浙江省温州市2025-2026学年上学期期中统考九年级数学试卷（含答案）

浙江省温州市2025-2026学年上学期期中统考九年级数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（）

A.水中捞月B.一箭双雕C.旭日东升D.夕阳西下

2.若二次函数y=2/的图象经过点P（l,n）,则n的值为（）

A.1B.孕C.2D.4

3.已知。O的半径是5,点P在。O外，则OP的长度可能是（）

A.3B.4C.5D.6

4.将二次函数y=-%2的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（）

A.y=-（x-4）24-3B.y--（x+4）2-3C.y=-（x4-4）24-3D.y=-（x-4）2-3

5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的

中心旋转角a后，能够与它本身重合，则角a的大小可以为（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

6.根据下表可知，方程%2+3%-1=0的一个解的范围为（）

X•••0.280.290.300.310.32

2

X+3%•••-0.0816-0.0459-0.010.02610.0264

-1

A.0.28vxv0.29B.0.29<x<0.30

C.0.30<x<0.31D.0.31<x<0.32

7.如图，点A,B,C在。O上，若NACB=40。，则.用的度数为（）

第1页

o

A.20°B.40°C.60°D.80°

8.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离S与时间〔的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P

是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）

A.小球滑行12秒停止B.小球滑行6秒停止

C.小球滑行6秒回到起点D.小球滑行12秒回到起点

2

9.已知二次函数y=ax+bx+c（a为常数,且a>0）的图象上有四点A（-l,yi）,B（3,yi）,C（2,y2）,D（

2,y3）,则%,y2,%的大小关系是（）

A.力〈为〈为B.y2<<y3c.当<丫1D.y3<yx<y2

10.如图，在正方形ABCD中，4/7=说.，O是BC的中点，E是正方形内一动点，0E=2,连结

DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90。得到DF,连结OF,则线段OF的长的最小值为（）

A.CU+2B.25/10-2C.2a3+2D.8

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，四边形ABCD内接于00,若NB=75。，则ND二'

12.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表:

累501002003005001000200030005000

第2页

计

抛

掷

次

数

盖

面

朝

2854106158264527105615872650

上

次

数

盖

面

朝

0.56000.54000.53000.5267().52800.52700.52800.52900.5300

上

频

率

随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（精确到0.01）.

13.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环

的排列，还需要个这样的正五边形.

14.已知二次函数y=a/+bx+c（aK0）和正比例函数y=-义工的图象如图所示，则方程ax24-

伍+外+c=0（a工0）的两根之和0（填或

15.如图，在。O中，直径AB_L弦CD,以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E,连结CE并延长

第3页

交。O于点F,连结DF.若AB=8,则DF的长为

16.已知抛物线y=a/-bx+b-Q（QVO）,当-5WxWO时，y的取值范围是0WyW6.若将该抛物线向右平移

6个单位后经过点（1,0）,则b的值是.

三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知二次函数丁=一/+以+4：经过点庆（3,0）与B（0,3）,

（1）求b,c的值.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

18.某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动.活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》

（A）、《周髀算经》（B）、《孙子算经》（C）、《海岛算经》（D）在屏幕上循环闪现.参与者小亮和小华需各自随机点

击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节.

海

岛

算

^

ABC

（1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能?（用列表法或树状图分析）

（2）求小亮和小华选到同一本书的概率.

19.在（6x6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点.△4BC的顶点都在格点上，圆经过△ABC的顶点,

只用直尺完成以下作图.

⑴画出圆的圆心O.

⑵在圆上找一点D,使BD平分NABC.

20.若二次函数y=x2-2x—3的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）.

（1）求A,B两点的坐标.

（2）若M（m,n）是抛物线上--点，且（0工m工4,求n的取值范围.

第4页

21.如图，矩形ABCD内接于。O,E是AB上一动点，连结AE,若AB=8,AD=6.

（2）若AE=5>f2,求薪的长.

22.【背景材料】

在微项目实践课上，探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关

性质进行研究.

把“T”形尺按如图方式摆放，水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得BC为m厘米时，CD为

n厘米.

【建立模型】

（1）探究小组先对y=/的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表:

m011.522.53

n012.2546.259

猜想：n与m的关系式是.

（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行J'测帚研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针

对二次函数y=a（x-h）2+k（a）0）的情况进行了推理验证.请从F表中任选一种方法（在内打补全其

推理过程.（根据需要，选用字母a,m,n,h,k表示答案）

□方法1□方法2

yy-a(x—A),+k

j浮婿

D(A,*)

用一0X

o\x

如图，顶点D的横坐标加m个单位，纵坐

如图，将二次函数图象平移，使顶点D移

标加n个单位得到点B的坐标，所以点B

到原点0的位置，则2CB1=A'B'=AB=

的坐标为▲;

第5页

2

2m,CO=CD=n.将点B的坐标代入.y=Q(X-h)4-k,

所以点B,的坐标为▲；得到n与n的关系式是▲.

