2026-2027学年八年级数学上册第13章 三角形 单元测试题 人教版

2026-2027学年八年级数学上册第13章三角形单元测试题人教版一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，有一块厚薄均匀的3×4的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．（3分）如图，以AB为边的三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）深圳湾体育中心（春茧）的屋顶框架采用了大量等腰三角形构件，其中某一构件的顶角设计为40°，以适配场馆的造型，该等腰三角形构件的底角是（）A．100° B．70° C．65° D．80°4．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．30° B．20° C．15° D．10°5．（3分）若三角形的两条边分别为9cm和14cm，则此三角形的第三边的长度可能是（）A．9cm B．3cm C．5cm D．25cm6．（3分）2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边7．（3分）下列说法中，正确的有（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．18°9．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）一个直角三角形，有一个锐角是65°，另一个锐角是°．12．（3分）在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝45°，△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．13．（3分）已知三角形的两边长分别为4，5，且这个三角形的周长是偶数，那么这个三角形的第三边的长可能是（填一个符合条件的数即可）．14．（3分）如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，若BC＝26，则BE＝．15．（3分）一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是三角形．16．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠BDF的度数是．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝．18．（3分）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD＝2，CD＝1，则DE的长为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P是线段AB上一点，连接PC，试探究PC的长的取值范围．20．（8分）按要求完成下列各小题．（1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长；（2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．21．（8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边上的高，AD与CE交于点F，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠BAD和∠ADB的度数．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且AD＝AE，连接DE．若∠BAC＝80°，求∠CDE的度数．23．（10分）如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，．（1）CD是△ABC的；（填“高线”“中线”或“角平分线”）（2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数．24．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；（2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长．25．（12分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究：（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝°．（2）如图2，△ABC的内角、∠ACB的平分线与△ABC的外角、∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数．（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝（用α表示）．

参考答案一．选择题1．解：∵三角形硬纸板处于平衡状态，∴这个点为三角形的重心．故选：C．2．解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，故选：D．3．解：∵等腰三角形的顶角为40°，∴等腰三角形的底角为：×（180°﹣40°）＝70°，故选：B．4．解：如图所示，标注∠1、∠2，由条件可知∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，∵DF＝DE，∴∠DFE＝∠E，∴∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：C．5．解：设第三边长是xcm，由三角形三边关系定理得：14﹣9＜x＜14+9，∴5＜x＜23，∴第三边长可能是9cm．故选：A．6．解：设置广告展板蕴含的数学道理是三角形的稳定性．故选：C．7．解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确；②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误；③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误；④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确．综上，正确的说法共2个，故选：B．8．解：∵∴∠ADC＝90°，∵∠C＝64°，∴∠CAD＝90°﹣64°＝26°，∵∠B＝40°，∠C＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣64°＝76°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°，故选：B．9．解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．10．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．二．填空题11．解：设另一个锐角的度数为x，则x+65°＝90°，解得：x＝25°，故答案为：25．12．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣30°﹣45°＝105°，则三角形是钝角三角形．故答案为：钝角．13．解：设这个三角形的第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到：5﹣4＜x＜4+5，∴1＜x＜9，∵这个三角形的周长是偶数，另两边长是5和4，∴第三边长可能是7（答案不唯一）．故答案为：7（答案不唯一）．14．解：在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，∴AE是△ABC的中线，∴E是BC的中点，∵BC＝26，∴．故答案为：13．15．解：∵这个三角形三个外角的度数比为3：4：5，∴设三个外角的度数分别为3x，4x，5x，∴3x+4x+5x＝360°，∴x＝30°，∴三个外角的度数分别为90°，120°，150°，∴与三个外角对应的三个内角分别为90°，60°，30°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．16．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°（等边三角形的性质），∵BD⊥AC，∴∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°，∵BF＝BD，∴．故答案为：75°．17．解：如图所示，连接AP，由条件可知：，∴，∴．故答案为：．18．解：如图1，∵BD＝2，CD＝1，∴BC＝3，∵AE是△ABC的中线，∴EC＝BC＝1.5，∴DE＝EC﹣DC＝0.5，如图2，∵BD＝2，CD＝1，∴BC＝1，∵AE是△ABC的中线，∴EC＝BC＝0.5，∴DE＝EC+DC＝1.5，综上所述：DE的长为0.5或1.5，故答案为：0.5或1.5．三．解答题19．解：如图，∵P是线段AB上一点，∴PC最长为点P和点B重合时，此时PC＝BC＝4；如图，当PC⊥AB时，PC最短，∵AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵，∴，∴PC＝2.4，∴PC的长的取值范围是2.4≤PC≤4．20．解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10，∵AC为偶数，∴AC＝8，∴△ABC的周长为8+2+8＝18；（2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a，∴5﹣3＜a＜5+3，解得2＜a＜8，∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3．21．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60＝30°，∵CE是△ABC的AB边上的高，∴CE⊥AB于点E，∴∠AEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BAD的度数是30°，∠ADB的度数是100°．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，，∵AD＝AE，∴，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°．23．解：（1）∵∠ACD＝∠ACB，∴CD是△ABC的角平分线，故答案为：角平分线．（2）∵∠ACD＝∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝45°+65°＝110°．24．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∵∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；（2）∵AD是△ABE的中线，∴BD＝DE，∵CE＝3cm，∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm，∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm，∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm，∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm，∴AC﹣AB＝2cm，∴AC＝4cm．25．解：（1）∵∠A＝62°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABC