人教版八年级数学：三角形的概念、三角形的边（解析版）

三角形的概念

〕按边分类

三边都不相等的三角形

三角形等腰三加豚底边和腰不相等的三角形

等边三角形

三角形的概念

情境导入►■一一——

小学时，我们接触过三角形,观察下列图片，你能找出其中的三角形吗?

知识归纳A---------------------------------------------------

【知识点1三角形的概念】

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.

2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边,相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点,相邻两边所组成

的角叫作三角形的内角,简称三角形的角,例如，在图中，线段AB,BC,CA是三角形的边;点A,B,C

是三角形的顶点；/A,ZB,4是三角形的角.

3.表示：顶点是A,B,。的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a,b,

c来表示：如图，顶点A所对的边8c用。表示，顶点8所对的边AC用。表示，顶点C所对的边AB用c

表示.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形

等膜

1.按边分类：三角彩底边和腰不相等的三胞三边都

等腰三角般三甫形

等边三角形不相等/等应

的三角

\三角以

形

剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形;

②三边都相等的三角形叫传等边三角形;

③等边三角形二鲤等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形;

④可以用画图的方式表示（如右图）

【题型1三角形的定义】

【例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（）

【分析】根据三角形的定义判断即可.

【解答】解.：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形.

故选:C.

【变式1-1］观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）

X

【分析】根据由不在同•条直线.上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可.

【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是Q，

故选：D.

【变式1・2】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（）

【分析】由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可.

【解答】解.：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念,

故选:C.

【变式1・3】如图，下列图形中是三角形的有（填序号）.

①②③

④⑤

【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线.上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.进

行判断即可.

【解答】解：①是三角形，

故答案为：Q).

【题型2三角形的基本元素】

【例2】如图，在△A8C中，。是8c边上一点，E是A。边上一点.

(1)以AB为边的三角形为；

(2)/8。七是4和4的内角；

[3)在△ACE中，NC4E的对边是.

【分析】利用三角形的定义、三角形的边、三角形的角的相关概念可得答案.

【解答】解：(1)以A8为边的三角形为：ACB、XABE,△AB。，

故答案为：△ACB,△48E,

(2)NBCE是△8CE和△DCE的内角，

故答案为：BCE；DCE；

13)在△人(:石中，/C4上的对边是CE,

故答案为：CE.

【变式2・1】如图,填空:

11)△ACO的三条边分别是；ZVIBC的三个内角分别是:

(2)在△OBC中，的对边是；是的公共边；乙B良X和a的

公共角.

(3)若ACLLBC,则图中的钝角三角形是.

【分析】(1)根据三角形的定义即可得出答案；

(2)根据三角形的定义即可得出答案；

13)根据钝角三角形的定义即可得出答案.

【解答】解：(1)△AC。的三条边分别是：AC,AD,CD；AABC的三个内角分别是N84C,ZABC,

ZACB,

故答案为：AC,AD,CD：ABAC.ZABC,NAC8；

（2）在△O8C中，/。的对边是：BC；OC是△AOC和△80C的公共边；N8是AABC和△O8C的公

共角，

故答案为：BC,BDC,ABC,DBC；

（3）V4C1BC,

・・・NACB=90°,

・・・NBCO为钝角，

•••△8C。为钝角三角形，

故答案为：4BCD.

【变式2・2]如图所示：

（1）图中共有个二角形，分别是；

[2）△CQE和△8CQ的公共角是—，公共边是；

（3）在△ABC和△BEC中，/ACB是边和的对角；

（4）BE是2和4的公共边.

【分析】（1）根据三角形的定义及表示方法，找到图中所有的三角形，从而找到三角形的总数;

〔2）根据公共角和公共边的定义，确定两个三角形的公共角和公共边；

[3）在△A8C中，N4CB是边AB的对角，在△BEC中，N4CB是边BE的对角；

〔4）根据公共边的定义，确定答案.

