2027年高考数学一轮复习讲义-两条直线的位置关系（含解析）

两条直线的位置关系

【课标要求】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标3掌握平面上

两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

；---------------------------落实主干知识---------------------------

1.两条直线的位置关系

直线/i：y=k\x+h\f自y=k2x+bz,h：4x+3iy+G=0,la：22x+&y+C2=0(其中八与，3是同一条直线,

/2与，4是同一条直线)的位置关系如下表：

位置

/，/2满足的条件h，/4满足的条件

关系

力山2-4出1=0,且力（‘2-

平行>=%2且b/b2

“2C1K0（或办C2-BGW0）

垂直佑/2=-1小生+囱合尸。

相交斤1#后2

2.三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件：点尸1(即，yi)，。2(工2，J2).

②结论：|尸102|43-、1)2+5-yi)2.

③特洌：点4X,刃到原点0(0,0)的距离|。。|=尸仔.

(2)点到直线的距离

点P(xo,泗)到直线/：4v+8y+C=0的距离人

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线/i：4x+8_y+G=0与/2：Ax+By+C2=0间的距离d=j==.

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

⑴当直线Zi和11斜率都存在时，一定有kl=k2=h〃l式X)

⑵若两条直线人与，2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(X)

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(V)

(4)若点儿〃关于直线/：片去+/必第0)对称，则直线力〃的斜率等于且线段/出的中点在直线/

上.(、)

2.(2025・福州模拟)若直线人G+2广1=0与直线A：(。-1)*歹，=0垂直，则实数。的值是()

A.-1或2B.-lC.2D.g

答案A

解析直线/1:ax+2y-1=0与直线/?：(tz-1)x-v-^=0垂直，则有a(a-1)-2=Q,解得a=-\或a=2.

3.两条平行直线x+尸4=0与2"2产3=0间的距离为()

B】吟D.平

答案D

解析因为直线x+y+4=0,即2x+2y+8=0,

原问题转化为求两条平行直线2什2收8=0与2x+2y+3=0间的距离，

由两条平行直线间的距离公式可得十)丁丁J'：

V2z+222V24

4.过直线x+y+1=0和3x-y-3=0的交点，且倾斜角为45。的直线方程为.

答案x-y-2=0

解析联立以可得］；:岂故交点为G，-1).又倾斜角为45。，所以斜率为1,故直线方

程为万手工一，即x-y-2=0.

但微点提醒

谨防四个易误点

(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.

(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.

(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式旦-y的系数对应相等.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一两条直线的平行与垂直

例1(1)已知直线/i：ax+y-2=0>h：2x+(a+1)y+2=0,h：-2hx+y^1=0,a,b£R,若」〃，2,Uh，

则力等于()

A4或：B.1

答案B

解析已知直线八：ax+y-2=0,h\2x+(a+\)y+2=0,h\-2Z)x+jH-l=0,a,6WR,

由“3得心+l)-2=0,解得a=-2或a=l,

当q=-2时，/i：-2x+y-2=0,即2x-j+2=0,h\2r/2=0,所以八与，2重合,不符合题意；

当。=1时，l\Ix+>--2=0,h\2x+2y+2=0,即田yH=0,所以/MZ.

故。=1,

由/」瓦得-2人+1=0,故人弓.

(2)(2025・许昌模拟)已知四边形/8C。的四个顶点分别为40,0),例3,-2),C(5,1),D(2,3),

则四为形月的形状是()

A.平行四边形B.正方形

C.菱形D.矩形

答案B

解析因为k.AB=1,依

kcD=。eD=|,

所以上折々CD,kB(=k,AD,

所以,48〃CO,BC//AD,

所以四边形ABCD是平行四边形，

又如如尸-1,则力8，月。，所以四边形48CO是矩形，

又|阴=132+(-2)2=VH,|BQ=V(3-5)2+(-2-1)2=V13,即|45|=|8C|,

所以四边形48C。是正方形.

思维升华判断两条直线位置关系的注意点

⑴斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

22

跟踪训练1(1)已知直线/i：a:c-y^-a-3a=0fh：(4a-3)x-y-2=0,若h〃h，则。等于()

A.lB.1或2C.1或3D.3

答案D

解析直线八：a2x-y^-a2-3a=Q,h：(4rv-3)x-y-2=0,可化为

/i：y=a2x+a2-3a,I2')=(4〃-3)x-2,

因为11〃/2,

所以比黑，解得E

(2)(多选)△力8c的三个顶点坐标为彳(4,0),8(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是()

A.边与直线3工-2产1=0平行

B.边8c上的高所在的直线方程为3x+2y・12=0

C.过点。且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0

D.过点A且平分△力8c面积的直线与边8C相交于点。(3,5)

答案BD

解析直线BC的斜率为啮=|,而直线”・2尸4=0的斜率为右两直线不平行，A错误；

边8c上的高所在直线斜率为，直线方程为尸条-4),EP3x4-2^12=0,B正确；

过点。且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y-13=0,过原点时方程为7x-6尸0,C错误;

过点,4且平分△力8c面积的直线过边8C的中点，中点坐标为(3,5),D正确.

题型二两直线的交点与距离问题

例2(1)(2024・南阳质检)点〃为直线2x・3yH=()和田y2=0的交点，则点〃到直线/：kx-y+k+2=0

的最大距离为()

A.gB.V5C.WD.5

答案B

解析由甑?江；％即收，1)，

直线上依叶1)+2-尸0,所以直线/过定点/(」，2),

所以当直线力尸与直线/垂直时，点P到直线/的距离最大，

且最大值为\AP\=yj(1+I)2+(1-2)2=V5.

(2)(2024•武汉模拟)若两条平行直线/1：x-2y+"?=0(加>0)与A：2x+町，・8=0之间的距离是2时，则〃*

n=.

答案10

解析由题意可得六巴解得〃=4

此时/1的方程为x-2y+m=0,12的方程为x-2y-4=0,

则2后尸-4)|

人J，2+(_2涔

即依+4|=10,解得m=6或〃?=・14,

又〃?>0,所以〃2=6,

故m-n=10.

思维升华利用距离公式应注意的点

⑴点P（x。，次倒直线尸。的距离公卜。司，到直线尸6的距离gM加

⑵使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且X,歹的系数对应相等.

跟踪训练2（1）过两条直线/|：x+2y-4=0,ht2x-y-3=0的交点，且与直线/3yH=0垂直的直线的

方程为（）

A.3x-y-5=0B.6x-2y-3=0

Cx・3y+3=0D.3x+y・7=0

答案A

解析由医学出:喉i:

设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x・y+加=0,则3X2-1+〃?=0,得m=-5,

所以所求直线方程为3叼，-5=0.

⑵（多选）（2024・九江模拟）已知两条平行直线（一十何十1=0,/2：田々/3=0.若直线I被人,,2截得

的线段长为2V2,则直线/的倾斜角可能是（）

A.150B.75°C.1050D.165°

答案AC

解析•・.直线/被心，2截得的线段长为2传

两平行直线的距离4-尸也-2,

心+（国）2

・•・直线/和人/2的夹角为45。,

又直线八，%的倾斜角为150。，

・••直线/的倾斜角可能是15。或105。.

■微拓展■--------------------------------------------------------------------------------------------

直线系方程

常见的直线系方程

⑴与直线/x+A”C=0（力，B不同时为0）平行的直线系方程为Ax+B\^C।=0（C\/Q.

（2）与直线Ax+By-^C=0（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为Bx-4尸。2=0.

⑶过直线八：小x+囱声G=0与松松+8/。2=0的交点的直线系方程为小AER,

但不包括直线h.

典例过两直线/i：x-3y+4=0和，2：2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为（）

A.3x-19y=0B.19x-3）=0

C.19x+3产0D.3x+19^0

答案D

解析设过两直线交点的直线系方程为

x-3y+4+A(2x+y+5)=0,

代入原点坐标，得4+52=0,解得』=尚，

故所求直线方程为x-3产4女2什产5)=0,即3x+19v=0.

题型三对称问题

例3已知直线/：2x・3yH=知点>(-1,・2).求:

(1)点力关于直线/的对称点4的坐标；

(2)直线m：3x-2y-6=0关于直线/对称的直线〃〃的方程;

⑶直线/关于点A的对称直线/的方程.

