拨】偶次根式要求被开方数非负，结合分母恒正的特点，可快速将分式不等式转化为整式不

等式.

10.若、="/一"：‘9一"+1,no3x+4y=.

【答案】13或一5

42-9+，9-42

【解析】由丫=

x^2+1有意义可得

(X2-9>0

收一好工。，解得/=9,所以％=3或%=-3.

Q-2Ho

当x=3时，y=1,3x+4y=13；

当％=—3时，y=1,3x+4y=-5.

【点拨】当被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.

考法4：求抽象函数或复合函数的定义域

11.己知函数y=f(l+的定义域为｛%|0<%<!),则函数y=f(x)的定义域为

【答案】[1,2]

【解析】令〃=1+J1—%,ill0<x<1ft：-1<-X<0=>0<1-X<1,

所以0<VI-%<1=>1<14-Vl-x<2,即1WizW2,

所以，函数y=f@)的定义域为口,2］.

【点拨】已知复合函数/(g(x))的定义域求/(x)的定义域，实质上就是求内层函数g(x)的值域.

12.已知函数f(x)的定义域为［-2,3］,则函数f(2x-1)的定义域为.

【答案】［旧,2］

【解析】由一2V2%-1V3解得一?vxv2,

所以函数f(2x-1)的定义域为［一2］.

【点拨】已知/(%)的定义域求f(g(盼)的定义域,只需令g(x)在已知定义域范围内,解出x即可.

13.己知函数/(%)的定义域为［一/5，则函数y=-的定义域为

【解析】因为函数y=f(x)的定义域为［一表/，

所以在函数y=/(，_工_9)中，

解?WxWO或lWxW竽，

故函数y=八好一工一；)的定义域为［:普,0］u［1,竽］.

【点拨】解一元二次不等式组时，可借助二次函数的图象辅助求解，确保区间端点计算准确无误.

14.已知函数f(x+1)定义域为［1,4］,则函数八%-1)的定义域为.

【答案】［3,6］

【解析】因/'(x+1)的定义域为［1,4］,则当1WXW4时，2<%+1<5,

艮1/(%)的定义域为［2,5］,于是f(x-l)中有2Wx-lW5,解得3WXW6,

所以函数/(%-1)的定义域为［3,6］.

【点拨】此类问题可采用“过渡法”，先求出外层函数/的抽象定义域，再代入新的复合解析式中

求解.

考法5：根据函数定义域为R求参数范围

15.已知/。)=ln(x2-ax+1)的定义域为R,那么Q的双值范围为.

【答案】(-2,2)

【解析】依题可知，％2—QX+1>0的解集为R,

所以△=Q2-4V0,解得一2CQV2.

【点拨】对数型函数的定义域为R等价于其真数部分的二次函数恒大于零，利用判别式AVO即

可.

16.若函数f(x)=(M+i的定义域为R'则实数。的取值范围是.

【答案】［0,4)

【解析】/(%)的定义域是R,Wax2+ax+1>0恒成立.

当Q=0时，1>0恒成立；

当QH0时，则九/八，解得0<a<4.

(△=晓一4Q<0

综上，0WaV4.

【点拨】遇到一次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论一次项系数为零的情况，防止漏

解.

17.函数/(x)=二+：_+3的定义域为(一8,+8),则实数a的取值范围是.

【答案】您)

【解析】因为函数/(乃=£高石的定义域为R，所以仃2+4QX+3Ho的解为R,

艮］函数y=ax2+4ax+3的性象与x轴没有交点.

(1)当Q=0时，函数y=3与x轴没有交点，故Q=0成立；

［2)当QH0时，要使函数y=Q%2+4g+3的图象与无轴没有交点，则△=(4Q)2-12QV0,

解得

综上：实数Q的取值范围是［0,》.

【点拨】分式函数的定义域为R，即分母恒不为零.对于二次型分母，需满足判别式AV0,同时不

忘检验系数为零的情形.

18.若函数/(%)=户石二二1的定义域是R,则实数Q的取值范围是___________.

【解析】由函数/(乃=］2--2以寸的定义域为R,得2乂2-2。"°一；之。恒成立，

化简得%2-2ax-a+1>0恒成立，

所以由△=4a2-4(1-a)<0解得：三亚<a<昔亘.

【点拨】结合指数函数的单调性，将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立

问题.

考点三：函数解析式的求法

考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式

19.已知/（旨）=黑，求f（x）的解析式.

