山东省潍坊市2025-2026学年高二下册期末学业质量评价数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列中，，，则公比（）A.2 B.3 C.4 D.52.某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（）A. B. C. D.3.以下求导运算正确的是（）A. B.C. D.4.利用独立性检验的方法调查学生性别与是否喜欢阅读有关，根据列联表，计算可得，参照附表，则（）0.050.0250.0103.8415.0246.635A.没有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关B.有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关C.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关D.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.30种6.已知函数有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数与图象的交点为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.根据变量，的观测数据得散点图如图所示，由最小二乘法得回归直线：，则下列说法正确的是（）A.与负相关B.一定过点C.当每增大一个单位时，一定增大个单位D.若去掉图中点对应数据，则剩余数据的相关系数变大10.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递增C.是的极大值点 D.的最大值为，最小值为11.某款人工智能机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直持续下去．已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立．设表示机器人射门次，游戏仍未结束，则（）A.B.当机器人恰好射门4次后，C.当时，D.若，则游戏结束时三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则__________．13.若，则__________．14.对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某图书馆开展“青少年周末阅读打卡”活动，统计了某周末名打卡学生的单次阅读时长（单位：分钟），按学段分为小学组、中学组两组，其中小学组人，中学组人．工作人员采用分层抽样的方式，抽取名学生进行阅读时长调研，整理得到被抽取学生的阅读时长频率分布如下表所示．阅读时长频率0.20.5（1）求抽取的人样本中，小学组、中学组各多少人；（2）现从抽取的人中随机选取人赠送名著套装，求选取的人中至少有人的阅读时长在的概率．16.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；（2）求的单调区间．17.甲、乙两名同学进行答题比赛，规则为：每局比赛胜者得3分，负者得1分，若某同学连续胜2局，或积分率先达到11分，则该同学获胜．已知甲、乙两同学每局获胜的概率均为，每局比赛结果相互独立且无平局．记为比赛结束时进行的局数．（1）求恰好经过3局比赛甲获胜的概率；（2）求的分布列及数学期望．18.已知函数的定义域为，，导函数．（1）证明：；（2）若对任意，，求的最大值；（3）设曲线在点（）处的切线为，直线与交点的横坐标为，若，求的取值范围．19.在某次射击训练中，已知甲每次射击的命中率为（），每次射击是否命中相互独立，命中（）次时停止射击，记表示甲在本次训练中累计射击的次数．（1）若，求；（2）求；（3）若，证明：．（附：若为随机变量，则；若，当时，，可记作．）

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等比数列中，，，则公比（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：解答过程：依题意，,解得.2.某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：首先将个最高气温数据按从小到大排序：.计算第一四分位数对应的位置：，∵不是整数，根据百分位数的计算规则，取大于的最小整数对应的数值，即排序后第个数据，因此这组数据的第一四分位数为.3.以下求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：对于A，，A选项错误；对于B，，B选项错误；对于C，，C选项正确；对于D，，D选项错误.4.利用独立性检验的方法调查学生性别与是否喜欢阅读有关，根据列联表，计算可得，参照附表，则（）0.050.0250.0103.8415.0246.635A.没有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关B.有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关C.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关D.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关答案：D解析：解答过程：由题意得，结合临界值表逐一分析选项：∵，对应，即卡方值大于等于时，对应的犯错误概率不超过，因此有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关，即在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关，故D正确，A错误.