25.2.1 配方法（第2课时）

25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法（第2课时）人教版数学九年级上册化为一般式，得

x2+6x-16=0

要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？x(x+6)=16导入新知解：设场地宽为xm，则长为（x＋

6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得

怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

素养目标1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)

x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解.探究新知配方法的定义知识点你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究新知填一填（根据）配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.56你发现了什么规律？二次项系数都为1.探究新知【思考】

怎样解方程:x2+6x+4=0.（1）方程x2+6x+4=0怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.探究新知（x+3）2=5左边写成完成平方形式（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫作配方法.配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.配方法的概念探究新知例1

解方程：解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15.由此可得素养考点1探究新知解二次项系数是1的一元二次方程解方程x2+8x-4=0解：移项，得x2+8x＝4.

配方，得x2+8x+4²=4+4².

整理，得(x+4)2=20.

由此可得x+4=

，

x1＝

，x2＝.巩固练习配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1.例2解下列方程：（1）解二次项系数不是1的一元二次方程素养考点2探究新知移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即探究新知（2）思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①一移：移项，将常数项移到右边，含未知数的项移到左边；②二化：二次项系数化为1；③三配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式；④四开：开平方，利用平方根的意义直接开平方；⑤五解：解两个一元一次方程.探究新知一般地，一个一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式.①当p>0时，方程有两个不相等的实数根②当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n；③当p<0时,因为对任意实数x，都有

(x+n)2≥0，所以方程无实数根.方法点拨探究新知解下列方程：巩固练习解:

移项，得配方，得由此可得二次项系数化为1，得整理，得3x2+6x=4.x2+2x=.x2+2x+12=+12，(x+1)2=即

x+1=±.x1=

，

x2=.（1）巩固练习解:移项，得配方，得由此可得二次项系数化为1，得整理，得x1=

，x2=.

4x2-6x=3.x2-x=.（2）巩固练习解：移项，得∴x取任何实数，上式都不成立，即原方程无实数根．∵对任何实数x都有(x+1)2≥0,配方，得x2+2x+1=-2+1.整理，得x2+2x=-2.(x+1)2=-1.（3）巩固练习解：去括号，得x2+4x=8x+4.

移项，得

配方，得

整理，得x2-4x=4.(x-2)2=8.

x2-4x+2²=4+2²，因此（4）x（x+4）=8x+4.例3

试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）素养考点3探究新知方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.例4

若a,b,c为△ABC的三边长，且

试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得

根据非负数的性质得

根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.

探究新知由此可得

即

巩固练习方程2x2-3m-x+m2+2=0有一个根为x=0，则m的值为（）A.1B.1C.1或2D.1或-2应用配方法求最大值或最小值.(1)求2x2-4x+5的最小值(2)-3x2+12x-16的最大值.C解：原式=2(x-1)2+3因为2(x-1)2≥0，所以2(x-1)2+3≥3因此当x=1时，原式有最小值3.解：原式=-3(x-2)2-4因为(x-2)2≥0，即-3(x-2)2≤0，所以-3(x-2)2-4≤-4因此当x=2时，原式有最大值-4.类别解题策略求最值或证明代数式的值恒为正（或负）完全平方式中的配方利用配方构成非负数和的形式对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2配方法的应用探究新知（新疆中考）用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是（）B链接中考A．（x+6）2=28B．（x-6）2=28C．（x+3）2=1D．（x-3）2=1课堂检测1.解方程：4x2-8x-4=0.

解：移项，得4x2-8x=4，基础巩固题二次项系数化为1，得x2-2x=1，配方，得x2-2x+1=1+1,整理，得（x-1）2=2,课堂检测2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.

课堂检测3.若

，求(xy)z

的值.解：对原式配方，得由非负数的性质可知4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？

解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.课堂检测已知a,b,c为△ABC的三边长，且

试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知