将点B，的坐标代入y=Q/.

得到n与m的关系式是▲.

(3)【应用模型】

二次函数y=Q(x-九)2+d图象的顶点为C,且经过A,B两点.若轴，AB=6,△ABC为等边三

角形，求a的值.

23.已知关于x的二次函数y=-mx2+4mx+m+4(m)0).

(1)当m=l时.

①求该函数的表达式.

②当08当时，该函数y的最大值与最小值的差是3,求n的值.

(2)若A(t,yi)和B(3,y2)是抛物线.y=-m/+4mx+m+4(m)0)上的两个点，且求(的

取值范围.

24.如图，在。O中，直径(。0固48于点M,连结CB,以CB为边作菱形CBFE(点F在线段AB上，与

A不重合)，EF交。O于点G,连结CG并延长，与射线BA交于点H.

(I)连结GB,求证：LCBG=Z-H.

(2)若CB=2底,0M=1,,求。0半径r的长.

(3)若CHEEF,求煞的值.

第6页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、不可能事件

B、随机事件

C、必然事件

D、必然事件

故答案为：A.

【分析】一定条件下一定不会性的事件叫不可能事件，一定条件下一定会发生的事件叫必然事件，不可能事

件和必然事件统称确定事件；一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•••P(1㈤在抛物线y=2/上

n=2xI2=2

故答案为：C.

【分析】二次函数图象上点的坐标特征，即抛物线上的点的坐标满足二次函数解析式.

3.【答案】D

【解析】【解答】解:

•.•点P在外

•••0P>5

故答案为：D.

【分析】设。。的半径为r,点P是平面.上一点，且OP=d,当d>r时，点P在。。外；当d=r时•，点P在O

。上；当d<r时，点P在。。内.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为：y=-(x-4)2+3

故答案为：A.

【分析】二次函数图象的平移规律：左加右减、上加下减.

5.【答案】B

【解析】【解.答】解：360°4-3=120°,

图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角a后，能够与它本身重合，则角a的大小可以为120。.

第7页

故答案为：B.

【分析】先求出正二角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：二•当x=0.30时，y<Ox当x=0.31时，y>0

•••方程/+3x-1=0的一个解的范围为0.30<x<0.31

故答案为：C.

【分析】观察表格知，方程/+3%-1=0的一个解介于0.30和().31之间.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：：乙ACB=40c

:./-AOB=2/-ACB=80。

...蔡的度数为80。

故答案为：D.

【分析】求京的度数，实质是求薪所对的圆心角的度数，直接应用圆周角定理即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：根据滑行的距离s与时间t的函数关系可得：当〔=6秒时，滑行距离最大，即此时小球

停止.

故答案为：B.

【分析】由图象可得：当t=6s时，滑行的距离最长，此时小球停止，据此解答.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•・,A(—1,%)、B(3,yJ都在抛物线y=a/+bx+c上

b-1+3

•■•x=-2^=~2-=1

|2-1|<|3-1|<1-2-11

a>0

X3>yi>yz

故答案为：B.

【分析】若抛物线上两点的纵坐标相同，则这两个点关于对称轴对称；当抛物线的二次项系数为正时，抛物

线上的点距离对称轴越远则对应的函数值越大.

10.【答案】D

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【解析】【解答】解：如图所示，连接0D,将线段0D绕点D逆时针旋转90。得到DP,连结OP、PF.

由旋转知，Z.EDF=AODP=90°.ED=FD、OD=PD

：•Z.ODE=乙PDF

ODE=△PDF

PF=OE=2

•.•正方形ABCD中，DC=BC=AB=2同、且O是BC的中点

.•.oc=/c=g

乙

22

OD=JCD+OC=5V2,OP=、/+/。2=10

/.OF>OP-PF=10-2=8

故答案为：D.

【分析】连接OD,并将线段OD绕点D逆时针旋转90。得到DP,连结OP、PF,则由旋转全等模型可得4

ODE2PDF,则PF=OE=2,再由三角形三边关系定理可得。FiOP-P",此时再根据正方形的性质结合

勾股定理依次求得OD、OP即可.

11.【答案】105

【解析】【解答】解：•.・四边形ABCD内接于。0

:•乙D=180°一乙B=180°-75°=105°

故答案为：105.

【分析】圆内接四边形对角互补.

12.【答案】053

【解析】【解答】解:0.53

故答案为：0.53.

第9页

【分析】大量重复试验的概率逐渐稳定在频率附近.

13.【答案】7

【解析】【解答】解：如图所示，延长CB交EA的延长线于点Q

•••五边形ABCDE是正五边形

x180°

:.Z-EAB-=乙ABC=-------108°

5~

•••Z.OAB=Z-OBA=180°--108°=72°

•••Z.AOB=180°-/-OAB--LOBA=36°

360°

=10

..36°

・•・10-3=7

故答案为：7.

【分析】先计算出一个正五边形在圆上截得的弧的度数，即圆心角为36度，则完成这一个圆环的排列需要

10个正五边形.

14.【答案】<

【解析】【解答】解:

,抛物线y=ax2+bx+c(a*0)的开口向上，对称轴在y轴左侧

b

a>0>—2-a<0

,•・抛物线y=ax2+bx+C(Q00)和直线y=一之无有两个交点

••・关于的一元二次方程有两个不相等的实数根不、

Xa/+G+c=0x2

b+2b1

•…+”2=-壬-=-而-而<。

故答案为：<.

第10页

【分析】先由抛物线的图象知Q>0、一&<°，再由抛物线与直线有两个交点知关于X的一元二次方程

ax2+[b+^x+c=0有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系得勺+型<0.

15.【答案】4V3

【解析】【解答】解：过点D作直径DG,连接DE,GF,

•・•，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E,

ACD=CE,

•・•直径ABJL弦CD,

AAB垂直平分CD,

ACE=DE=CD,

/.△CDE是等边三角形，

.-.ZC=60°,

cr\

•DF=DFr

AZG=ZC=60o,

VDG是直径，

・•・ZDFG=90°,

.•・ZGDF=90°-60°=30°,

--.FG=1DG=1X8=4,

乙乙

・•・DF=\/DG2-FG2=V82-42=4V3.

故答案为：4A/3

【分析】过点D作直径DG,连接DE,GF,利用作图可知CD二CE,利用垂径定理可证得AB垂直平分

CD,利用垂直平分线的性质可中的CD=DE=CE,可推出ACDE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得

至l」NC=60。；再利用圆周角定理可求出NG的度数，同时可证得NDFG=90。，利用直角三角形的两锐角互

余，可求出NGDF的度数，利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求出FG的长，利用勾股定理求出

DF的长.

16.【答案】

第11页

【解析】【解答】解：把抛物线y=a/—bx+b—a向右平移6个单位长度得新的抛物线解析式为:

y.]=a(x—6)2—b(x—6)4-6—a

•••(1,0)在抛物线为=a(x-6)2-b(x-6)+b-a上

••・25a+5b+b-a=0

•••b=-4a

y=ax2+4ax-5a=a(x+2)2—9a

a<0且抛物线y=ax2-bx-Vb-Q的对称轴为直线x=—2

••.当x=-2时y有最大值一9a

v|-5-(-2)|>|0-(-2)|

X<4-9cz=0,6

2

-

Q--3

28

b--X=

-33-

故答案为：!.

【分析】先利用二次函数的平移变换得出平移后的抛物线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可得a、b

的数量关系，即b=-4a,从而可化原抛物线解析式为顶点式，则可得原抛物线的对称轴为直线％=-2,又

因为原二次函数的二次项系数为负，则该函数有最大值-9a,因此在-54x40区间内的最大函数值即这个

二次函数的最大值，故一9a=6,再求出a的值，则b的值可得.

17.【答案】(1)解：由题意得：卜3?+劝+c=0,

c=3,

解得：b=2,c=3；

⑵解:由⑴得y=-x2+2x+3=—(x-l)2+4,则顶点为(1,4).

【解析】【分析】(I)将A和B两点代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解即可得出b、c的

值；

(2)将(1)所求的二次函数的解析式配成定点式，即可求得.

18•【答案】(1)解：用树状图分析如下：

小亮ABCD

小华於DIDID出D

所以共有16种可能的结果，

即AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD.

第12页

(2)解：小亮和小华选到同一本书的概率是!

【解析】【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角

线栏目上是否填写数据.

【解析】【分析】

(1)分别取格点C、E、F、G,则CE垂直平分AB、FG垂直平分AC,则直线直线CE与FG的交点O即

为所求作；

(2)设直线交圆O于点D,则由垂径定理知再由圆周角定理得44B0=乙。8。，即点D为所求

作.

20.【答案】(1)解：令y=0,则、=%2-2%一3二0

X]=3,%2=-1

.-.71(-1,0).8(3,0)

(2)解：Vy=X2-2%-3=(x-I)2-4

••・二次函数有最小值，即当x=l时y=-4；且当x>l时y随x的增大而增大，当xvl时y随x的增大而减小

v|4-1|>|0-1|

二m=4时，n有最大值，最大值为[4一1)2—4=5

二当0<m<4时，-44几45.

