吉林省长春市2026年九年级下学期数学一模试卷附答案

九年级下学期数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数.今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱.嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（）A．-5+9 B．-5-9 C．5+9 D．5-92．如图是洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同3．刘徽在为《九章算术》作注时，提出“方自乘之，再自乘，为立方之幂”，描述了幂的乘方运算.下列数式的运算结果，与（33）5÷32相等的是（）A．36 B．34 C．313 D．3124．如图，直线l∥l2，一副三角板放置在l1、l2之间，含30°的直角三角板的斜边在l1上，且它较长的直角边与含45°的直角三角板的斜边在同一直线上.若含45°的直角三角板的直角顶点在l2上，则∠α的度数是（）A．65° B．75° C．70° D．80°5．五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为α，则此“天幕”的宽度CD是（）A．3.8sinα米 B．3.8cosα米 C．米 D．米6．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=2x2 B．y=-x+3 C．y=-x2 D．y=x-17．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD（如图），下列说法错误的是（）A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCDB．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCDC．将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCDD．将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD8．如图，在平面直角坐标系中，直线y1=kx（k<0）与双曲线交于A、B两点，AC⊥x轴于点C，连结BC交y轴于点D，则△BOD的面积为（）A． B． C．2 D．3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9．写出一个比小的有理数．10．=.11．若多边形每一个内角都等于144°，则此多边形是边形.12．已知点P（x，2-x）位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则x的值为.13．随着我国电子技术的高速发展，、360°全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶.如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为160°的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为平方米（结果保留π）.14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为边AB上的一点，DE=DC，以点D、为圆心、DB的长为半径作⊙D.给出下面四个结论：①；②AC为⊙D的切线；③AB+EB=AC；④当∠BDE=30°时，∠BAC=60°.上述结论中，正确结论的序号有。三、解答题：本题共10小题，共78分。15．先化简，再求值：其中16．生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患.家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态.现有2节有电电池和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别.使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测.用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率.17．图①、图②均是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C、D均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图.（1）在图①中，确定格点E，作射线λE，使；（2）在图②中，确定格点F，作射线AF，使18．伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行.已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米?19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，延长CA至点G，在AB上截取AF=AG，连结GF并延长交BC于点E.求证：AD∥GE.20．问题背景：2025年太阳粒子活动进入活跃期，地磁活动越强，越易观测到极光.地磁波动幅度R（单位：nT）是计算Kp指数（0~9级）的依据，我国某县多次观测到极光.Kp指数简化计算规则：400≤R<500，Kp=5；500≤R<600，Kp=6；600≤R<700，Kp=7；700≤R<800，Kp=8；R≥800，Kp=9.以下是某观测站采集上半年数据，绘制如下统计图表：2025年1——6月我国某县地磁观测数据月份1月2月3月4月5月6月地磁幅度R420610480650730850Kp指数575m8n月观测次数折线统计图（1）表格中的m=，n=；（2）求1至6月份的观测次数；（3）通过以上数据信息发现：Kp指数（0~9级）（“越大”或“越小”），越容易观测到极光，你会选择月份去观测极光.21．为实现绿色低碳发展，各地大力推广新能源电动汽车，新能源汽车凭借低能耗、零尾气、出行成本低等优势，深受大家喜爱.某新能源纯电车电池总容量为70度，初始剩余电能为10度，某充电站对该纯电车进行恒功率充电，充电过程中，电池电量y（度）与充电时间x（分钟）成一次函数关系.已知充电15分钟，电量显示40度.（1）按此速度匀速充电，充满整块电池一共需要分钟；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若充电15分钟后，充电桩切换慢充模式，充电速度每分钟比原来减少0.5度，请你在给出的平面直角坐标系中画出整个充电过程y与x之间的函数图象.22．【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”.（1）【探究】如图①，已知▱ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.以下是小明的部分证明过程：证明：□ABCD是十字架四边形，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.∵□ABCD为圆内接四边形，……（2）【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）.（3）【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。∠BOC与∠AOD的和为度；（4）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为.23．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=6.点D是边AB上一动点，沿过点D的直线翻折△ABC，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与射线BC交于点E。继续沿过点D的直线翻折△ABC，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F.（1）∠C的度数为；（2）证明：DF⊥DE；（3）当BD=1时，求的值；（4）连结A'E，当四边形FDEA'有两个角为90°时，直接写出BD的长.24．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线经过原点O，其对称轴为直线x=2.直线x=m（m>0）与该抛物线交于点A，连结OA.（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）当m=6时，作PA⊥OA交y轴于点P，交该抛物线对称轴于点Q.①求点A的坐标；②求PQ的长；（3）点C在直线x=m上，CA=AO，以CA、AO为邻边作菱形OACB，连结AB交该抛物线对称轴于点D.当时，直接写出m的值.