【答案】/（%）=言

【解析】由r（E）=塞，令2缶，"_1,则*=点，

所以'⑴=患=含，亡学一1，

1+（向

所以"%）=言（工/一1）

【点拨】利用换元法求解析式时，务必求出新元的取值范围，即为所求函数的定义域.

20.求下列函数的解析式:

(1)已知f(l-sinx)=cos2%,求/(%)的解析式;

(2)已知/(%+:)=/+/，求f(x)的解析式;

(3)已知/(%)是一次函数且3fo+1)-2/(%-1)=2%+17,求/(%)的解析式;

(4)已知f(%)满足2/(%)+/(-%)=3x,求f(%)的解析式.

【答案】(1)f(x)=2x-x2(xe[0,2])(2)f(x)=x2-2(xe(-co,-2]U[2,+oo))(3)

f(x)=2%4-7(4)f(x)=3x

【解析】(1)设1—sinx=3tE[0,2],则sinx=1—t.

,./(I—sinx)=cos2%=1-sin2x,

.••/(£)=l-(l-t)2=2t-t2,te[0,2],

艮1/(%)=2%—x2,xG[0,2].

⑵v/(x+;)=x2+^=(x+i)2-2,

由对勾函数y=x+:的性质可得，其值域为(-8,-2]u[2,+8),

所以f(x)=X2-2,X6(-00,-2]U[2,+00).

(3)由/(%)是一次函数，可设/(%)=QX+b(QH0),

.,•3[a(x+1)+b]—2[a(x-1)+b]=2x4-17,即ax+(5a+b)=2%+17,

碓117,解得｛广今

15Q+b=173=7

••/Q)的解析式是/(%)=2x+7.

(4),•,2/(x)+/(-x)=3x①,

二将工用一%替换,得2/(-%)+/(%)=-3》②,

由①②解得f(x)=3%.

【点拨】求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.在换元和配凑时，

新元的范围决定了函数的定义域.

21.根据下列条件，求/(x)的解析式：

(1)已知/(x)满足+1)=x2+4x+1

(2)已知/(%)是一次函数，且满足3/(x+1)-/(%)=2%+9；

(3)已知f(%)满足2/Q)+/(%)=x(xH0).

【答案】(1)/(X)=X2+2X-2(2)/(x)=x+3(3)f(%)=「一((％=0)

［解析】(1)令t=x+1,Rjx=t-1,

故/•(£)=(t-1)2+4(t-1)+1=产+2t—2,

所以f(x)=%2+2x-2；

(2)设/(x)=kx+b,

因为3/。+1)-/。)=2%+9,

所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9,

BJ2kx+3k+2b=2x+9,

所以｛靠蔑=9,解得g：；,

所以/(%)=X4-3；

(3)因为2/0)+/(X)=x(xH0)①，

所以2/(x)十②，

2x②一①得3/a)=：-x,

所以/(%)=(一2工0).

【点拨】方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代爽构造出

关于/■(%)的方程组进行求解.

22.根据下列条件，求函数f(x)的解析式.

(1)已知fCA+1)=%+2后则/■(%)的解析式为；

(2)己知/(%)满足2/(%)+/(：)=3%,求/(%)的解析式.

(3)已知/(0)=1,对任意的实数％,y都有/(x-y)=/(%)-y(2x-y+l),求/(%)

的解析式.

2

【答案】(I)/(X)=%2-IQN1)(2)f(x)=2x-i(x^0)(3)f(x)=x+x+l

【解析】(l)方法一(换元法)：令正+1=£,则X=(C-1)2,tN1.

所以/'(t)=(t-I)2+2(t-1)=t2-l(t>1),

所以函数/(x)的解析式为/(x)=x2-l(x>1).

方法二(配凑法)：/(V%+1)=X+2a=X+2yfx+1-1=(y/x+l)2-1.

因为函+INI,所以函数/Q)的解析式为/(%)=%2-1(%>1).

⑵护代入2/(%)+/(；)=3%,得2fG)+/(x)=3

2/(%)+/(口=3%]

因此X3，解得/■(%)=2工一,(%H0).

2吧+々)=：'

(3)令x=0,得/'(一y)=f(O)-y(-y+1)=1+产-y=(-y)2+(-y)+1,

所以/'(y)=y2+y+1,即/(x)=x2+x+l.

【点拨】对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值(如0),

从而转化为单变量的函数关系.

