河北省承德市部分高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

河北省承德市部分高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集,集合,,则(

)A. B. C. D.2．设,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知复数,则z的共轭复数(

)A. B. C. D.4．2026年5月13日,某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机,其生成的光子样本分为两类:4个高斯分布样本和3个均匀分布样本.从中抽取2个样本,则抽取的样本中,两类样本都有的抽法有(

)A.7种 B.12种 C.21种 D.42种5．某同学收集了某地区近5年的年降雨量x（单位:mm）与年蒸发量y（单位:mm）的数据,计算得样本中心点为.若y与x的经验回归方程为,则a的值为(

)A.40 B. C.60 D.6．二项式的展开式中的系数为(

)A. B. C.60 D.1607．2026年5月25日,国外某科技公司发布数学智能体,一次性破解9道悬而未决的Erdös数学难题.已知该智能体解答某难度数学题的正确率为p,随机变量X表示它解答n道该难度数学题的正确数.若,,则(

)A.6 B.8 C.10 D.128．定义:若存在实数s,使得函数和满足且同时成立,则称和互为“亲密函数”,s称为它们的“亲密点”.已知,,若存在实数b使得和有且仅有一个亲密点,则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知,,且,则下列结论正确的有(

)A.的最大值是 B.的最小值是10C.的取值范围是 D.10．实验室测试发现,某款手机的应用启动时间t（单位:ms）与系统资源占用率x（单位:%,）近似满足函数关系.下列关于函数的说法,正确的有(

)A.函数在区间上有2个极值点B.函数在区间上单调递增C.函数的图象与直线有3个不同的交点D.直线与函数的图象相切11．现有6名选手参加赛前培训,则下列说法正确的有(