【解答】解：（I）图中共有5个三角形，分别是△回£：、ABEC、ADEC、△2（：、ABCD；

故答案为：5,ABE、ABEC、△OEC、△ABC、△8C。；

12）△COE和△3CO的公共角是NO,公共边是CO；

故答案为：ND,CD；

13）在△ABC和△8EC中，NAC8是边A8和8E的对角；

故答案为：AB,BE；

（4）4E是△48£和44。£的公共边.

故答案为：ABE,BCE.

【变式2・3】看图填空，如图.

（1）图中共有个三角形，它们分别是;

（：2）ABGE的三个顶点分别是,三条边分别是,三个角分别是

13）在尸中，顶点A所对的边是，边A尸所对的顶点是；

（4）4NCB是2的内角，NAC8的对边是.

A

【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形.

（2）组成三角形的线段叫做三用形的边.

[3）相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

（4）相邻两边组成的角叫做三比形的内角，简称三角形的角分别进行分析.

【解答】解：（1）如图中共有4个三角形，它们是2EBG、4AEF、△CGF,

故答案为：4；△A8C、△£3G、AAEF、ACGF：

12）△BGE的三个顶点分别是3、G、E,三条边分别是8£、EG、GB,三个角分别是NILNBEG、Z

BGE,

故答案为：B、G、E；BE、EG.GB；ZB./BEG、NBGE；

（：3）△AE77中，顶点4所对的边是EF；边A/所对的顶点是E,

故答案为：EF；&

14）NAC8是△AC8的内角，的对边是A8.

故答案为：ACB；AB.

【题型3三角形的计数问题】

【例3】图中共有三角形个.

A

【分析】观察图形先找出图中基本的三角形，△8。。，△A80,△AOE,再找出复合组成的三角形即可.

【解答】解：①△BOO,△ABO,ZUOE,共3个；

②△ABO,AADC,2个；

③△48E,△8CE,2个；

④△ABC,1个；

综上，图中共有共8个三角形.

故答案为：8.

【变式3・1】如图，直线/经过A,B,C,D,E五点，点。是直线/外一点，连接布,PB,PC,PD,PE,

则共有个三角形.

P

【分析】根据三角形的定义即可得到结论.

【解答】解：△雨£,APBE,APC£,4PDE,△抬B,AMC,AMD,APBC,APBD,△尸C。共10

个，

故答案为：10.

【变式3・2】如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形

的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形.若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，

连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③.在虚线框中画出图③，图③中共有个三角形.（写

出所有可能的值）

①②③

【分析】根据题意画出图形即可求解.

【解答】解：如图所示，共有两种情况：

①两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有7个三角形;

②两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9个三角形.

故答案为：7或9.

【变式3・3］如图，已知点4,8在直线〃上，点C,D,E在直线力上.以点A,B,C,D,E中的任意三

点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形.

CDE

【分析】不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段。上取一个点，线段〃上取两个点，这三

个点可组成一个三角形或线段。上取两个点，线段。上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可

得答案.

【解答】解：•・•不在问一直线上的三点可以组成一个三角形，

二可以组成的三角形有△ACO,△ACE,△AQE,/\BCD,ABCE,ABDE,△ABC,△ABO,AABE,

共9个三角形.

【题型4三角形的分类】

【例4】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（)

/等边

三边都三边都

形

不相等不相等

的三角的三角

形形角

都不

三边

都不

三边

的三

相等

的三

相等

等腰

角形

角形

三角形

/等外

三角烟

网

三角

D.

c.

三

等边

包括

形中

三角

等腰

其中

角形，

等腰三

角形和

等边三

为：不

可以分

等关系

边的相

角形按

】将三

【分析

.

解答

即可

，据此

角形

.

题意

符合

选项

即A

形，

边三角

包含等

角形中

等腰三

】解.：

【解答

A.

故选：

三

断该

分判

的部

露出

形卡片

据三角

请你根

书下，

压在了

卡片被

三角形

一个

上的

讲桌

老师

如图，

4-1］

【变式

）

（

状是

的形

角形

角形

角三

B.直

角形

边三

A.等