考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值

23.(2026•福建福州・3月检测)已知函数/(%)的定义域为R,且f(%+y)=/(%)+

/(y)4-2xy4-l,f(1)=0,则/(6)=()

A.34B.35C.36D.37

【答案】B

【解析】在/(%+、)=/(乃+/'3)+2%了+1中，且/(l)=0,

令％=y=l,得/'(1+1)=/(1)+f(l)+2xlxl+l=f(2)=3,

令x=l,y=2,得/(I+2)=f(1)+f(2)+2xlx2+l=f(3)=8,

令％=y=3,得/'(3+3)=f(3)+/(3)+2x3x3+l=f(6)=35.

【点拨】利用赋值法，从已知条件出发，逐步递推求出目标函数值.

考法8：构造满足特定条件的函数解析式

24.(2026•省十教育•最后一卷)写出一个满足下列条件的函数/(%)的解析式：

①f(-x)=7'CO；

②对任意正数勺工/(小+t)>/■(%])；

③小E(0,+8),f(空)>“打)”处)；

©/(%1-%2)=7(X1)+/(X2)・

【答案】/(%)=1小洌(答案不唯一)

【解析】条件①表明函数为偶函I数：条件②表明函数为(0,+8)上的单调递减函数：条件③表明函

数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方；条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数

大于1的对数函数具有类似②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故fQ)可以是由对

数函数构造的一类函数，比如f(x)=ln|x|,或f(x)=lg|M，/(%)=阿遥等都符合条件.

【点拨】根据函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数中寻找原型并进

行适当改造.

25.(2024•深圳外校•阶段练习)写出一个满足：f(x+y)=f(%)+/(y)+2D的函数解

析式为.

【答案】/(X)=%2

【解析】f(%+y)=f(%)+/(y)+2盯中,令％=y=o,解得/'(0)=0,

令y=-%得-x)=/(x)+/(-x)-2x2,故/(x)+/(-%)=2x2,

不妨设/(%)=，，满足要求.

【点拨】通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，猜想出符合条件的

具体函I数.

考点四：函数的值域

考法9：求基本初等函数及复合函数的值域

26.(2026•江苏南通•一模)已知函数/(%)=布石，定义域为4值域为那么下列

说法正确的是()

A.4nB=RB.4UB=BC.AeBD.{0}6A

【答案】B

【解析】由题设《彳2八今％之.，则/=昌，+8),值域B=[0,+8),

iinzxnu乙/

所以4n8=A,AUB=B,集合之间关系不能用E表示，

所以A、C、D错，B对.

【点拨】求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则根据内层函数的范围向外推导.

27.(2026•湖北随州六校•一模)(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是

()

化%<0

A.y=—%4-1：

%>0

C.y=ln|x|D.y="

【答案】ABD

【解析】对A,函数y=-x+l的定义域和值域都是R；

佶，%<0

对B,易得函数y=：的定义域为R,

(尹，x>0

当工40时，y=e(-oo,0]；当x>0时，y=gc(O,+8),故函数的值域为R；

对C,函数y=ln|x|的定义域为(-8,0)u(0,+8),值域为R；

对D,因为函数丫="=2+2,所以函数的定义域为(—8,2)U(2,+8),值域为(—8,2)U

(2,十co).

【点拨】逐一分析各选项函数的定义域和值域，特别注意分段函数需分段求值域后再取并集.

28.若函数y=/(%)的值域是[-1,3],则函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为.

【答案】[-3,5]

【解析】因为函数y=f(x)的值域是[-1,3],

所以函数y=f(x+1)的值域为[-1,3],

则y=-2f«+1)的值域为[-6,2],

所以函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为[-3,5].

【点拨】自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.

考法10：利用换元法或分离常数法求值域

29.(2026•湖北新八校-二模)已知函数/(%)=三三，则该函数的值域为()

A.[2>/3—4,+oo)B.(—；,+8)C.[—；,+8)D.(—1,+8)

【答案】B

【解析】/(x)=品==^-2+/=^+2+/一4，

令e'+2=t,则t>2,则原函数的值域等价于函数丁二1+：-4«>2)的值域，

)；=1一持>0恒成立，即丫=1+:4«>2)单调递增，所以值域为(一表+8).

【点拨】对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用分离常数法或换元法转化为对勾函数模型

求解.