)A.将6名选手平均分成3个小组,有15种不同的分法B.将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训,有90种不同的分法C.将6名选手分成3个小组,一组1人、一组2人、一组3人,有60种不同的分法D.将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训,一组1人、一组2人、一组3人,且选手甲不单独成组,有240种不同的分法三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．变量y与x满足非线性关系,通过对数据做取自然对数处理后,得到经验回归方程（其中）,则当时,y的预测值为______.13．若关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是______.14．已知定义在R上的奇函数满足,且当时,,则区间上满足的所有整数x的和为______.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数,满足,当时,.（1）求实数a,b的值;（2）求函数的解析式;（3）若,求实数m的取值范围.16．（15分）已知函数,.（1）讨论函数的单调性;（2）若,求函数在区间上的最大值.17．（15分）为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果,某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查,得到如下列联表:护眼灯预防效果合计近视加深近视未加深使用1288100未使用2872100合计40160200（1）根据小概率值的独立性检验,分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深;（2）从使用护眼灯的100名学生中,按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人,再从这10人中随机抽取3人进行视力复查,求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率.附:,.0.050.010.0013.8416.63510.82818．（17分）某商场举行抽奖活动,规则如下:顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球,若抽到的2个球都是红球,则获得一等奖,奖金100元;若抽到的2个球是1个红球和1个白球,则获得二等奖,奖金50元;若抽到的2个球都是白球,则不获奖.（1）求顾客抽奖1次获得一等奖的概率;（2）若有3名顾客各抽奖1次,设这3名顾客获得的奖金总额为元,求的分布列和数学期望;（3）商场为了控制成本,决定调整奖金规则:将一等奖奖金调整为元,二等奖奖金调整为元,且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元,同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍,求的最大值.19．（17分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）证明:当时,恒成立;（3）证明:.参考答案1．答案：B解析：因为的解集为,因此集合,所以.因为的解集为因此集合,所以.2．答案：A解析：因为,所以,故充分性成立;当,时,不等式成立,但,故必要性不成立.综上,“”是“”的充分不必要条件.3．答案：B解析：因为,所以.4．答案：B解析：从4个高斯分布样本中抽取1个样本,有4种抽法;从3个均匀分布样本中抽取1个样本,有3种抽法,由分步乘法计数原理,得符合题意的抽法有种.5．答案：A解析：经验回归直线必过样本中心点,即,解得.6．答案：C解析：二项式的展开式的通项为:,.令,解得,所以的系数为.7．答案：B解析：由题意,得,则,,所以,解得.所以.8．答案：B解析：由题意得,亲密点s需同时满足和.因为,,,所以,.由题意,得,所以,所以.代入,得,即,所以.对于每个,存在唯一的使得和恰好有一个亲密点,因此实数a的取值范围是.9．答案：ACD解析：因为,,且,所以由基本不等式,得,当且仅当时,等号成立,所以的最大值是,故A正确;因为,,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值是8,故B错误;因为,,所以,所以,即的取值范围是,故C正确;,令,则.函数在上单调递减,所以在上的最小值为.所以,当且仅当时,等号成立,故D正确.10．答案：ABD解析：因为,,所以.当或时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以函数在和处取得极值.对于A,由以上分析,得函数在区间上有2个极值点,故A正确;对于B,由以上分析,得函数在区间上单调递增,故B正确;对于C,函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数.方程可化为,方程只有2个不同的实数根和,所以函数的图象与直线只有2个交点,故C错误;对于D,因为,,,所以曲线在点处的切线方程为,即.所以直线与函数的图象相切,故D正确.11．答案：ABC解析：对于选项A:将6名选手平均分成3个小组,不同的分法有种,故选项A正确;对于选项B:先为第一项培训选人,从6人中选2人,有种选法;再为第二项培训选人,从剩下的4人中选2人,有种选法;最后为第三项培训选人,从剩下的2人中选2人,有种选法.由分步乘法计数原理,得不同的分法有种,故选项B正确;对于选项C:将6名选手分成人数分别为1,2,3的3组,不同的分法有种,故选项C正确;对于选项D:因为选手甲不单独成组,所以选手甲在2人组或3人组.先安排1人组,有种选法,再安排2人组和3人组,有种选法,不同的分法有种;将3组人分配到三项不同的培训,有种不同的分配方法.故符合题意的不同分法有种,故选项D错误.12．答案：解析：据题意,将取自然对数得,与给定的经验回归方程对比,得,,所以.因此原回归方程为.当时,.13．答案：解析：因为不等式的解集为空集,所以对任意实数x,恒成立.当时,原不等式化为,不等式不成立,所以原不等式的解集为空集,符合条件.当时,结合二次函数的性质,得抛物线开口向上,与x轴最多有1个公共点,所以,且判别式,解得.综上,实数a的取值范围是.14．答案：7解析：因为函数是奇函数且满足,所以,故,因此函数的周期为4.当时,,所以,,所以,.所以对于区间上的整数,逐一计算,并判断是否满足.当时,,不满足;当时,,满足;当时,,满足;当时,,满足;当时,,不满足;当时,,满足;当时,,满足.综上,满足条件的整数为,0,1,3,4,其和为7.15．答案：（1）,（2）（3）解析：（1）由题意得,解得,.（2）由（1）可知,当时,.当时,,所以.因为是定义在上的奇函数,所以当时,.所以（3）因为当时,,反比例函数在上单调递增,所以函数在上单调递增.因为是定义在上的奇函数,所以在上单调递增.由题意,得不等式即,所以.解得,即实数m的取值范围是.16．答案：（1）当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;当时,函数在R上单调递增;当时,函数在和上单调递增,在上单调递减.（2）当时,最大值为;当时,最大值为2解析：（1）因为,所以,令,解得或,当时,恒成立,所以函数在R上单调递增;当时,,所以当或时,,当时,,所以函数在和上单调递增,在上单调递减;当时,,所以当或时,,当时,,所以函数在和上单调递增,在上单调递减;综上,当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;当时,函数在R上单调递增;当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;（2）由（1）可知,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,当时,,所以函数在上单调递减,所以函数在区间上的最大值为;当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在区间上的最大值为和中的较大者,因为,,解,得,解,得,所以当时,函数在区间上的最大值为;当时,函数在区间上的最大值为;综上,当时,函数在区间上的最大值为;当时,函数在区间上的最大值为2.17．答案：（1）使用该新型护眼灯会预防近视加深（2）解析：（1）零假设为:使用该新型护眼灯与预防近视加深无关联.由列联表中的数据,计算得.根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即使用该新型护眼灯会预防近视加深,此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）使用护眼灯的100名学生中,近视加深的有12人,近视未加深的有88人.按比例分配的分层随机抽样抽取10人,抽取比例为,故抽取的近视加深的人数为,根据实际四舍五入取整数1,近视未加深的人数为9.从这10人中随机抽取3人,记这3人中近视加深的人数为,则的可能取值为0和1.因为,事件:抽取的3人中至少有1人近视加深即事件,所以所求概率为.18．答案：（1）（2）Y的分布列如下表.Y050100150200250300P（3）解析：（1）盒子中共有5个球,3红2白,不放回地依次抽取2个球.由活动规则知,抽奖1次,获得一等奖即抽到2个红球,其概率.（2）由（1）知,抽奖1次获得一等奖的概率为.由活动规则知,抽奖1次,获得二等奖即抽到1个红球1个白球,其概率.不获奖即抽到2个白球,其概率.则每名顾客抽奖1次获得的奖金金额元的分布列如下表.X050100P所以X的数学期望.由题意知,3名顾客抽奖相互独立.设3名顾客获得的奖金分别为,,,则由题意得,总奖金,则的可能取值为0,50,100,150,200,250,300.当,即3名顾客获得的奖金均为0元,所以.当,即3名顾客中,1人获得的奖金为50元,其余2人获得的奖金均为0元,所以.当,即3名顾客中,1人获得的奖金为100元,其余2人获得的奖金均为0元或2人获得的奖金为50元,其余1人获得的奖金为0元,所以.当,即3名顾客中,1人获得的奖金为100元,1人获得的奖金为50元,1人获得的奖金为0元或3人获得的奖金均为50元,所以.当,即3名顾客中,1人获得的奖金为100元,其余2人获得的奖金均为50元或2人获得的奖金均为100元,其余1人获得的奖金为0元,所以.当,即3名顾客中,2人获得的奖金均为100元,其余1人获得的奖金为50元,所以.当,即3名顾客获得的奖金均为100元,所以.所以Y的分布列如下表.Y050100150200250300P所以Y的数学期望（或）.（3）由题意及（2）,得调整后,顾客抽奖1次获得的奖金期望为.由题意,得,,,,化简,得,,,.所以的最大值为.当时,令,则.解,得.取,则,,满足m,n均为正数,故的最大值为.19．答案：（1）（2）见解析（3）见解析解