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意知支出为负，收入为正，则支出5元记为-5元，收到9元记作+9元

所以嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为：-5+9.故答案为：A.【分析】本题主要考查了用正负数表示具有相反意义的量和有理数加法的实际应用，根据题意，支出为负，收入为正，则支出5元记为-5元，收到9元记作+9元，结合选项即可确定.2．【答案】A【解析】【解答】解：根据图片可知，这个立体图形是由现个圆柱和两个圆台组成，

结合图中的正面，可知从正面和从面看到的图都是：

即主视图与俯视图相同.故答案为：A.【分析】本题主要考查了简单组合几何体的三视图，根据图片可知这个立体图形是由圆柱加两个圆台组成，结合从正面，左面和上面看到的图形即可确定.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据幂的乘方和同底数幂法则得：.故答案为：C.【分析】本题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，首先根据幂的乘方计算出(33)5，然后再利用同底数幂的除法进行计算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过拐点作l1的平行线l3，则l1||l2||l3，则∠2=∠1=30°，∠α=∠2+∠3，

因为∠3=45°，

所以∠α=∠2+∠3=30°+45°=75°.

故答案为：B.【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据含30°直角三角板的角度和平行线性质，得到斜线与l2形成的内错角为30°，再结合45°三角板的底角，将两个角度相加即可算出∠α的度数。5．【答案】C【解析】【解答】解：如图，设CD与AB交点为E，由题意知AB垂直平分CD，AC=AD=3.8米，

所以∠CAE=∠CAD=，∠CEA=90°，

因为sin∠CAE=，

所以CE=ACsin∠CAE=3.8sin，

所以CD=2CE=米.

故答案为：C.【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解直角三角形的实际应用，直角三角形的边角关系，首先根据轴对称的性质得到∠CAB为∠CAD的一半，CD⊥AB，CD=2CE，然后在Rt△CAE中，利用直角三角形的边角关系得到CE的长，进而得到CD的长.6．【答案】D【解析】【解答】解：A选项：二次函数y=2x2，对称轴为y轴，开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故A选项不符合题意；

B选项：一次函数y=-x+3，-1<0，从左往右下降，y随x增大而减小，故B选项不符合题意；

C选项：二次函数y=-x2，对称轴为y轴，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故C选项不符合题意；

D选项：二次函数y=x-1，1>0，从左往右上升，y随x的增大而增大，故D选项符合题意；故答案为：D.【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，根据每个函数的增减性即可判断.7．【答案】D【解析】【解答】解：选项A：线段AB沿BC方向平移BC长度，点A移动到点D、点B移动到点C，两组对边分别重合，能拼成平行四边形，说法正确。选项B：△ABC绕AC中点旋转180°，点A对应点C、点C对应点A、点B对应点D，旋转后的三角形与原三角形拼接成平行四边形，说法正确。

选项C：△AOB绕点O旋转180°得到△COD，两个三角形组合后构成完整平行四边形，说法正确。

选项D：△ABC沿AC翻折是轴对称变换，翻折后点B会落在AC另一侧，无法形成平行四边形，说法错误。故答案为：D.【分析】逐一分析四个选项对应的图形变换特征，结合平移、中心旋转、轴对称翻折的变换效果判断对错，翻折属于轴对称变换，沿AC翻折后得到的图形无法和原三角形拼成平行四边形，其余变换都能拼成目标平行四边形。8．【答案】B【解析】【解答】解：设点A坐标为(m，n)，

因为A、B关于原点对称，

所以点B坐标为(-m，-n)，

因为AC⊥x轴，

所以点C坐标为(m，0)；

因为点A在双曲线上，

所以mn=-6.

