青海省西宁市2025-2026学年高一下册期末调研测数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列统计量中，能度量样本离散程度的是（）A.中位数 B.平均数 C.标准差 D.众数2.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（）A. B. C. D.3.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.某网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为10万元B.这一年的总利润超过400万元C.这12个月利润的中位数与众数均为30万元D.11月份的利润最大6.如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（）A. B.C. D.7.如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.8.在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）A. B.当角越大时，用力越省C.当时， D.当时，二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A.B.的虚部为C.D.若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环10.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.11.如图，等边三角形的边长为2，边上的高为，沿把三角形折起，则（）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点A到的距离为D.当时，点D到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为______．13.如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________．14.2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔的遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.长方体中，，，E，F，M分别为棱，，的中点．（1）证明：E，C，，F四点共面；（2）证明：平面平面．16.在中，角的对边分别为，已知．（1）若，求的面积；（2）若，求周长的最大值．17.青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表：增收额分组户数a24b2114（1）已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）；（2）从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率；（3）估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量．18.已知是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．（3）若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围．19.如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小；（3）若四面体的顶点在同一个球面上，求该球的体积．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列统计量中，能度量样本离散程度的是（）A.中位数 B.平均数 C.标准差 D.众数答案：C解析：解答过程：平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，一般地,对数值型数据集中趋势的描述,可以用平均数和中位数，对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数，方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.2.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶次，则只有一个人投中的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求解.解答过程：设甲投中为事件，乙投中为事件，由题意可知，，且事件与事件相互独立，则，，“只有一个人投中”包含“甲投中且乙未投中”与“甲未投中且乙投中”两种互斥情况，故所求概率，故B正确.3.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，所以.4.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的概念可直接求解.解答过程：在上的投影向量为：.故选：A5.某网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为10万元B.这一年的总利润超过400万元C.这12个月利润的中位数与众数均为30万元D.11月份的利润最大答案：C解析：解答过程：由折线图可知，1至12月份的收支数据（单位：万元）及对应利润如下表：月份123456789101112收入406030305060807070809080支出203010202030203040504050利润203020103030604030305030对于A，观察收入数据可知，月收入的最大值为90万元（11月），最小值为30万元（3月和4月），故A错误；对于B，这一年的总利润为：（万元），因为，故B错误；对于C，这12个月的利润从小到大顺序排列为：10,20,20,30,30,30,30,30,30,40,50,60，中位数为第6个与第7个数的平均数30，众数为30，故C正确；对于D，由利润表可得，7月份利润最大为60万元，故D错误.6.如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：首先根据题意得到，，再根据求解即可.解答过程：连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，，因为为中点，所以.故选：C7.如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设底面圆的半径为，在等腰三角形中，由余弦定理：代入，，，得：即，解得。圆锥表面积.8.在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）A. B.当角越大时，用力越省C.当时， D.当时，答案：C解析：解答过程：由题意可知，行李包处于平衡状态，则

，所以，故A错误；又

,所以其中，当角越大时，越小，越大，越费力，故B错误；当时，，故C正确；时，，故D错误.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A.B.的虚部为C.D.若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环答案：ACD解析：思路：由题意可得，可求得的虚部和，可判断ABC；利用模的几何意义可判断D.解答过程：由题意得的虚部为，故AC正确，B错误；由复数满足，所以点的集合是以原点为圆心，分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，故D正确．故选：ACD.10.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得.解答过程：选项A：由正弦定理得，即，又，所以或，即或，因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误.选项B：由正弦定理得，，则，所以，又正弦定理得，即.所以为等腰三角形，故B正确.选项C：由正弦定理得，结合，化简得，所以或，且，所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形，故不能判定一定为等腰三角形，故C错误.选项D：由正弦定理得，结合，化简得，又由，得，所以，即，因此为等腰三角形，故D正确.11.如图，等边三角形的边长为2，边上的高为，沿把三角形折起，则（）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点A到的距离为D.当时，点D到平面的距离为答案：ACD解析：思路：对于A：利用线面垂直的判定定理判断；对于B：由三棱锥的体积为求解判断；对于C：设的中点为，连接，，易知，AE为点到的距离判断；对于D：利用等体积法求点到平面的距离判断.解答过程：对于选项A：因为，，，平面，所以平面，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，由选项A可知平面，则AD是三棱锥的高，可得三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积最大值为，故B错误；对于选项C：设的中点为，连接，，当时，是等边三角形，则，因为平面，平面，则，又因为，则，所以点到的距离为，故C正确；对于选项D：当时，则是等腰直角三角形，可得，，设点D到平面的距离为，因为，即，解得，所以点D到平面的距离为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为______．答案：解析：思路：根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.解答过程：由为纯虚数，得，解得，所以实数m的值为.故答案为：13.如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________．答案：解析：思路：利用集合的运算性质求出事件包含的样本点数，再根据古典概型概率公式求解.解答过程：由题意可知，，，，，因为事件表示属于但不属于的样本点构成的集合，根据集合的运算性质，有，所以，根据古典概型的概率公式，可得.

14.2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔的遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米．答案：解析：思路：在中利用正弦定理求，再利用俯角定义及直角三角形性质求出，即得塔高.解答过程：因为，所以，由正弦定理，得，代入，，，可得，是在无人机水平面的投影，所以平面，即，因为点观测塔顶的俯角为，即，在中，，解得，故宁寿塔的塔高米.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.长方体中，，，E，F，M分别为棱，，的中点．（1）证明：E，C，，F四点共面；（2）证明：平面平面．答案：（1）连接.长方体中，，，所以四边形是平行四边形，所以.又E，F分别为棱，的中点，所以，所以，所以四点共面；（2）由（1）知，，因为平面ACD1，平面ACD所以平面ACD1又E，M分别为棱，的中点，所以.因为平面ACD1，平面ACD所以平面ACD1因为平面，所以平面平面．解析：思路：（1）通过证明，说明四点共面；（2）由线面平行的判定定理证明平面ACD1，平面ACD1，再由面面平行的判定定理证得平面平面．（1）略（2）略16.在中，角的对边分别为，已知．（1）若，求的面积；（2）若，求周长的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意可得，由，可得，结合三角形的面积公式求解即可；（2）结合余弦定理及基本不等式求解即可.（1）因为，，所以，又因为，即，即，解得，所以；（2）因为，由（1）可知，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长，当且仅当时，等号成立，此时为边长为3的等边三角形.17.青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表：增收额分组户数a24b2114（1）已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）；（2）从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率；（3）估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量．答案：（1），，第三四分位数约为（2）（3）户解析：思路：（1）利用这两组户数之和总户数占比，先求出；再利用所有区间户数之和列方程求出，找到累计频数首次超过的区间；利用分位数公式代入数值计算.（2）根据分层抽样的比例，算出从这两组里分别抽取的户数，先算出从户中任选户的总的个数，再算出户都落在内的个数，两者相除得到概率.（3）算出它在户样本中的频率，利用此频率求出总体中对应牧户数量的估计值.（1）增收额低于万元的是和两组，占比，总户数，，解得，，代入解得，因为有户，累计户，有户，累计户，有户，累计户，有户，累计户，有户，累计户，由，可得落在这一组，则第三四分位数为.（2）增收额不低于万元的为组有户，组有户，户数比，分层抽样抽取户，则组抽户，记为，组抽户，记为，总基本事件有：共个，户都在内的事件只有个，则抽取的2户增收额都在万元内的概率为.（3）样本中不低于万元的户数为，则样本中增收额不低于万元的频率为，估计园区周边增收的户牧户中增收额不低于万元的牧户数量为户.18.已知是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2