解⑴设，(.y),由已知条件得

—

x+13

x—1y—2

2x———3x^――+1=0,

22

'_33

二=丁所以，T，±).

解得

V13,

(2)在直线〃?上取一点，如加(2,0),则M(2,0)关于直线/的对称点M必在直线"上.

设对称点心仅，b),则

，呜，汾

设直线〃，与直线/的交点为。,

由修二机：口。(4,3).

又〃?经过点0(4,3),所以直线〃?的方程为白三，即9x-46rH02=0.

13-3-4

(3)方法一在/：2工・3尹1=0上任取两点，

如P(l,1),0(4,3),则P,。关于点力(-C-2)的对称点产,。均在直线/上,

易得P(・3,・5),。'(6・7),

所以坨勺方程为等V，即2x-»9=0.

―7+5-6+3

方法二因为/〃

所以设/的方程为203尸<=0(CW1).

因为点4-1,-2)到两直线/,/的距离相等,

所以由点到直线的距离公式，

彳日|-2+6+C|_|-2+6+1|彳曰_

1号&2+(_3歹/2+(_3)2,传。一九

所以:的方程为2x・3y-9=0.

思维升华对称问题的求解策略

(I)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.

跟踪训练3(1)直线3工-2产0关于点0)对称的直线方程为()

A.2x-3v=0B.3x-2v-2=0

Ci-产。D.2x-3y-2=0

答案B

解析方法一设所求直线上任一点为(X,刃，则其关于点G，0)对称的点为停-X，-y),

因为点(I一％，-y)在直线3x-2尸0上，

所以3(|-X)-2(-JO=0,

化简得3x-2y-2=Q,

所以所求直线方程为3x-2y-2=0.

方法二在直线3x-2y=0上任取两点0(0,0),

M(2,3),

设点。，"关于点0，0)的对称点分别为

则31，。)，“'(V，一3),

所以所求直线方程为然受肾，

即3x-2y-2=0.

(2)设直线/i：x-2y-2=0与，2关于直线/：2r-y-4=0对称，则直线，2的方程是()

A.11x4-2^-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y-11=0D.l0x+y-22=0

答案A

解析联立图WUU”仁治

取直线/i：x-2y-2=0上一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线/：2x-六4=0的对称点为(a,b),则

b+l__112

二，’1解得

2x1-4=0,bT

11n

直线a的斜率曰三=千，

-y-22

所以直线，2的方程为）=皆。・2）,

整理为1\x+2y-22=0.

课时精练

（分值：73分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.已知直线/i：x+（q-l）y-3=0与直线A：x+2y+3=0相互垂直，则。的值为（）

A.1B.lC.3D.-1

答案A

解析・・・/」3・•・IX1+5-1）-2=0,解得

2.“m=・3”是“直线2%+（用+1）尸'4=0与直线mx+3），・2=0平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由直线2x+（〃?+1»+4=0与直线mx+3y-2=0平行，得且加W0,解得机=2或切=-3,所以

m5一乙

“〃尸・3”是“直线2户（加+1»+4=0与直线〃zx+3y-2=0平行”的充分不必要条件.

3.直线3%-（什2）/丘5=0与直线质+（2h3）尹2=0相交，则k的取值范围是（）

A.{姆W1}

B.{琳W-9}

C.{碌#1且AW9}

D.{秘且％#-9}

答案D

解析由题意得3（2h3）-Q[«+2）]W0,

解得女HI且2-9.

4.（2025・绵阳模拟）已知力（-2,0）,3（4,⑼两点到直线/：叼升1=0的距离相等，则加等于（）

A.-2B.6

C.-2或4D.4或6

答案D

解析点4到直线/的距离为得言落苧，

点B到直线/的距离为爆鼻=等网，

因为点A到直线/的距离和点B到直线I的距离相等，

所以|5-加|=1,所以〃?=4或机=6.

