湖南省怀化市2026-2027学年高三（上）开学数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省怀化市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1i的模长为(

)A.−1 B.1 C.2 D.2.在等差数列{an}中，a1=2，aA.1 B.2 C.3 D.43.已知集合A={e0,22}，A.{1) B.{0} C.{1,4} D.⌀4.已知sinα=35，α∈(π2,π)A.35 B.45 C.−45.在(2x2−1A.−1 B.−2 C.2 D.16.已知抛物线y=x2上两点A(a,a2)，B(b,A.−14 B.−12 C.7.《九章算术》记载的“圆困”是圆柱形粮仓.现用总长L米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面(不计上下底)，已知圆柱侧面积S=2πrh，侧面用料长度满足2πr+2h=L(其中2h为两条母线的长度和，r为底面半径，h为高，单位均为米).若要使圆柱侧面积S最大，则其高与底面半径之比h：r的值为(

)A.1：1 B.π：1 C.1：π D.2：18.定义在R上的“关联二次函数”f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且f(1)=1，则f(10)−f(9)+f(8)−…−f(1)=(

)A.49 B.64 C.55 D.66二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sin(2x−π6)，则A.f(x)的最小正周期为1

B.f(x)的最小值为−2

C.f(x)的图象关于直线x=−π3对称

D.f(x)的单调递增区间为[kπ−10.已知a=log23，b=log34A.abc=log25 B.a<1.5 C.a>b>c11.已知正四面体ABCD的棱长为2，点P在棱AB上(不含端点)，过点P且平行于AC和BD的平面α截四面体所得截面为四边形.则(

)A.截面四边形面积的最大值为1

B.三棱锥P−BCD的体积的最大值为223

C.三棱锥P−BCD的外接球半径的最小值为233

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4)，若P(|X|≤1)=0.3413，则P(1≤X≤3)=

．13.双曲线x2m+3+y2m+714.已知两单位向量m,n满足：对任意的x∈R，有|m+xn|≥|m−12n|恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A的值；

(2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D，AD=1，求16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥PB，O是AD的中点．

(1)证明：OB⊥平面PAD；

(2)若AB=4，求点O到平面PBC的距离．17.(本小题15分)

某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论”“实验操作”和“综合应用”.已知某选手通过三个环节的概率分别为45,35和12，且各环节之间相互独立.每个环节通过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加.记X为该选手的总得分．

(1)求该选手恰好通过两个环节的概率；

(2)求随机变量X的分布列；

(3)学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200元，总分0分不获奖学金.记该学生获得的奖学金金额为Y元，求Y的数学期望18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，且经过点(3,1)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A，B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k219.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex−a(x+lnx)，其中a∈R．

(1)讨论函数f(x)的零点个数；

(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：对任意正整数n，都有k=11.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】0.3413

13.【答案】(0,±2)

14.【答案】[15.【答案】π3

216.【答案】证明：连接PO，BD，

因为△PAD是等边三角形，可得PO⊥AD，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥PB，

PO∩PB=P，且PO，PB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，

而OB⊂平面POB，所以AD⊥OB，

平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊂平面ABCD，

所以OB⊥平面PAD

6

17.【答案】解：(1)某选手通过三个环节的概率分别为45,35和12，

设事件Ai表示“第i个环节通过”(i=1,2,3)，

则P(A1)=45，P(A2)=35，P(A3)=12，且A1，A2，A3相互独立．

“恰好通过两个环节”包含三种互斥情况：

通过第1，2个，未通过第3个：P1=P(A1)P(A2)P(A3−)=45⋅35⋅12=625．

通过第1，3个，未通过第2个：P2=P(A1)P(A2−)P(A3)=45⋅25⋅12=425．

通过第2，3个，未通过第1个：P3=P(A1−X0102030P113236(3)由题意，奖学金Y与总分X的关系如下：

当X=30或X=20时(总分≥20)，获得一等奖学金500元；

当X=10时，获得二等奖学金200元；

当X=0时，获得0元．

因此，随机变量Y的取值为0，200，500，

对应概率为：

P(Y=500)=P(X=20)+P(X=30)=2350+625=3550=710；Y0200500P1137E(Y)=0×125+200×1350+500×18.【答案】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，且经过点(3,1)，

由离心率e=ca=63，得c2a2=23，

又c2=a2−b2，所以a2−b2=23a2⇒b2=13a2，

椭圆过点(3,1)，代入椭圆方程得3a2+1b2=1，

将b2=13a2代入得3a2+3a2=1⇒a2=6，从而b2=2，

故椭圆C的标准方程为x26+y22=1；

证明：(2)设A，B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，

P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，

设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，设P(x,y)，其中x≠±x0，

依题意：k1=y−y0x−x0，k2=y+y0x+x0，

k1k2=(y−y0)(y+y0)(x−x0)(x+x0)=y2−y02x2−19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

将函数变形得f(x)=elnx+x−a(x+lnx)，

令t(x)=x+lnx，由于t′(x)=1+1x>0，

故t(x)在(0,+∞)上单调递增，其值域为R，

于是原函数零点个数等于关于t的函数g(t)=et−at在R上的零点个数，

则g′(t)=et−a，

①当a≤0时，g′(t)>0，g(t)在R上单调递增，

若a=0，则g(t)=et>0，无零点；

若a<0，取t1=1a，则g(t1)=e1a−1<1−1=0，

取t2=0，则g(0)=1>0，

由零点存在定理，g(t)在(t1,0)上有唯一零点，结合单调性，f(x)共1个零点；

②当a>0时，令g′(t)=0得t=lna，

当t<lna时，g′(t)<0；当t>lna时，g′(t)>0，

故g(t)的极小值(最小值)为g(lna)=a(1−lna)，

若0<a<e，则lna<1，g(t)min>0，函数无零点；

若a=e，则g(t)min=0，函数恰有1个零点；

若a>e，则g(t)min<0，结合t→−∞时，此时g(t)→+∞；

t→+∞时，此时g(t)→+∞，故函数有2个零点；

综上：a<0或a=e时，f(x)有1个零点；