30.(2024•重庆巴蜀中学•练习)函数y=的最大值为

【答案】:

【解析.】因为>=弃=焉=忌工，

VX2+4

令£=J7+4,贝股之2,

令g(%)='+5XG[2,+cn),因为函数g(x)=x+：在[2,+8)上单调递增，所以g(x)£||,+8),

阳历+高，岑+8)，则757^6(°,如

VX2+4

即函数，=空的最大值为:当且仅当％=0时取等号.

【点拨】通过分子分母同除以分子，将函数转化为对勾函数的形式，注意换元后新变量的取值范

围.

31.函数y=V1-x+12+妥的值域为.

【答案】［V3,何

【解析】由>=71二方+我工7有意义可得｛；；：：：,所以—2

y=小蒜+VF口的定义域为［-2,1］,

y=(V1—%+V2+x)2=1—x+2+x+2V1—x•V2+x=2j(l—x)(2+x)4-3=

2>J-x2-x+2+3=2J-(x+g)2+3+3,

设t=—(x+g)2,贝Ij££［-1o］,y=2Jt+j+3,则yw［旧,遍］.

【点拨】求形如丁=后兆+衍5的函数值域，通常采用平方化简法，将其转化为二次函数求

最值.

32•函数y=景的值域为

4+V7-4+V7

【答案】［-

3，3]

sinx+2表示点(cos.sinx)与点(2,-2)连线的斜率,

【解析】y=cosx-2

•••(cosx,sinx)的轨迹为圆+y2=1,

•••y=；：：：：；表示圆X”+y2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率，

由图象可知：过(2,-2)作圆必+产=1的切线，斜率必然存在，

则设过(2,-2)的圆/+y2=1的切线方程为y+2=kQ-2),即Ax-y-2k-2=0,

・•・圆心(0,0)到切线的距离4=臂外=1,解得：忆=言应，

结合图象可知：圆好+y2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率的取值范围为［-芋，言亚］,

因y=黑的值域为［-竽，乎］.

【点拨】对于形如丁=吟的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.

COSX+D

33.求下列函数的值域：

3+x

(1)V=——

J4-x

5

(2)丫-2/_轨+3；

(3)y=V1-2x—x；

X2+4X+3

(4)

(5)y=4-V34-2x-%2；

(6)y=x+V1—2%；

(7)y=Vx-3+V5—%；

(8)y=V-x2-6%—5

3x+l

(9)

/ic、2X2-X+1/、1、

(10)y=

【答案】(1)(—8,—l)u(—l,+8)(2)(0,5](3)[-3+8)(4){yly01且丁=刍(5)

[2,4](6)(-oo,1](7)[A/2,2](8)[0,2](9)(-oo,3)U(3,+co)(10)[V2+1,+oo)

【解析】(1)分式函数、=艺=一1一£，定义域为WXH4},故£工0,所有y工一I，故值

域为(—8,-1)U(-1,+00);

(2)函数y=九2一1+3中'分母£=2d一轨+3=2。-1产+1之1,则y=：e(o,5],故值域为

(0,5]；

(3)函数y=-2%—，中,令1一2工工0得工工；，易见函数y=-2x和y=-x都是减函数,

故函数y--2%-x在“工g时是递减的,故时ymin—g，故值域为[一;,+8)；

[4)y=左箸=岩=1++，。工一3)，故值域为{ylyH1且y。|}；

(5)y=4-V3+2x-x2=4-y/-(x—l)2+4,xe[-1,3],而0<-(x-l)2+4<4,xe

[0,4],AO<7-(A：-1)2+4<2,A4-2<4-7-(x-l)2+4<4-0,B|J2<y<4,故值域

为[2,4]；

(6)函数y=x+—2x,定义域为(-8,g],令t=11-2xZ0,所以％=子，所以y=

2

i-t+t=-1t2+t+pt>0,对称轴方程为t=l,所以t=l时，函数VmaxT+i+»i,

2

故值域为（一8,1];

⑺由题意得《二；梵，解得3—W5,则y2=2+2式x—3）（5—%）=2+2/_（》_48+1,

3<x<5,故一(x-4)2+1E[0,1],27-(%-4)2+1e[0,2],A2<y2<4,由y的非负性知,

y/2<y<2,故函数的值域为[&,2]；

(8)函数y=V-N-6丫-5=，一=J3)2+4,定义域为-(%+3)2+4€[0,4]»故

y=J_(X+3)2+46[0,2],即值域为[0,2]：

(9)函数>=笔=3+=，定义域为{幻工芯2},故三学0,所有yH3,故值域为(-8,3)U

X-ZX-/X一乙

(3,+8)；

(10)函数y==吐曹；]*T(2x—1)+白]+(令£=2%—1,则由%知，

t>0,y=l(t+1)4-p根据对勾函数t+g在(0,&)递减，在[加,+8)递增，可知t二历时，

X

ymin=72&+；=鱼+；，故值域为[鱼+；，+°°).