设直线BC解析式为y=tx+s，代入B(-m，-n)、C(m，0)两点求出解析式为：，

令x=0，则y=，即点D的坐标为(0，)，即线段OD的长为，

因为△BOD是以OD为三角形的竖直底边，点B横坐标的绝对值为水平高，

所以S=

因为mn=-6，

所以S=.故答案为：B.【分析】正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点中心对称，设出点A坐标就能直接写出点B、点C坐标，利用反比例函数横纵坐标乘积等于-6确定坐标关系；再设直线BC的解析式，代入两点坐标求出解析式，得到y轴交点D的纵坐标绝对值，最后结合三角形面积计算方法求出△BOD的面积。9．【答案】（答案不唯一）【解析】【解答】解：比小的有理数为：，等，故答案为：（答案不唯一）．【分析】根据有理数性质，需要明确以下结论：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；而两个负数比较大小时，绝对值更大的负数反而更小。10．【答案】【解析】【解答】解：.故答案为：.【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，根据二次根式的加减法法则进行运算即可.11．【答案】十【解析】【解答】解：设边数为n，

由题意可列：(n-2)×180°=144°n，

解得：n=10.

故答案为：十.

【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，设边长为n，列出关于n的一元一次方程，解之即可得到边数.12．【答案】1【解析】【解答】解：因为点P（x，2-x）位于第一象限，

所以，

解得：0<x<2，

因为横纵坐标为整数，

所以x为整数，

所以x=1.故答案为：1.【分析】本题主要考查了平面坐标系中点的特征和解一元一次不等式组的特殊解，首先根据点P在第一象限，得到点P的横纵坐标均为正数，得到关于x的不等式组，然后根据横纵坐标均为整数确定x的值.13．【答案】4π【解析】【解答】解：根据扇形面积公式，

由题意知n=160，r=3，

所以.故答案为：4π.【分析】本题主要考查了扇形面积公式，根据题意可知半径为3米，圆心角为160°，代入公式即可求出面积.14．【答案】①②③【解析】【解答】解：①因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC，故结论①正确。②如图，过D作DH⊥AC于H，

