2026年浙江杭州市上城区九年级学情调查数学试卷附答案

九年级学情调查数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2026的相反数是()A．-2026 B．2026 C． D．2．2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，在原正方体中，与“城”字所在面相对的面上的汉字是（）A．美 B．好 C．教 D．育4．下列整式运算，计算正确的是（）A． B．C． D．5．已知点，将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点．若点的坐标为，则的值为（）A． B． C．3 D．56．如图是的高，，，，则的长为（）．A． B． C． D．7．杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（）A．本次抽样调查的样本容量为500B．C类活动所对应的扇形圆心角度数为C．选择D类活动的学生人数为50人D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人8．关于反比例函数，下列说法错误的是（）A．若函数图象分布在第二、四象限，则B．若点在函数图象上，且，则C．若，则当时，的最大值为D．若函数图象上有两点，满足且，则9．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，作直线，交于点，交于点．则下列说法正确的是（）A．平分 B．C． D．10．如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（）A． B．重叠部分面积的最大值为140C． D．点在函数图象上二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分．11．12．不等式组的解集是．13．因式分解：=．14．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是.15．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图，①作线段，取的中点，则；②过点作，使得；③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段．16．如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且．（1）若，则．（2）若，则四边形与的面积比为（用含的代数式表示）．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：，其中．18．以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：．小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得步骤②：去括号，得步骤③：移项，得步骤④：合并同类项，得步骤⑤：系数化为1，得（1）小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；（2）请写出该一元一次方程正确的解答过程．19．如图，某手工兴趣小组在正方形纸板上裁剪十字形装饰纸板，设计了正方形“十字架”结构：在上取一点，连接，过点作，交于点，交于点．（1）请写出的证明过程．（2）若正方形纸板的边长，且为的中点，求线段的长．20．2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表：志愿服务次数1次2次3次4次5次6次频数（人数）25a8b8已知以下信息：①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的；②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的．请根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中的___________，___________；（2）求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数；（3）若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考．21．一次函数，当时，记该函数在区间上的最小值与最大值的和为．如一次函数，当时，（1）若一次函数满足，，求k和b的值；（2）已知一次函数的图象经过点，且，证明：．22．如图，在中，为的直径，点D为上一点，且，与相切于点D，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．23．某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为．（1）求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；（2）请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网；（3）乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离．24．如图，在菱形中，，点E为菱形内部一点，将绕B点顺时针旋转，使边与重合，得到，且点M、A、E在同一直线上．延长交射线于G点，延长交射线于F点．（1）求的度数．（2）若，，求的长．（3）当E在内部运动时，求的最小值．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：2026的相反数是，故选：A．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵待表示的原数为1100000000000，共13位整数，∴，将原数整理为满足的形式，得，∴．

故选：B【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，按照规则确定a和n的值即可判断为B.3．【答案】D【解析】【解答】∵在第二行中，“美”与“教”中间隔着“好”，∴“美”与“教”相对，若以“美”字所在面为正面，则“城”字所在面为上面，“好”字所在面为右面，“上”字所在面为左面，“教”字所在面为后面，“育”字所在面为下面，∴“城”与“育”相对，“上”与“好”相对．

故选：D.【分析】根据正方体展开图相对面的规律，通过空间想象还原出正方体各面对应位置即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A计算错误；选项B：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，得，故B计算错误；选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得，故C计算正确；选项D：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方，得，故D计算错误．

故选：C.【分析】根据同类项的合并规则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，逐个验证四个选项的计算是否正确，最终得出答案.5．【答案】C【解析】【解答】∵将点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，∴的横坐标．

故选：C.

【分析】根据平移时点的坐标变化规律“点左右平移只影响横坐标的变化，点上下平移只影响纵坐标的变化”，计算得到平移后点的横坐标即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵是的高，，∴，∴，∴．∵，即，∴，解得：，∴．故选C．【分析】由30度角所对的边等于斜边的一半，可求出，结合勾股定理，可求出BD．再根据正切的定义得出，即可求出CD的值，最后计算即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：由条形图可知A类有100人，由扇形图可知A类占，样本容量为：，故A选项错误；D类占，选择D类活动的学生人数为：（人），故C选项错误；C类有140人，C类活动所对应的扇形圆心角度数为：，故B选项正确；样本中选择B类活动的人数为：（人），该校选择B类活动的学生大约有：（人），故D选项错误．