【点拨】本题综合考查了求函数值域的常用方法：分离常数法、配方法、单调性法、换无法、平

方化简法等，需根据解析式结构灵活选择.

考法11:根据函数值域的性质求参数或相关问题

(2X4-3%<0

34.(2025•福建福州一中・5月模考)若函数/(>)=,二2八]一的定义域和值

域的交集为空集，则Q的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)

【答案】B

(7X4-3Y<0

【解析】由题设/(%)=卜xIzK，0<%<^则定义域为(一8,0.

当XW0时，2、W(0,l],2x+3G(3,4].

当0cx<Q时，若Q<2,值域为长。一2)2,4)：若Q>2,值域为[0,4).

因为定义域和值域交集为空集，即(-8,©n值域=0.

由于值域中包含(3,4],所以必有QV3.

若QN2,值域包含[0,4),与(-8,0]交集不为空(因为。？2,[0,4)门(一8,©n[0,2]).

若0VQ<2,值域为[(Q-2)2,4)U(3,4].要使(一8,可与值域无交集，必须Q〈(Q-2)2,且Q4

3(已满足).

解QV(Q-2)2,即Q2-5Q+4>0,得QV1或Q>4.

结合0<QV2,得0VQVL

所以a的取值范围是(0,1).

【点拨】分段求出函数的值域，再根据集合交集为空集的条件列出关于参数的不等式组求解.

考点五：分段函数的应用

考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值

35.(2026•山东荷泽•二模)已知函数/(》)=｛器则/(0)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由分段函数的解析式，当XW0时，/(%)=/(%+2)，所以f(0)=/(0+2)=/(2).

2

又因为当白>0时,/(%)=log2(x+4),所以/(2)=1。82(22+4)=1。828=3.因此/(0)=3.

【点拨】求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式，若自变量不在直接

可求的区间内，需利用递推关系转化.

36.(2026•广东广州•一模)已知函数x>J,贝Ij/(f(log32))=

(J/X£JL

()

A.-1B.OC.log32D.2

【答案】B

【解析】因为0Vlog32<1,所以f(log32)=3*=2,

所以/。0嗝2))=/(2)=log3(2-1)=log3l=0.

【点拨】准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解分段函数值的关键.

37.(2026・安徽马鞍山-一模)已知函数/㈤=片Wk及：，且f(Q)=3,则

UOg21X+1J，X>1

/(7-Q)的值为.

【答案】V

【解析】当％W1时，2x-1-2<2°-2=-l,

当X>1时，log2(X4-1)>1.

由/(a)=3,得Q>1,则log2(a+1)=3,解得Q=7,

所以/(7-a)=f(0)=2-1-2=一|.

【点拨】己知函数值求自变量，需先求出各段函数的值域，根据函数值所在的值域区间确定自变

量所在的区间.

考法13：已知分段函数值解方程求参数

38.(2026•浙江精诚联盟•二模)己知函数/(%)=《；：［普'黄，若f9)=12,则实

数a=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】当a30时，a(a+4)=12,解得Q=2或a=-6(舍)，

当QVO时，a(4-a)=12,即。2一4a+12=0,△=16-48=-32<0,方程无实数解，

所以Q=2.

【点拨】解分段函数方程时，需分段建立方程并求解，最后务必检验求出的解是否在对应的定义

域区间内.

39.(2026•河北名校协作体-模拟)已知函数/'(%)=性+°：智，若/'(2a)=

f(2a+8),则〃/(一6))=()

A.1B.2C.|D.乎

22

【答案】B

【解析】若2QN0,则2Q+8>0,因为函数y=«在［0,+8)单调递增，且2Q+8>2Q,所以

方程/'(2a)=f(2aI8)无解；

若2a<0,2Q+8N0,贝ij/(2a)=-2Q+Q=-Q,f(2a+8)=72a+8,彳导至卜<=，2a+8,

整理得Q2-2Q-8=0,解得。=4(舍)或Q=-2；

若2QV0,2Q+8V0,因为函数、=一x+Q在(一8,0)单调递减，且2Q+8>2Q,所以方程

f(2a)=f(2a+8)无解；

综上,…2,作)=怪_2,

所以/(-6)=一(-6)—2=4,/。(-6))=/(4)=迎=2.