因为AD平分∠BAC，∠ABC=90°，

所以DH=DB，

DB是圆D半径，DH也是半径且DH垂直AC，

因此AC是圆D切线，结论②正确。③在Rt△BDE和Rt△HDC中，

因为DE=DC，DB=DH，

所以Rt△BDE≌Rt△HDC，

所以EB=HC；

又AB=AH，

因为AH+HC=AC，

所以AB+EB=AC，结论③正确。④因为∠BDE=30°，所以∠BED等于60°，

由全等可知∠DCH=∠BED=60°，

在Rt△ABC中∠BAC等于30°，并非60°，结论④错误。综上正确结论序号为①②③。故答案为：①②③.【分析】①根据角平分线定义直接判定正确；②过D作AC垂线，利用角平分线性质得到垂线段等于半径DB，依据切线判定定理证明AC是圆D切线；③证明直角三角形全等，通过线段等量代换推出；④由∠BDE=30°算出底角，结合全等三角形角的关系求出∠BAC度数。15．【答案】解：、=4a+1.当时，原式【解析】【分析】先用完全平方公式展开第一个平方项，再用单项式乘多项式法则展开后面的式子，去括号后合并同类项完成化简，最后把a的数值代入化简后的代数式算出结果。16．【答案】解：树状图如下：∴P（两节检测电池电量状态相同）或列表如下：第1节结果第2节A1A2BA1（A2，A1）（B，A1）A2（A1，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）∴P（两节检测电池电量状态相同）​​​​​​​【解析】【分析】采用不放回抽取，用树状图或列表梳理全部等可能结果，区分有电、没电两类电池，统计两次抽取电量状态相同的情况数量，用符合条件的数量除以总结果数得到对应概率。17．【答案】（1）观察网格，AC竖直占2格，CB水平占1格，在AD右侧网格找格点E，使AD水平占1格、DE竖直占2格，连接A、E作射线AE；两组直角三角形直角边对应成比例，三角形全等，对应角相等，即∠DAE=∠BAC。（2）网格中可构造直角边均为1格的等腰直角三角形，其锐角为45°，拆分45°角，取格点F使∠DAF与∠BAC拼接后恰好等于45°，连接A、F作射线AF，满足∠DAF+∠BAC=45°。【解析】【分析】(1)利用网格全等直角三角形构造相等角，找到横纵格数和AC、AB一致的格点E，连接A、E得到射线AE，保证∠DAE和∠BAC的正切值相等，两角大小相等；(2)先算出∠BAC的正切值，再找一个网格角使其与∠BAC相加等于45°，利用网格直角三角形构造出满足角度和条件的格点F，连接A、F得到射线AF。18．【答案】解：设乙每分钟骑行x米由题意，得解得x=400.经检验，x=400是原方程的解，且符合题意.答：乙每分钟骑行400米.【解析】【分析】设乙每分钟骑行x米，由甲速度是乙的1.2倍表示出甲的速度；根据路程除以速度等于时间，分别写出乙、甲走完全程的用时，利用乙用时减甲用时等于5分钟列出分式方程，解方程后检验根的有效性，得出乙的骑行速度。19．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，又∵AF=AG，∴∠G=∠AFG.∵∠BAC=∠G+∠AFG，∴∠DAC=∠G.即AD∥GE.【解析】【分析】先由角平分线定义得到∠DAC=∠BAC，再根据AF=AG判定△AFG为等腰三角形，结合三角形外角性质推出∠G=∠BAC，由此得到同位角∠DAC=∠G相等，依据同位角相等两直线平行证出AD||GE。20．【答案】（1）7；9（2）6+7+8+10=31（次）答：1至6月份Kp≥7的观测次数为31次.（3）越大；6【解析】【解答】解：(1)由折线图知，4月地磁幅度为650，落在600到700区间内，对应Kp指数7，

所以m等于7；

6月地磁幅度为850，满足R大于等于800，对应Kp指数9，

所以n等于9。

故答案为：7，9；

(3)地磁波动越强越容易观测极光，Kp指数随地磁幅度变大而升高，因此Kp指数越大越容易观测极光；

​​​​​​​六个月里6月Kp指数数值最高，优先选择6月份观测极光。

故答案为：越大，6.

【分析】(1)对照题目给出的R值对应Kp指数规则，分别查找4月、6月地磁幅度所在区间，确定m和n的数值。

(2)先筛选出表格里Kp大于等于7的对应月份，再从折线图读取这些月份的观测次数，相加得到总次数。(3)根据背景文字地磁波动越强越容易观测极光，判断Kp指数大小和观测极光难易的关系，再找出Kp指数最高的月份作为观测优选月份。21．【答案】（1）30（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），把（0，10）、（15，40）代入，得解得所以y与x之间的函数关系式为y=2x+10（0≤x≤30）.（3）第一段图像连接坐标原点右侧(0，10)与(15，40)两点；切换慢充后每分钟充电1.5度，当前电量40度，还需充30度，慢充需要20分钟，终点坐标为(35，70)，再连接(15，40)与(35，70)，两段折线组成完整充电函数图象。

【解析】【解答】解：(1)由图象知，初始电量10度，15分钟充到40度，15分钟一共充30度，每分钟充电2度，电池总容量70度，还差60度才能充满，60除以2等于30，充满整块电池一共需要30分钟。

故答案为：30.