【解析】【分析】

(1)求抛物线与x轴的交点坐标，可令y=0,冉解关于x的一兀二次方程即可；

(2)先把抛物线解析式化为顶点式，由于二次项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值即顶点的纵

第13页

坐标值，且在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，同时抛物线上的点

距离对称轴越远对应的函数值越大.

21.【答案】(1)解：连结AC.

.-.ZABC=90°,

AC是。O的直径.

,:AB=8,AD=BC=6,

AC=10,

•••00的半径0A的长是5.

(2)解:连结OE.由⑴得OA=OE=5,又AE=572,

所以NAOE=90。，

所以忿=等群=|兀

【解析】【分析】

(1)连接AC,由矩形的性质知BC=AD、乙48。=90。，则由圆周角定理的推论知AC为直径，则由勾股

定理求出AC即可；

(2)连接OE,则由勾股定理的逆定理可得△AOE是直角三角形且乙4。2?=90。，再利用弧长公式计算即可.

22.【答案】(1)n=m2

(2)解：选择方法一，

0(/i,k)

:.B(h+7n,k+n)

0(0,0)

:.B'(m,ri)

•••n=am2

(3)解：•••抛物线丫=晨％-八)2+4先向左平移八个单位长度，再向下平移k个单位长度可得抛物线丫=

ax2

••・抛物线y=Q/的顶点坐标为(0,0)

•••481|工轴，AB=6

••.B点的横坐标为3

第14页

.•.当。〉0时•，如图所示：过点B作x轴的垂线段BC.

.:AABC为等边三角形

Z.BOC=60。、LOBC=30°

1

•••OC=508=3

•••BC=,082_"2=373

:.8（3,3百）

3V3=ax32»解得：Q=卓.

当a<0时，如图所示，

同理，得Q=—浮

综上所述,Q=±孚

【解析】【解答】

(1)解：m=1时，n=1=I2；m=1.5时，n=2.25=1.52；m=2时，n=4=22；...

.•.n=m2：

【分析】

(1)观察表格数据得：n=nR

(2)由于点的坐标平移规律得。(儿外、B(h+m,k+n),则再利用抛物线上点的坐标规律得九=

am2；

(3)由(2)知可利用平移的方法使原抛物线的顶点C与原点重合，则平移后的抛物线的解析式为丫=

第15页

ax2,即其顶点坐标为(0,0),再设点A在点B的右侧，因为AB平行x轴，且AB=6,则由二次函数的对称

性如B点的横坐标为3,则当a>0时，点B在第一象限，反之，点B在第四象限，此时可过点B作x轴的

垂线段BC,则4OBC=30。，所以OC=3,再利用勾股定理可得8C=3百，即点B的坐标为(3,3遍)或

(3,-373),再利用待定系数法求出a的值即可.

23.【答案】⑴解:①当m=l时,y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9.

②当x=O时,y=5：当x=2时，y=9,因为9-5=4>3,所以n<2.

令y=5+3=8,则一/+轨+5=8,所以x=l或3,因为n<2,所以n=l.

(2)解：•••y=-mx2+4mx+m+4=-m(x-2)2+5m+4,且机>0

抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线开口向下

•••y1>y2

*'•|t-21<|3-2|

•••1<t<3.

【解析】【分析】

(1)@直接代入m的值计算即可；

②化抛物线解析式为顶点式，可得对称轴为直线x=2,由于二次项系数为负，则对于任意实数x,二次函数

都有最大值9,且当x<2时y随x的增大而增大，当x>2时y随x的增大而减小，因为当x=0时y=5,则由

题意知n<2,且当x=n时，一(九一2/+9=5+3,解得n=l；

(2)化二次函数的解析式为顶点式可得y=-m(x-2/+5m+4,因为m>0,所以抛物线开口向下，则

抛物线上的点距离对称轴越远则对应的函数值越小，即|£-2|<|3-2|,解得1VCV3.

24•【答案】(1)证明：如图所示，连接DG.

•••CD是O。的直径

•••乙CGD=90°,即4DCG+=90°

•••CD1AB

...乙CMH=90°,即/OCG+=90°

/D=/H

Z.CBG=Z-D

第16页

乙CBG=乙H

(2)解：如图2,连结OB,则OC=OB=r、CM=r+l.

•.CDIAB

:.CB2-CM2=OB2-OM2

222

・•・(2g『-(1+r)=r-l,解得n=-6(舍去)，r2=5,

所以。O半径r的长是5.

(3)解：如图所示，连结BG、EH,设BC=a、BM=b.

•:乙CBG=乙H、Z,BCG=(HCB

CBG〜△CHB

CG__CB_

：'CB=CH

CB2=CG-CH

•.•四边形CBFE是菱形

•••EF=CB=FB=CE=a

2

CE=CG-CHt即器=器

•••乙ECG=/,HCE