30.1.2　圆的切线（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1.2圆的切线（第2课时）教学目标教学目标1．了解切线长的概念，区分切线与切线长；探索并证明切线长定理，能够运用切线长定理进行线段相等证明、角度计算、周长相关计算．2．经历“画图→猜想→证明→归纳”探索切线长定理的完整过程，体会轴对称在圆中的应用；在定理应用中，学会识别切线长基本图形模型，培养几何识图能力、逻辑推理能力；3．养成严谨书写几何证明步骤、规范使用几何语言的学习习惯；通过小组合作探究，提升主动思考、交流表达的意识．教学重点教学重点切线长定理的探索、推导及应用．教学难点教学难点切线长定理的探索、推导及应用．教学教学准备2～3张半透明的纸．教学过程教学过程新知探究一、探究学习【问题】我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法，那如何过圆外一点作圆的切线呢？【分析】如图，P是⊙O外一点，要过点P作⊙O的切线．因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切，所以需要在⊙O上确定一点A，满足OA丄AP，即∠OAP=90°.由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径．因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点．【答案】方法：（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C；（2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与O相交于A，B两点；AB为切点；（3）作直线PA，PB，即所求作的切线．【新知】经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长．【设计意图】复习切线这个知识点的同时，引出切线长的概念．【思考】切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别呢？【师生活动】学生分组讨论，老师让3～4位同学回答这个问题，然后得出结论：（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量；（2）切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．【思考】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点O，P作直线OP．线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？【师生活动】学生拿出准备好的半透明纸，按照要求操作，小组讨论后初步得出结论：PA＝PB，∠APO＝∠BPO．教师展示动图，学生通过观看动图进一步验证结论．【问题】你会证明吗？【答案】证明：如图，连接OA和OB．∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又OA＝OB，OP＝OP．∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．【新知】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．几何语言：PA，PB分别切⊙O于点A，B【追问】（1）若连接两切点A，B，AB交OP于点M．你能得出什么新的结论?【答案】OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．∴△PAB是等腰三角形．PM为顶角的平分线，∴OP垂直平分AB．【追问】（2）若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?【答案】CA＝CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．又∵PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴AC＝BC．【归纳】在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形．（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆上一点．【设计意图】利用“思考”中的基本图形和动图，让学生独立探究切线长定理及其证明，并能解决有关圆的切线长的问题．【练习】PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C．（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中与∠OAC相等的角；（3）写出图中所有的全等三角形；（4）写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP；（2）∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC；（3）△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP；（4）△ABP，△AOB．【设计意图】应用切线长定理解决“练习”中的问题，让学生明确切线长定理体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．二、典例精讲【例题】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长．解：如图，连接OA．∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA．又∠APO=30°，∴∠APB=60°.∴△PAB是等腰三角形.∴AB=PA=PB．又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2，∴OA=1，PA=OP2-OA∴△PAB的周长为33．【设计意图】通过例题，让学生进一步理解切线长定理．课堂小结板书设计一、切线长二、切线长定理课后任务课后任务完成教材第154页练习第1～2题．教学反思教学反思_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________