山东省青岛市青岛第十七中学2025~20262025-2026学年高一下册期末检测数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（i为虚数单位），则的虚部是（）A.3 B. C.4 D.2.若，，若，则的值是（）A. B. C.-3 D.33.为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（）A.全校学生体育达标的人数 B.样本学生体育达标的人数C.全校学生体育达标率 D.全校学生体育达标率的估计值4.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（）A. B. C. D.6.在中，内角的对边分别为a，b，c，如果，则一定是（）A.等腰或直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则8.已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A.平均数为3 B.众数为2和3C.方差为 D.第85百分位数为4.510.已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（）A.若，则事件A，B相互独立B.若事件A，B互斥，则C.若事件A，B相互独立，则D.若事件B发生时事件A一定发生，则11.已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（）A.四面体的体积为定值B.存在点，使平面C.二面角的正切值为D.当为的中点时，四面体的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量，满足，在方向上的投影向量等于________（用向量，表示）.13.若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________．14.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.15.在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知复数，.（1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；（2）若，求的最小值.17.2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率.18.如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.（1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；（2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值.19.如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．（3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．20.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.（1）设，，求和；（2）验证复向量结合律：是否成立；（3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（i为虚数单位），则的虚部是（）A.3 B. C.4 D.答案：A解析：思路：根据复数的乘法运算结合共轭复数概念计算求解.解答过程：因为（i为虚数单位），则，所以则的虚部是3.故选：A.2.若，，若，则的值是（）A. B. C.-3 D.3答案：A解析：思路：利用向量数量积的坐标运算可求解.解答过程：因为，所以，又因为，，所以，解得.故选：A.3.为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（）A.全校学生体育达标的人数 B.样本学生体育达标的人数C.全校学生体育达标率 D.全校学生体育达标率的估计值答案：D解析：思路：由题意理解所表示的意义为样本中达标人数即可得解.解答过程：由题意，表示样本中体育达标的人数，所以表示全校学生体育达标率的估计值.故选：D4.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可.解答过程：由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，∴圆锥的体积为.故选：A.5.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意先求样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求，最后由古典概型计算公式即可求解.解答过程：设4道甲类题为，2道乙类题为，则共有15种情况，令事件表示所取的2道题都是同一类题，所以共有7种情况，所以，故选：D.6.在中，内角的对边分别为a，b，c，如果，则一定是（）A.等腰或直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形答案：A解析：思路：由，然后可得，然后可得的关系.解答过程：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，所以A＝B或A+B＝90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：A7.已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论.解答过程：对于A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，则或，故D错误.故选：C.8.已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．解答过程：∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选C．方法提示：熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A.平均数为3 B.众数为2和3C.方差为 D.第85百分位数为4.5答案：ABC解析：思路：求得平均数判断选项A；求得众数判断选项B；求得方差判断选项C；求得第85百分位数判断选项D.解答过程：选项A：此组数据平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+1.判断正确；选项B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次.则此组数据众数为2和3.判断正确；选项C：此组数据方差为.判断正确；选项D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5.判断错误.故选：ABC10.已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（）A.若，则事件A，B相互独立B.若事件A，B互斥，则C.若事件A，B相互独立，则D.若事件B发生时事件A一定发生，则答案：ABD解析：思路：应用独立事件的判定得事件，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质依次判断B、C、D.解答过程：，，，事件，B相互独立，则A，B相互独立，正确；由，B互斥，则，正确；，B相互独立，则，∴，错误；发生时A一定发生，，则，正确．故选：ABD11.已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（）A.四面体的体积为定值B.存在点，使平面C.二面角的正切值为D.当为的中点时，四面体的外接球表面积为答案：ABD解析：思路：A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点的位置再进行证明；C选项作出二面角的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可.解答过程：对于A选项，在正方体中，，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，为上一动点，，正方体的棱长为2，，四面体的体积为定值，故A正确；对于B选项，当为中点时，平面，证明如下：取的中点，的中点，连接，分别为中点，，平面，平面，平面，，分别为中点，，在正方形中，，，，平面，平面，平面，，分别为中点，，平面，平面，平面，，分别为中点，，在正方形中，，，，平面，平面，平面，，，平面，平面，即存在点，使平面，故B正确；对于C选项，过作于点，过作于点，在直角三角形中，，，，，，在中，，，，，，，，，点与重合，是二面角的平面角，，故C错误；对于D选项，取的中点，连接，在直角三角形中，，又由B选项中可知，平面，平面，，，，，为四面体的外接球的球心，外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量，满足，在方向上的投影向量等于________（用向量，表示）.答案：解析：思路：由已知并应用向量数量积的运算律求，根据投影向量的定义求在方向上的投影向量.解答过程：因为，所以，又因为，所以，所以在方向上的投影向量为．13.若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________．答案：解析：思路：根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算．解答过程：由直线的方向向量，可得斜率，则倾斜角满足；因为，可得．14.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.答案：解析：思路：由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体积.解答过程：圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，由圆台的侧面积公式得，解得，由勾股定理得，由圆台的体积公式得，故答案为：.15.在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.答案：解析：思路：由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.解答过程：由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.当，即时，，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：方法提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知复数，.（1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；（2）若，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的几何意义，结合第一象限点的特征求解，（2）根据复数相等的充要条件，可得，即可利用二次函数的性质求解.（1）对应的点为，故且，故，（2），故，故，故，，故当时，的最小值为17.2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率.答案：（1）（2）；（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图小矩形面积之和为1即可求解；（2）根据百分位数的定义和频率分布直方图估计平均数的公式即可求解；（3）先计算和应抽取的人数，最后利用古典概型公式即可求解.（1）由题意有：，解得；（2）设第75百分位数为，则，解得，由，所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为；（3）由题意有的人数为：人，的人数为：人，根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人，设抽取2人为，抽取3人为，从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况，令事件表示两人分别来自于观展时间在和，则共有6种情况，所以.18.如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.（1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；（2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值.答案：（1）北偏东（2）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可求得，可求，可得结论；（2）利用正余弦定理可得，根据，结合余弦定理可得，利用配方法与基本不等可求得的最大值.（1）因为，由正弦定理，得，即，即，因为，故，解得，因为，故，故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行.（2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，又因为，化简得，，因为，即，故，当且仅当时取等号，所以的最大值为.19.如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．（3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．答案：（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，由及点是棱的中点，可得，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，又因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，而是的中位线，所以，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）1（3）45°解析：思路：(1)先证明平面得到；(2