故选：B.【分析】根据A类的人数和占比求出总样本容量，再依次计算D类人数、C类对应扇形圆心角，最后根据样本比例估算全校选择B类活动的人数，逐一判断四个选项即可得出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：在反比例函数中，比例系数，对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限，∴，解得，A说法正确；对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大，∵，∴；当，即时，在内，y随x的增大而减小，∵，∴，题中的结论不成立，B说法错误；对选项C：∵，∴，∵时，反比例函数y随x增大而减小，∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确；对选项D：∵，若，则说明时，时，可得，即，D说法正确．

故选：B.【分析】根据反比例函数比例系数的符号，结合反比例函数的图象与性质，逐一判断每个选项即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵，，∴．由作图，，∴，∴，，∴，且．由作图，到、的距离都等于，∴是的垂直平分线，∴，∴．选项A：∵，∴，∴不平分，故A错误．选项B：∵，，∴，∴，故B正确．选项C：∵，，，∴，故C错误．选项D：和同高，面积比等于底，由计算得，因此，D错误．

故选：B.【分析】根据等腰三角形内角和定理计算和的度数．作图可知，故是等腰三角形，进而得出、的度数．又因为是的垂直平分线，所以，得出等腰，综合所得角与边的关系，借助等腰判定、角平分线定义、内角和定理及面积公式，逐一进行判断．10．【答案】C【解析】【解答】解：设矩形的长，宽，∵矩形内嵌于，，，∴是等腰直角三角形，，当时，矩形向右平移距离为x，右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，∴，由图（2）知，当时，，且图象发生转折，说明此时F点运动到C点，即，∴，解得，∴，故A选项错误；矩形面积最大值为，故B选项错误；当时，F点已过C点，G点在C点左侧（G距C点距离为，且），重叠部分面积S等于右侧固定的等腰直角三角形面积（直角边为10）加上左侧矩形面积，∴，当时，，故C选项正确；当时，G点在C点左侧且距C点距离小于10，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，∴，当时，，故D选项错误．

故选：C.【分析】设矩形的长，宽，由及可知为等腰直角三角形，故，当时，矩形右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，面积，结合图象点及转折点特征，可求出a，h的值，进而分段求出S与x的函数关系式，验证各选项．11．【答案】-7【解析】【解答】解：，

故答案为：.【分析】根据立方根的定义求出的值，将＝2代入原式再进行加减计算．12．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：，解不等式①，两边同乘2得x+2≥0，移项得：，解不等式②，移项得：，结合两个不等式的解，可得不等式组的解集为．

故答案为：.【分析】先根据二次根式、分式有意义的条件得到不等式组，求解不等式组后即得到自变量的取值范围.13．【答案】【解析】【解答】首先进行提取公因式x，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=x()=x(y+2)(y-2).【分析】因为多项式的各项都含有共同的因式x，所以提公因式x，然后用平方差公式分解即可。14．【答案】【解析】【解答】画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率=。故答案为。

【分析】先画出树状图即可得到12钟不同的结果，找出两次和为4的情况总数，再用概率计算公式计算。15．【答案】的长或的长【解析】【解答】解：∵，∴，在中，，∴，整理，得，∴是方程的正根，∵，，∴，即，∴也是方程的正根．

故答案为：BC的长或AF的长.【分析】通过题目得到，再利用勾股定理构建出关于BC长度的等式，整理后得到，和题目给出的一元二次方程对比，即可得到是方程的正根，再结合线段的等量代换，即可推出同样是该方程的正根．16．【答案】；【解析】【解答】解：（1）由折叠可知，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，设，则，，在直角中，，在直角中，，∵，∴，∵，∴∴为中点，即为矩形中心，∴∴，∵，∵四边形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：.

（2）令，在直角中，，在直角中，，∵，∴，∴，∴，在直角中，，由折叠可知，在直角中，，∴，∵∴，∴，∵，，∴，在直角中，，∴，∴，化简得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．

故答案为：.

