广东省梅州2026学年第二学期九年级数学第一次形成性评价试卷附答案

九年级数学第一次形成性评价试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7，8，9，9，10.这组数据的众数为（）A．10 B．9 C．8 D．73．如图，几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．月日，西安至延安高铁迎来开通“满月”．自年月日开通运营以来，西延高铁日均开行动车组列车列，节假日及客流高峰期最多开行列，累计发送旅客万人次．将数据“万”用科学记数法可以表示为（）A． B． C． D．5．已知实数，满足，则点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，是等腰直角三角形斜边上的中线，于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．67．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（）A． B．C． D．8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（）A． B． C． D．210．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分）11．若点在抛物线上，则．12．方程=1的解是．13．如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则．14．如图，直线，如果，那么的长是．15．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分16．解方程组：．17．（1）计算：；（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．18．某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米．（1）求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；（2）春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分19．如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且．（1）求证：（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．21．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．22．如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接．（1）请判断与的位置关系，并说明理由；（2）求证：是等腰三角形；（3）若，，求的半径．23．已知一次函数与x轴交于点A，与反比例函数在第一、三象限分别交于C、B两点，其中，点C的横坐标为2．（1）求一次函数和反比例函数的解析式：（2）将直线向左平移个单位长度得直线，与在第一象限交于点E、在第三象限交于点F，求的面积：（3）当时，请直接写出符合条件的x的取值范围．

答案1．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：B．

【分析】

根据轴对称图形的定义来判断：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据这个规则即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：数据中9出现的次数最多，

所以众数为9，

故答案为：B．

【分析】根据众数的定义来解答．3．【答案】C【解析】【解答】解：从左面看，得到的图形是：．

故答案为：C【分析】根据左视图的定义：左视图指的是从几何体左面观察得到的视图，按照这个定义即可判断正确结果.4．【答案】B【解析】【解答】解：万．

故选：B.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵，，，∴，∴，∴，∴点即位于第一象限．

故答案为：A.【分析】由于二次根式与四次根式的被开方数不能为负数，据此可以推得，得到对应点的坐标后即可求解结论.6．【答案】C【解析】【解答】解：是等腰直角三角形斜边上的中线，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，同理是等腰直角三角形，图中等腰直角三角形有，，，，，共5个．

故答案为：C【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，能够推出，由此可判断为等腰直角三角形。按照相同的思路，可证得也是等腰直角三角形，沿用这个推导方法，还可以逐步判定、均为等腰直角三角形，最终即可推得结果.7．【答案】A【解析】【解答】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．

【分析】

设规定的时间为天，之后分别表示出慢马走完全程和快马走完全程各自所用的时间，再结合题目给出的“快马速度是慢马的倍”这一条件，就可以列出符合题意的方程.8．【答案】A【解析】【解答】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，，对称轴为：直线，，，故①正确；②由对称轴可知：，，时，，，，故②正确；③关于直线的对称点为，时，，故③正确；④当时，的最小值为，时，，，即，故④错误；⑤抛物线与轴有两个交点，，即，，故⑤正确；错误的个数只有个，故选：A．【分析】根据抛物线的开口方向，确定和的大小关系，通过抛物线与y轴的交点位置，确定和的大小关系，再结合对称轴位置、抛物线和x轴的交点情况进行推理，最后逐个分析判断各个结论是否成立.9．【答案】A【解析】【解答】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接，∵点为三角形的重心，∴是的中线，∴，∴，∴，∴，如图2所示，过作于，∵是的中线，，，，，，，，，，即，，，，，，，即，．故选：．【分析】

由三角形重心的性质可得，先证得，由此计算得到，再证明，即可求出对应结果.10．【答案】C【解析】【解答】解：作轴，轴，则：，∵正方形，∴，∴，

在△AEB和△BFC中

∴（AAS），∴，∵，，∴，∴，∴设，

则：，∴，设，则：，∴，∴，∵点、在反比例函数图象上，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；当时，，∴，∴，即：，设直线的解析式为直线，则：，解得：，∴；故答案为：C．

【分析】过A作轴，过C作轴，由题意，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，由等角的余角相等可得，于是可得，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上可将A、C两点代入反比例函数的解析式可得关于ma的方程组，解方程组可求出的值，则可得点、的坐标，然后用待定系数法可求解.11．【答案】【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，故将代入抛物线方程，得：故．故答案为：．【分析】

已知点在抛物线上，因此点A的坐标满足抛物线的方程，将横坐标代入解析式，就可以计算出的值.12．【答案】x=3【解析】【解答】去分母得：x﹣1=2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，故答案为：x=3【分析】解分式方程的基本步骤是去分母、移项、合并同类项，检验.13．【答案】【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，∴．在中，，，∴，∴．故答案为：．【分析】根据平移的性质，可以得到，再在中，结合三角形内角和定理即可计算出，也就是的度数.14．【答案】14【解析】【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为14．【分析】已知，由此可以推出，又因为ABCDEF，根据平行线分线段成比例定理可得，根据这个比例关系即可求解本题.15．【答案】4【解析】【解答】解：如图，连接，，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质可知：，∵，∴当、、三点共线时，取得最小值，如图，∴的最小值为．

