湖南省衡东市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

湖南衡阳市衡东县第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．设，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（

）A． B．0 C． D．84．已知，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数1的是（

）A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为3，众数为5C．平均数为4，方差为1.2 D．中位数为4，方差为1.66．已知中，，点D在边BC上且，，的面积分别是，，若为定值，当取得最小值时，的值为（

）A．2m B． C．2 D．7．已知实数满足，则的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．8．已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（

）A．2 B．3 C． D．10．已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数C．的极小值为 D．在上单调递增11．在棱长为2的正方体中，点在底面ABCD内（含边界），为棱的中点，下列说法正确的是（

）A．满足平面的点的轨迹长度为B．若点在棱AB上运动，则点到直线的距离的最小值为C．若平面，则点是AC上靠近点的四等分点D．的最小值为三、填空题12．已知角的终边经过点，，则______.13．已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________．14．已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________.四、解答题15．如图，在三棱柱中，为等边三角形，，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值．16．已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．(1)求的标准方程；(2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．17．已知分别为三个内角的对边，，．(1)求角的值；(2)如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为．（i）求的值；（ii）求的取值范围．18．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．19．若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”．(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围．参考答案1．D2．C3．C4．A5．C6．D7．A8．D9．AD10．BD11．ACD12．13．3014．15．(1)不妨设，取的中点为，则，，，同理，,平面，则平面，平面，四边形为正方形，，且，，易求得，在中，由勾股定理可得，故与，而，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，过作的平行线，由（1）知：，，两两垂直，以为原点，、、分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，，得，，，，设平面的法向量为，由，，有取，，，有，又，故所求线面角的正弦值为．16．（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以，将代入椭圆方程，得，即，解得，即，由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示，则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论：①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，则当时，，当时，，由于，所以，则，，此时；②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，当时，，当时，，由于，所以，则，，此时.综上所述，的值为.17．（1）由正弦定理可得：，在中，，所以，得，因为在中，，所以，得，所以，因为，所以；（2）（i）因为，所以，最后结合，即可确定因为，所以，又，所以，由，得或，由图可知：，所以，故；（ii）由，得，所以，设，其中，则，，在中，由正弦定理可得，因为，则，所以．18．（1）1；（2）证明：设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.19．（1）函数不是“旋转函数”，理由如下：的斜率为，倾斜角为，逆时针旋转后与轴重合，当时，有无数个与之对应，不满足函数定义，因此函数不是“旋转函数”.（2）由题意可知，函数与函数最多有1个交点，且，所以最多有一个根，即最多有一个根，即函数与函数最多有1个交点，所以函数在上单调，因为，所以，若恒成立，则恒成立，则，因为，所以，矛盾，所以