5.（2024绍兴模拟）原点O到直线/：力--升1=0（2rR）的距离的最大值为（）

A企Q2好八4衣p./X

A.yB.—C.—D.V2

答案D

解析直线/：&+），」+1=0,可化为/：z（.r-1）+v+l=0,

入户-1=0,翻步产=L

寸y+1=0,解/y=-1,

所以直线/过定点P（l,-1）,

当OP_L/时，原点到直线/:Ax+y」+l=0QeR）的距离最大，最大值为。

6.过定点M（l，2）作两条相互垂直的直线八，/2,设原点到直线伍A的距离分别为力,则力+小的最大

值为（）

A.V5B.2V5C.V10D.y

答案C

解析如图所示，作OP_L4交人于点P,作。Q_L/2交于点。，

可得四边形OPM。为矩形，连接。

所以或+啰=|。W|2=12+22=5,

又由基本不等式可知，空wpp,

所以警嗡

即diMWJW当且仅当小=小野时，等号成立,

L

故力+办的最大值为VIS.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

7.（2024南平模拟）已知直线/i：4.v-3y-3=0,直线%（〃2+2*（加+1）>加=0（加£R）,则（）

A.当加=-1时，I山2

B.当刑=2时,h//12

C.当人〃/2时，八与/2之间的距离为1

D.直线人与/2不可能重合

答案BCD

解析当m=-1时，A：x-l=0,显然与/i不垂直，A不正确;

当用=2时，A：4x・3>2=0,因为所以/i〃3B正确;

当l\//h时,4/〃+4=3〃?+6且3mW-37%-3,解得m=2,此时h:4j-3y+2=0,h与h之间的距离为

,|2-(-3)|

=1,C正确;

V42+(-3)2

若两直线重合，则"：2__（亭）一】该方程无解，所以两直线不可能重合，D正确.

8.若三条不同的直线八：ax+y+2=0,h：x+y-l=0,/j：》->3=0不能围成一个三角形，则。的取值可能为

()

A.-1C.1D.4

答案ACD

解析若则°=1；

若lx//h,则-4=1,解得a=-l；

若八，h.A交于一点，联立方程组《?；；：士解得

代入axty+2=0,得-a+2+2=0,解得。=4,

综上，〃的取值集合为{4,1}.

9.（2024大原模拟）已知直线八：x+）=0,/2：2i3y・6=0,则下列说法正确的是（）

A.直线人与/2相交于点（，-1）

B.直线/2和x轴围成的三角形的面积为！

C.直线，2关于原点O对称的直线方程为2x-3y+6=0

D.直线/2关于直线/.对称的直线方程为3x-2产6=0

答案AC

解析由-6=0,解得［二:I所以交点坐标为G,-J所以A选项正确；

（y——

直线b：2x-3j，-6=0与x轴的交点为(3,0),与J，轴的交点为(0,-2),直线人过原点，由图可知，直线心h

和x轴围成的三角形的面积为;乂3乂累，所以B选项错误；

由上述分析可知，直线/2关于原点。对称的直线过点(-3,0),(0,2),所以直线4关于原点。对称的直线

方程为》2-0对3产0),即2%-3户'6=0,所以C选项正确；

点(3,0)关于直线x+y=0的对称点是(0,-3),点(0,-2)关于直线xt尸0的对称点是(2,0),所以直线关于

直线力对称的直线方程为沁=1,即3*2y6=0,所以D选项错误.

L—3

三、填空题(每小题5分，共15分)

10.经过点尸(1,0)和两直线八：x+2y-2=0,A：3x-2y+2=0交点的直线方程为.

答案x+y-\=0

解析设所求直线方程为"2)，-2+/(3m-2>2)=0,点/7(1,0)在直线上，

Al-2U(3+2)=0,解得

，所求直线方程为x+2y-2+|X(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.

11.己知两条平行直线分别过点4(6,2)和8(-3,-1),并且各自绕点4B旋转,平行线之间的距离最大时

两平行直线方程分别为.

答案3x+y・20=0和3x+y+10=0

解析两条平行直线分别过点力(6,2),13(-3,-1),并且各自绕点44旋转，

当直线44与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，

因为直线"的斜率AR端总

故这两条平行直线的斜率为-3,

则两平行直线方程分别为>,-2=-3(A-6),y+1=-3(x+3),

即3Tty-20=0和3卢yH0=0.

12.(2024・贵州模拟)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河这是唐代边塞诗人李顽的《古从军行》中的诗

句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军观望烽火之后，