∵，不满足的条件，因此不能在犯错误的概率不超过的前提下认为两者有关，C错误.∵，不满足的条件，因此没有的把握认为两者有关，B错误.5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.30种答案：C解析：解答过程：∵甲只能站在两端，先安排甲的位置，共有种站法.再安排无位置约束的乙、戊两人，共有种站法.乙、戊两人站好后共形成3个空隙（包含两人左右两侧），将丙、丁插入不同空隙即可保证两人不相邻，共有种站法.根据分步乘法计数原理，不同的总站法共有种.6.已知函数有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先排除的情况（此时为二次函数最多2个零点），再通过求导得到函数的极值点，结合三次函数的单调性与无穷处的极限趋势，将3个零点的条件转化为极值与0的大小关系，求解得到参数范围.解答过程：当时，为二次函数，最多2个零点，不符合题意，故.对求导得，令，解得与.分两类情况讨论：①当时：∵时，，，故，单调递增.时，，，故，单调递减.时，，，故，单调递增.∴的极大值为，极小值为.∵时，，故；时，，故.要使有3个零点，需极小值，即，整理得，结合解得.②当时：此时，∵时，，（，，不等号变向得），故，单调递减.时，，（，，不等号变向得），故，单调递增.时，，，故，单调递减.∴的极小值为，极大值为.∵时，（，），故；时，，故.要使有3个零点，需极小值，即，整理得，结合解得.综上，的取值范围是.方法提示：方法归纳：三次函数零点个数判断通用方法：先求导得到两个极值点，计算两个极值的大小，结合三次函数两端的极限趋势判断零点数：若极大值且极小值，则函数有3个零点；若极大值或极小值，则函数有2个零点；若极大值或极小值，则函数有1个零点.7.已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先利用原等差数列公差不为的条件，将“抽取四项成等差数列”转化为“四项的下标成等差数列”，分类讨论新等差数列对应原数列的下标间隔，统计符合条件的事件数，结合组合数计算总事件数，最终求得概率.解答过程：首先计算总基本事件数：从项中任取项，总事件数为.设原等差数列的公差为，若抽取的四项成等差数列，则，，代入通项公式得，化简得，同理可得，即抽取的四项下标也成等差数列.设抽取的四项下标公差为，则四项下标可表示为，其中：当时，，共组；当时，，共组；当时，，共组；当时，，无符合条件的组.因此符合条件的基本事件数为，故所求概率.8.已知函数与图象的交点为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：依题意可得，同构后设，利用其单调性推得，回代即可求出结果.解答过程：依题意，，消去，得，即，设，则有，因，则函数在上单调递增，故得，又因，则可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.根据变量，的观测数据得散点图如图所示，由最小二乘法得回归直线：，则下列说法正确的是（）A.与负相关B.一定过点C.当每增大一个单位时，一定增大个单位D.若去掉图中点对应数据，则剩余数据的相关系数变大答案：BD解析：思路：根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解.解答过程：对于A，因散点图分布在从左下角到右上角的一条直线的附近，故与正相关，故A错误；对于B，因回归直线必经过样本中心点，故一定过点，即B正确；对于C，由回归直线方程的意义可知，当每增大一个单位时，预报值大致增大个单位，故C错误；对于D，若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，正相关程度会更高，故剩余数据的相关系数变大，故D正确.10.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递增C.是的极大值点 D.的最大值为，最小值为答案：ACD解析：思路：结合奇偶性定义判断对称性，借助导数工具分析函数单调性、极值点，结合指数函数的衰减性判断函数最值，利用偶函数的对称性可简化非负区间的性质研究，降低运算复杂度.解答过程：对于A选项：∵的定义域为，关于原点对称，且，∴是偶函数，A正确.对于B选项：当时，，求导得，当时，，，故，∴在上单调递减，B错误.对于C选项：当时，，，故，单调递增；当时，，，故，单调递减，∴是的极大值点，C正确.对于D选项：由偶函数的对称性，只需分析时的最值即可：当时，；当时，，且，故，因此的最大值为1.由前面的分析可得的极小值点为，对应极小值为，∵是单调递增函数，故越大，越大，的绝对值越小，即函数值越大，∴当时，极小值取得最小值，与选项给出的最小值一致，故的最大值为1，最小值为，D正确.11.某款人工智能机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直持续下去．已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立．设表示机器人射门次，游戏仍未结束，则（）A.B.当机器人恰好射门4次后，C.当时，D.若，则游戏结束时答案：ABD解析：思路：根据独立事件的乘法公式可得A、B；利用条件概率公式计算可得C；利用条件概率公式计算可得，再分第次游戏结束和第次游戏未结束两种情况讨论即可得D.