故答案为：4．

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，连接，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，当、、三点共线时，最小，即此时最短距离为r的长，根据可得结论．16．【答案】解：，①②，得：，解得，将代入①得：，解得，所以方程组的解为．【解析】【分析】使用加减消元法就可以计算出结果.17．【答案】解：（1）；（2）将点与点代入得，，解得，所以一次函数的表达式为．【解析】【分析】

（1）先分别计算出原式中零指数幂、算术平方根以及特殊角三角函数的结果，再依次进行加减运算就能得到最终答案；

（2）使用待定系数法即可完成求解.18．【答案】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为，设右边钢缆的抛物线表达式为，∵，∴，∴，∴．②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为，设左边钢缆的抛物线表达式为，∵，∴，∴，∴．​​​​​​​（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为，由题意得，∴，∴，∴，设灯带长度为，则

，∵，∴当时，有最小值为．答：灯带长度的最小值是米．【解析】【分析】

（）①对于右侧钢缆抛物线，已知它的顶点坐标为，因此我们设它的顶点式解析式为，再把已知点代入所设解析式，就可以解出二次项系数的值，最终就能确定这条右侧钢缆抛物线的完整解析式；②对于左侧钢缆抛物线，已知它的顶点坐标为，我们同样设它的顶点式解析式为，再把已知点代入解析式，解出系数的值，即可确定左侧钢缆抛物线的完整解析式；

（）首先，根据拱桥侧面抛物线的位置特征，设它的解析式为，将已知点代入解析式求出系数，就能得到的完整解析式；再根据竖直彩带长度的关系得到关于x的函数表达式，最后求出这个二次函数的最小值，就是竖直彩带长度的最小值．（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为，设右边钢缆的抛物线表达式为，∵，∴，∴，∴．②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为，设左边钢缆的抛物线表达式为，∵，∴，∴，∴．（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为，由题意得，∴，∴，∴，设灯带长度为，则，∵，∴当时，有最小值为．答：灯带长度的最小值是米．19．【答案】（1）证明：如图，作，于Q，连接，，，∵，∴，，∴，，，，，．，，，即；（2）解：作图如下：证明：，，，是的垂直平分线，，．平分．【解析】【分析】（1）过圆心O作于点P，作于点Q，连接OA、OB、OD，根据垂线性质可证明，再结合已知条件，利用垂径定理可推得，由此即可完成证明；（2）根据题目要求画出对应图形，首先由可推出，再结合已知，可得，由此即可完成证明.（1）证明：如图，作，于Q，连接，，，∵，∴，，∴，，，，，．，，，即；（2）解：作图如下：证明：，，，是的垂直平分线，，．平分．20．【答案】（1）400，补全条形统计图如图所示：（2）解：（名）答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名（3）解：树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，∴P（甲乙两人同时被选中）．​​​​​​​【解析】【解答】（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），【分析】（1）用C等级的人数除以C等级对应的百分比，计算出本次抽取的总人数；再用总人数减去A、B、C三个等级的人数，得到D等级的人数，据此就可以补全条形统计图。（2）估计全校合格以上等级的人数时，用学校的总人数乘以样本中B等级人数所占的百分比即可得到结果；

（3）通过画树状图可以列出所有等可能出现的结果，再从中找出满足题目要求的结果数量，最后结合概率公式计算出对应事件的概率即可.（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），补全条形统计图如图所示：（2）解：（名）答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；（3）解：树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，∴P（甲乙两人同时被选中）．21．【答案】（1）（且为整数）（2）解：，因为，所以当时，有最大值640，此时售价为元，答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元；（3）解：当时，可得，解得，

∵且为整数，

∴均不符合自变量的取值范围，

∴不存在符合条件的售价，

答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元．【解析】【解答】（1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件，可得函数关系式为，每件售价不能高于20元，，即且为整数，与的函数关系式为（且为整数）；【分析】

（1）依据“销售利润单件利润销售量”的关系列出利润关于售价的函数解析式，再结合题目中“每件售价不能超过20元”的限定，确定自变量x的取值范围；

（2）把得到的二次函数一般式配方整理为顶点式，就可以结合x的取值范围求出利润的最大值，得到对应售价；

（3）如果要求利润达到550元时的售价，令，就可以得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，就能得到对应售价.

（1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件，可得函数关系式为，每件售价不能高于20元，，即且为整数，与的函数关系式为（且为整数）；（2）解：，因为，所以当时，有最大值640，此时售价为元，答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元；（3）解：当时，可得，解得，∵且为整数，∴均不符合自变量的取值范围，∴不存在符合条件的售价，答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元．22．【答案】（1）解：，理由如下，∵为的直径，∴，∴；（2）证明：∵是的切线，∴，∴，即，∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（3）解：连接，如图所示，∵，，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，，，∴，∵，，，，∴，∵，∴，∴，∴，设的半径为，则，∵，，∴，，∴，∴，∴的半径长为．【解析】【分析】（1）结合圆周角定理与垂直的定义，完成对应角度的计算与证明；（2）已知是的切线，根据切线的性质可得，因此可以推出；又因为，通过同角的余角相等可得，接下来结合角度的和差关系与等腰三角形的判定定理，就可以完成结论的证明；

（3）首先连接，根据圆周角定理可以得到，结合（2）的结论可推出。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得。已知，，，因此可得，结合勾股定理可以算出。设的半径为，根据圆的性质可得，进一步可以推得，，最后结