宁夏永宁上游高级中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学分值:150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的.1.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.242.已知复数z满足，则（）A. B. C.4 D.83.设，向量，，且，则A. B. C. D.4.设，，若，则k的值是（）A. B. C.3 D.5.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7.在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A.346 B.373 C.446 D.473二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则C.某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽D.数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为2710.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.点到直线的距离为D.异面直线与间的距离为11.下列命题为真命题的是（）A.已知，则B.已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为C.“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件D.已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.在中，，，，则__________．13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．14.定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．16.滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：组0.660.680.690.710.720.74组0.460.480.490.490.510.51改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和（1）求；（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．17.如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．18.某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率；（3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大．19.某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）.（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.

数学分值:150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的.1.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.24答案：C解析：解答过程：解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个，，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均，故第三四分位数为．2.已知复数z满足，则（）A. B. C.4 D.8答案：B解析：思路：先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．解答过程：由可得，，所以，故选：B.3.设，向量，，且，则A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．4.设，，若，则k的值是（）A. B. C.3 D.答案：B解析：思路：由空间向量平行坐标表示可得答案.解答过程：由题可得.因，则.故选：B5.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案：B解析：思路：根据独立事件概率关系逐一判断解答过程：，故选：B方法提示：判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A解析：思路：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.解答过程：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.7.在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间向量的基本定理易得，，进而结合空间向量夹角公式求解即可.解答过程：以为基底，则，，则，，，所以，则直线所成角的余弦值为.故选：A.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A.346 B.373 C.446 D.473答案：B解析：思路：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．解答过程：过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．方法提示：本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则C.某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽D.数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27答案：ABD解析：解答过程：任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”，则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确；对于B，由题意得，得到，，故B正确；某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽，故C错误；数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为，方差为，故D正确.10.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.点到直线的距离为D.异面直线与间的距离为答案：ACD解析：思路：要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析.解答过程：对于A选项，在正方体中，即为异面直线与所成角，因为,所以为等边三角形，因此，故A正确.对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影，那么直线与平面所成角为，在中，，则，故B错误.对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，那么根据点到直线的距离公式：又，，代入可得.故C正确.对于D选项,由,设异面直线与的公垂线的方向向量为，则令，则，取，根据异面直线间的距离公式，又，则，故D正确故选：ACD.11.下列命题为真命题的是（）A.已知，则B.已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为C.“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件D.已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心答案：CD解析：解答过程：对于A：，,所以，A错误；对于B：因为，，所以向量与的夹角余弦值为，B错误；对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”，“与共面”不一定能推出“存在实数，使”，因为当共线但与不共线时，与共面成立，但不存在实数，使，C正确；对于D：因为，所以，即，即，所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点，则有，同理取中点，则有，所以为的重心，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.在中，，，，则__________．答案：##解析：解答过程：在中，，所以，由正弦定理可得.13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．答案：##解析：思路：结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.解答过程：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.14.定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____.答案：解析：思路：先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标.解答过程：因向量在基底下的坐标是，则，故向量在基底下的坐标是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解；（2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积.（1）已知，由余弦定理，则，代入可得：.由正弦定理（为外接圆半径），可得，，，代入上式得：，整理得：，根据两角和的正弦公式，即，因为，所以得，解得，又因为，所以.（2）已知，，，由余弦定理，代入得，所以，则面积为：.16.滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：组0.660.680.690.710.720.74组0.460.480.490.490.510.51改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和（1）求；（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．答案：（1），，，（2）当时，，，，，应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低，当时，，，，，应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低．解析：思路：（1）借助平均数与方差公式计算即可得；（2）计算出、、与即可得.（1），，，.（2）略17.如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值；（3）向量法求点面距离即可.（1）在直角梯形中，过作于，因为，，且，所以四边形为正方形，可得，，因为，所以，在中，，在中，，在中，所以，即，因为侧棱底面，平面，所以，因为，、平面，所以平面；（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，得，设平面的法向量为，则，令，则，，得，所以，即平面与平面夹角的余弦值为；（3）已知平面的一个法向量为，平面外一点，在平面上任取一点，所以，点到平面的距离，即点到平面的距离为.18.某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率；（3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大．答案：（1），平均成绩为77.5（2）（3）首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大解析：思路：（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩；（2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率；（3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较.（1）由频率分布直方图得，，解得．估计初赛成绩的平均数为：．所以，平均成绩为77.5（2）由（1）知，成绩在的频率之比为，则在中随机抽取了人，记为，在中随机抽取了人，记为，从5人中随机抽取2人的样本空间为：，共10个样本点，设事件“至少有1名学生的成绩在内”，则，有7个样本点，因此，所以至少有1名学生的成绩在内的概率．（3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况：①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为，②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为所以最终甲获胜的概率为；若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况：①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为，②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为所以最终甲获胜的概率为，若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况：①乙丙比