解答过程：对A：，故A正确；对B：若机器人恰好射门次且得分为，则前两次仅射中一次，后两次都射中，故，故B正确；对C：由题意得，，所以，若第次游戏未结束，则累计得分必为（偶数次射门的累计得分只能是偶数，且不能为），可得，，，所以，故C错误；对D：由题意知，，，所以，解得或，由，故，由题意知，的所有可能取值为，，所以当游戏结束时，，又考虑前两次射门，若两次都射中或都未射中，则游戏结束，若1次命中，1次未命中，相当于重新开始，所以，解得，所以，所以，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则__________．答案：0.3解析：解答过程：因为，所以，所以，所以.13.若，则__________．答案：7解析：思路：对给定等式两边求导，再赋值计算即得.解答过程：由，求导得，取，得.14.对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：先根据“隐对称点”的定义将问题转化为时的方程有唯一解问题，分离参数后构造新函数，通过导数分析新函数的单调性与值域，结合函数趋势确定参数的取值范围.解答过程：根据“隐对称点”的定义，存在使得，不妨设，则，代入分段函数解析式得：，化简得，题目要求恰有一对“隐对称点”，等价于方程在上恰有1个解.当时，得，令，，令，，令，∵时，∴在上单调递增，∴，∴在恒成立，∴在上单调递增，∴，∵时，∴，即在上单调递增.由洛必达法则，，当时，指数函数增长速度远快于多项式函数，故，∴的值域为，∴要使在上恰有1个解，需.即的取值范围是.方法提示：方法归纳：分离参数法求解方程零点个数问题步骤：①将方程中的参数与变量分离，转化为与构造的函数交点问题；②通过导数分析构造函数的单调性、极值与值域；③结合函数单调性与值域，确定参数的取值范围，可避免复杂的分类讨论.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某图书馆开展“青少年周末阅读打卡”活动，统计了某周末名打卡学生的单次阅读时长（单位：分钟），按学段分为小学组、中学组两组，其中小学组人，中学组人．工作人员采用分层抽样的方式，抽取名学生进行阅读时长调研，整理得到被抽取学生的阅读时长频率分布如下表所示．阅读时长频率0.20.5（1）求抽取的人样本中，小学组、中学组各多少人；（2）现从抽取的人中随机选取人赠送名著套装，求选取的人中至少有人的阅读时长在的概率．答案：（1）小学组12人，中学组8人.（2）．解析：（1）由题意得，小学组人数为，中学组人数为，所以抽取的人样本中，小学组人，中学组人.（2）由题意得，抽取的人中，阅读时长在的人数为，设表示选取的人中至少有人阅读时长在，则，所以选取的2人中至少有1人阅读时长在的概率为．16.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；（2）求的单调区间．答案：（1），．（2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．解析：（1）由题可知，在处的切线斜率为0，对求导得，则，所以，因为，所以，所以，．（2）由题可知，的定义域为，求导得，则当时，，则的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，令，解得，令，解得，则的单调递减区间为，单调递增区间为．综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．17.甲、乙两名同学进行答题比赛，规则为：每局比赛胜者得3分，负者得1分，若某同学连续胜2局，或积分率先达到11分，则该同学获胜．已知甲、乙两同学每局获胜的概率均为，每局比赛结果相互独立且无平局．记为比赛结束时进行的局数．（1）求恰好经过3局比赛甲获胜的概率；（2）求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）X的分布列为X2345P．解析：（1）设恰好经过3局比赛甲获胜为事件A.比赛恰好进行3局就结束且甲获胜，说明第1局乙获胜，第2、3局甲连胜，甲凭借第2、3局的2连胜赢得比赛，因为每局比赛结果相互独立，所以.恰好经过3局比赛甲获胜的概率为.（2）由题意，X的所有可能取值为.（甲甲或乙乙）（甲乙乙或乙甲甲）（甲乙甲甲或乙甲乙乙）（甲乙甲乙乙、乙甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、乙甲乙甲乙）所以X的分布列为X2345P数学期望．18.已知函数的定义域为，，导函数．（1）证明：；（2）若对任意，，求的最大值；（3）设曲线在点（）处的切线为，直线与交点的横坐标为，若，求的取值范围．答案：（1）令，设，因为，令，则，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，（2）（3）．解析：思路：（1）观察的结构，将单独提取构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最大值，即可证明不等式成立.（2）对所给双变量不等式移项变形，构造辅助函数，将不等式恒成立转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立，分离参数后构造新函数，利用导数求新函数的最小值，即可得到的最大值.（3）根据导数的几何意义写出曲线在点处的切线方程，联立切线方程与求解得到的表达式，将的条件转化为关于的函数符号问题，构造辅助函数研究其单调性，结合已知的条件即可求得的取值范围.（1）略（2）由，整理得，设函数，若，对恒成立，即在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，整理得，令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，当时，，