【分析】(1)先根据初始电量和15分钟充电后的电量算出每分钟充电度数，再算出还需要补充的电量，用剩余需充电量除以充电速度得到后半段时长，加上已充电15分钟得到充满总时长；

(2)设一次函数解析式，代入充电初始时刻和15分钟的两组坐标，解方程组得到k、b数值，结合充满总时长确定自变量取值范围；(3)分两段绘制图像，第一段从x等于0、y等于10到x等于15、y等于40的线段；第二段降低充电速度，算出从40度充到70度所需时间，确定终点坐标，连接两段折线完成图像绘制。22．【答案】（1）∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是正方形.（2）用直尺过圆心画直径BD，以A、C在圆周上的弦AC作线段，保证AC与BD互相垂直，依次连接AB、BC、CD、DA，描粗四条边得到十字架四边形ABCD。

​​​​​​​（3）180（4）【解析】【解答】解：(3)十字架四边形对角线垂直，同弧所对圆心角为圆周角两倍，对角相加对应平角，可得∠BOC+∠AOD=180度。

(4)十字架四边形有结论AD2+BC2=4R2，

设AD=x，则BC=12−x，

AD2+BC2=x2+(12−x)2，

展开整理为2x2−24x+144，

这是开口向上的二次函数，顶点处取最小值，

x=6时平方和最小等于72，

所以4R2≥72，解得R≥，

因此⊙O半径最小值为。

故答案为：.

【分析】(1)平行四边形加对角线垂直可判定为菱形，圆内接平行四边形对角互补且相等，推出内角为直角，有直角的菱形即为正方形；

(2)先画出圆直径BD，再作AC垂直BD，四点A、B、C、D都在圆上，满足对角线互相垂直且四点共圆，得到十字架四边形；

(3)十字架四边形对角线垂直，利用圆周角与圆心角关系，可推导出∠BOC+∠AOD=180°；

(4)先证明十字架四边形里AD2+BC2=4r2，设AD长为x，BC长为12−x，把平方和整理成二次函数，利用二次函数求最小值，再算出半径最小值。23．【答案】（1）75°（2）由折叠得，∵∠BDB'+∠ADA'=180°，∴∠EDF=∠B'DE+∠A'DF=90°.即DF⊥DE.（3）由折叠得，∠BDE=∠B'DE，BD=B'D，BE=B'E，AD=A'D，∵AD∥BC，∴∠B'DE=∠BED，∴∠BDE=∠BED，∴BD=BE，∴BD=B'D=BE=B'E.∵BD=1，∵AB=6，（4）2或【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，

所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°.

故答案为：75°.

(4)已知：AB=6，设BD=x，则AD=A'D=6-x，BD=BD=x，∠A=45°，DF⊥DE，

DB‖BC，四边形FDEA'有两个内角为90°，分两种情况讨论：

情况1：∠DA'F=90°

由折叠得∠DA'F=∠A=45°，该角不可能为90°，此情况舍去。

情况2：∠A'FD=90°，

如图：

在△ADF中，∠DA'F=45°，∠A'FD=90°，则△A'DF为等腰直角三角形，DF=A'F。

四边形FDEA'已有∠A'FD=90°，且已知∠EDF=90°，此时四边形恰好有两个直角，符合题意。

此时DB‖BC，∠B=60°，故∠A'DB=∠B=60°，

A'D-6-，B'D=，A'B'=A'D-B'D=6-2x.

因为△A'DF是等腰直角三角形，DF⊥DE，DE平分∠BDB'，∠BDE=30°，

在Rt△DBE中，∠DBE=60°，BD=x，

结合角度关系列等式：6-x=2x，解得x=2，即BD=2。

情况3：∠DEA'=90°，

此时DE⊥A'E，DB'||BC，∠BDE=∠BED=60°，

所以△BDE为等边三角形，

所以BE=BD=x，

∠A'ED=90°，∠DA'E=45°，

所以△A'FE为等腰直角三角形，

结合A'D=6-x，∠A'DE=180°-30°=150°，

如图，过点E作EH⊥A'D于点H，

则可列，

解得：x=6-x，即BD=

综上可知BD的长为2或

【分析】(1)根据三角形内角和180度，用180减去∠A、∠B的度数，直接算出∠C度数；

(2)两次折叠分别平分∠BDB'与∠