【点拨】对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨

论.

40.(2025•江西十校协作体-二模)已知函数/(%)=fx%若/(I一a)=4,则

fX<U

Q的值为()

A.0或弓8.0或^C.iD.1

【答案】A

【解析】若1一。20,即aWL则/'(1一a)="一°=4,解得a=0；

若1—Q<0,即a>1,贝好(1—a)=2"(1一。)=22a-1=4,解得a=1.

综上，Q的值为0或方

【点拨】同匕根据自变量表达式的符号进行分类讨论，解出参数后需检验是否满足分类条件.

(-3x+5,x>01

41.(多选)已知函数/(乃二—工”n，若/(/(。))=一也则实数a的值可能为

(V人IX■JCU/

()

A.？C.-1D.：

336

【答案】ACD

【解析】当Q>0时,/(a)=-3a+5,

其中当0WQW；时，/(a)>0,此时f(/(a))=-3(-3a+5)+5=—,解得Q=：,符合题意；

当Q>,时，/(a)<0,此时/V(Q))=(-3Q+5)+UM=W，解得Q=(或/，符合题意；

当Q<0时/'(a)=Q+：，必有/'(a)<0,

此时/'(/(①)=(。+工)+=-变形可得Q+上=-2或一，

QQ+—a，Q，

若Q+[=-2,解得Q=-1,

若Q+1=—；，无解；

a2

综合可得：a=-1或，或!或2.

【点拨】由外向内逐层剥离求解，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内.

42.(多选)已知函数/(x)=:H则使/(/(町)=1的％可以是()

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】BCD

【解析】①当f(x)40时，由/'(/(%))=2八切=1,可得/(工)=0,

若x工0时，则f(x)=2x>0,此时/(%)=0无解，

若%>0时，由/(%)=|log2X|=0,解得％=1;

②当/•(%)>0时，由/■(/(%))=|log2/(x)|=1,可得/(%)=2或/■(%)=1,

若XW0时，则f(%)=2乂€(0刀，由/(x)=2*=g可得％=-1,方程/"(乃二？无解，

1

V2x

一-

2由/(%)-|log2l-2可得x=(或％=4.

若x>0时，由/'(%)=|log2x|2

综上所述，满足/'(/a))=1的％的取值集合为{一1,1,企,¥$,4}.

【点拨】同上，采用换元法，先求出内层函数的值，再作为外层函数的自变量求解.

43.(2025•福建厦门-检测)已知函数/(%)=：*若/(。)+/(—1)=2,则

a=.

【答案】8

【解析】/■(-1)二一(-1)2=-1,所以/'(a)=3,

因为xWO时，fM=-%2<0,所以a>0,

f(a)=log2a=3,解得Q=8.

【点拨】先求出确定部分的函数值，再根据目标函数值的大小判断未知参数所在的区间.

考法14：解分段函数不等式

(?~xx<-1

44.(2026•江西南昌•一模)已知/(%)=_2-,则不等式/(%)VI的

IXIIJL/X)JL

解集为()

A.(—8,—1)B.(4,+8)

C.(-oo,0)U(4,+8)D.(-1,0)U(4,+8)

【答案】D

【解析】当x<-1时，f(x)=2-x<1=2°,解得x>0,此时无解：

当x>—1时，/(%)=—%2+4r4-1<1,解得％V0或x>4,所以—1V%<0或%>4.

综上,不等式f(x)<1的解集为(-1,0)U(4,+co).

【点拨】解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不笔式，最后将各段的解集取并集.

左2_|_3%,%<0,

45.(2026•江西三新・4月训练)已知函数f(x)=12、。若f(7(a))2，贝b

的取值范围为()

A.(—4,—3)U(——2)U(—1,-U(4,10)

B.(-4,-3)U(-3,-竽)U(—1,0)U(4,10)

C.(-oo,-4)U(-3,0)U(4,+oo)

D.(一8,—4)U(—3,0)U(10,+oo)

【答案】A

【解析】作出/(约的图象.由/'(/(砌)<-2,可得一2<f(a)V一1或0Vf(a)<4.

由0<f(a)<4,可得一4<a<-3；

由一2</(a)<-1,可得一手va<-2或一1VaV-竽或4<a<10.

综上，Q的取值范围为(-4,-3)U(一¥，-2)U(-1,一等)