【分析】（1）根据折叠的性质可以得到，再结合矩形的性质可以推出，进一步可证明是的中点，即矩形的中心，由此可得，结合已知，即可得到，最终得到结论；

（2）设，通过推导可以证得，再结合三角形面积公式与三角函数的关系，就可以计算出两个三角形的面积比。17．【答案】解：原式，当时，原式【解析】【分析】先根据平方差公式、结合单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项得到最简整式，最后将给定的x的值代入计算出最终结果.18．【答案】（1）①，方程右边未同时乘6（2）解：步骤①：去分母，得步骤②：去括号，得步骤③：移项，得步骤④：合并同类项，得步骤⑤：系数化为1，得．【解析】【解答】解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误．

故答案为：①，方程右边未同时乘6；【分析】（1）只需按照解一元一次方程的步骤，依次对题中的解题过程进行检查，即可找到第一步出错的地方，明确错误原因；

（2）按照解一元一次方程的标准步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，最后把系数化为1，逐步计算即可。（1）解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误．（2）解：步骤①：去分母，得步骤②：去括号，得步骤③：移项，得步骤④：合并同类项，得步骤⑤：系数化为1，得．19．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴；（2）∵四边形是正方形，

∴，（，

∵E为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，推出，且；再结合同角的余角相等，得到，最后结合全等三角形的判定定理，即可得到对应结论；（2）根据正方形的性质，可以得到，，据此计算出；再根据勾股定理算出，根据第一问得到的全等三角形的性质，可推出，最后根据三角形的面积公式可推出最终结论.（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，在与中，，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，，∵E为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．20．【答案】（1）10，17（2）解：∵抽取的学生人数为50人，

∴第25、26人在志愿服务次数分别为4次和5次，

∴中位数为：，

∵本次调查中，学生参与志愿服务次数为5次的人最多，有17人，

∴众数为5.3

学生参与志愿服务次数的众数和中位数分别为5和4.5（3）解：（人），

∴估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数为297人．【解析】【解答】（1）解：∵参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的，∴抽取的学生人数为：（人），∵参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的，∴，∴．

故答案为：10，17；【分析】（1）首先计算本次抽样调查抽取的学生总人数，再根据参与志愿服务次数为3次的学生占比求出参数a，最后用总人数依次减去志愿服务次数为1次、2次、3次、5次及以上的人数，就能得到b的值；

（2）根据统计学中中位数和众数的定义，结合本次统计的数据即可得到对应结果；

（3）根据样本估计总体，先求出样本中志愿服务次数不低于4次的学生频率，再用该校初三年级总人数450乘以这个频率，就能得到对应结果.（1）解：∵参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的，∴抽取的学生人数为：（人），∵参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的，∴，∴．（2）解：∵抽取的学生人数为50人，∴第25、26人在志愿服务次数分别为4次和5次，∴中位数为：，∵本次调查中，学生参与志愿服务次数为5次的人最多，有17人，∴众数为5．（3）解：（人），∴估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数为297人．21．【答案】（1）解：由题意知，，整理得：，

，

整理得：，

∴，解得（2）证明：∵一次函数的图象经过点，∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，即，

∵，

∴，解得：．【解析】【分析】（1）结合题目给出的定义，可以得到方程组，通过求解二元一次方程组即可得到最终结果；（2）根据题意推导可知，整理条件可以得到，式子变形后即可推出，由此可证明题目结论.（1）解：由题意知，，整理得：，，整理得：，∴，解得．（2）证明：∵一次函数的图象经过点，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，即，∵，∴，解得：．22．【答案】（1）证明：如图，连接，

∵与相切于点D，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∵为直径，

∴，

∴，

∴．（2）解：如图，延长交于点H，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴．【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质可得，再结合，根据垂径定理可以推出，由此可得。又因为AB是圆O的直径，直径所对的圆周角为直角，因此，结合平行线同旁内角互补即可得到，即可证明结论；（2）延长交于点H，根据三个内角为直角判定四边形是矩形，结合已知条件可得，通过解直角三角形即可计算出的长度，最后根据直角梯形的面积公式，代入对应线段长度，即可计算出四边形DECB的面积。（1）证明：如图，连接，∵与相切于点D，∴，∵，∴，∴，即，∵为直径，∴，∴，∴．（2）解：如图，延长交于点H，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．23．【答案】（1）解：由题意知，设函数表达式为，∵抛物线过点，

∴，

解得：，

∴．（2）解：当时，，∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网．（3）解：对于函数，当时，，，

∴乒乓球在桌上落球点坐标为，

由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到，

∴，

∵过点，

∴，解得：，（不合题意，舍去），

∴，

当时，

解得，（球在桌外，不合题意舍去），

∴击球点与原点O的水平距离为．【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，设该二次函数的解析式为，再把点代入解析式，即可得出结果；（2）把代入已经得到的函数解析式，计算出对应的y值再与题目要求进行比较，即可得出结果；（3）先求出乒乓球落在球桌的点的坐