山东省滨州市2025-2026学年高二下册期末数学试卷-含答案

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.22.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.已知是虚数单位，复数，则（）A. B.2 C. D.34.学校要从2个语言类节目和5个歌舞类节目中选出3个节目进行文艺汇演，要求选出的节目中至少有1个语言类节目，则不同的选法共有（）A.5种 B.15种 C.20种 D.25种5.甲、乙、丙三家工厂加工同一型号的零件，甲厂生产1000个，乙、丙两厂各生产500个，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙三厂加工的次品率分别为2%，2%，4%.现从中任取一个零件，则它是次品的概率为（）A.0.025 B.0.07 C.0.08 D.0.1256.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为①，②，…，⑥，则小球最终落入⑤号格子的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.8.设整数，，，若和除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为.若，，则的值可以是（）A.15 B.50 C.201 D.354二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.经验回归直线至少经过个样本点，，，中的一个B.用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好C.若，，，，的平均数为2，则，，，，的平均数为5D.若随机变量，则10.随机事件，满足，，，下列说法正确的是（）A.事件与事件相互独立 B.C. D.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.当时，函数在上单调递减B.当时，函数的最小值为2C.若在处取得极值，则D.若对任意，恒成立，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，，则_____.13.的展开式中的系数为________．14.定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某工厂抽取件电子元件检测，记录首次出现故障的时间（单位：天），绘制成如下的频率分布直方图：（1）估计这种电子元件首次出现故障的时间的中位数和平均数；（2）在区间和内，用分层随机抽样的方法抽取6件电子元件，再从这6件电子元件中随机抽取3件，设为抽取的3件电子元件出现故障的时间落在内的件数，求的分布列，数学期望和方差．16.如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.某工厂为了检查甲、乙两条自动流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品，并对每件产品给出合格或不合格的评价，得到下面的列联表：甲流水线乙流水线合计合格9397190不合格7310合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与流水线有关联？附：，其中.临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）该工厂抽取5组产品数据，开展不合格品相关性统计分析.统计得到百件产品中，对应不合格品的数量为件，相关数据如下表所示：（单位：百件）13457（单位：件）514212436根据统计数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.建立关于的经验回归方程，并预测生产10百件产品时不合格品的件数（精确到1）.附：参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.18.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）证明：当时，.19.在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人下棋比赛，假设每局比赛中甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙两人进行3局2胜制比赛（累计先胜2局者获得最终胜利），甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.（1）若，求3局2胜制比赛中甲获得最终胜利的概率；（2）记局胜制（）比赛中甲获得最终胜利的概率为，记局胜制比赛中，在第一局甲胜的条件下，甲获得最终胜利的概率为.证明：；（3）教室里有一盒白粉笔和一盒彩粉笔，其中白粉笔有支，彩粉笔有支，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，使用后不放回.记白色粉笔先被用完的概率为.证明：.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：由函数，求导得，所以.

2.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：B解析：解答过程：由随机变量，且，得.3.已知是虚数单位，复数，则（）A. B.2 C. D.3答案：C解析：解答过程：复数，所以.4.学校要从2个语言类节目和5个歌舞类节目中选出3个节目进行文艺汇演，要求选出的节目中至少有1个语言类节目，则不同的选法共有（）A.5种 B.15种 C.20种 D.25种答案：D解析：解答过程：从7个节目中选出3个节目有种，其中没选出语言类节目的有种，所以所求不同的选法共有种.5.甲、乙、丙三家工厂加工同一型号的零件，甲厂生产1000个，乙、丙两厂各生产500个，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙三厂加工的次品率分别为2%，2%，4%.现从中任取一个零件，则它是次品的概率为（）A.0.025 B.0.07 C.0.08 D.0.125答案：A解析：思路：先求出次品的总数，再求出零件总数，最后由古典概型问题求解即可.解答过程：由题意可得所有的次品数为个，所以从个零件中任取一个，为次品的概率为.6.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为①，②，…，⑥，则小球最终落入⑤号格子的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：小球从顶端下落到底部共需要经过5次碰撞，每次碰钉后都有向左、向右2种等可能选择，因此总路径数为种，其中落入⑤号格子需要4次向右、1次向左，路径数为种，所以小球最终落入⑤号格子的概率为.7.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果．解答过程：，令，即，移项整理得，设，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取得极小值，而时，；时，，但此时，因此，的大致图象为：则直线与曲线有两个交点，必有，解得．8.设整数，，，若和除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为.若，，则的值可以是（）A.15 B.50 C.201 D.354答案：B解析：思路：根据给定条件，利用二项式定理变形并求出除以17的余数，进而逐项计算判断.解答过程：依题意得，因此除以17的余数为16，而除以17的余数分别为，所以的值可以是50，故B正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.经验回归直线至少经过个样本点，，，中的一个B.用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好C.若，，，，的平均数为2，则，，，，的平均数为5D.若随机变量，则答案：BCD解析：解答过程：对于A，经验回归直线经过样本中心点，可以不过任何一个样本点，A错误；对于B，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确；对于C，由的平均数为2，得的平均数为，C正确；对于D，随机变量，则，D正确.10.随机事件，满足，，，下列说法正确的是（）A.事件与事件相互独立 B.C. D.答案：AC解析：思路：利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，由事件与事件相互独立，所以求解可判断D选项.解答过程：根据，可得；又，可得；即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确；易知，因此B错误；由可得，即可知C正确；由于，因为事件与事件相互独立，所以，故D错误.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.当时，函数在上单调递减B.当时，函数的最小值为2C.若在处取得极值，则D.若对任意，恒成立，则的取值范围是答案：BCD解析：思路：先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性、极值、最值，结合恒成立问题分离参数得到恒成立，逐一判断各选项即可解答过程：对于A项，，当时，令，得到，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故A错误；对于B项，，令，得到，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数的最小值为，故B正确；对于C项，若在处取得极值，则，即，验证：时，两侧导数符号改变，确为极值点，故C正确；对于D项，，即恒成立，令，则，时，，故，在上单调递增，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，，则_____.答案：解析：解答过程：在中，，由正弦定理得.13.的展开式中的系数为________．答案：解析：思路：本题首先可确定二项式展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论，即可得出结果.解答过程：二项式展开式的通项为，当第一个因式取1时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；当第一个因式取时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；则的展开式中的系数为，故答案为：.方法提示：本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式展开式的通项为，考查推理能力与计算能力，是中档题.14.定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____.答案：解析：思路：构造函数，利用单调性求解不等式.解答过程：令，则，则在上单调递减，等价于，则，得，则不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某工厂抽取件电子元件检测，记录首次出现故障的时间（单位：天），绘制成如下的频率分布直方图：（1）估计这种电子元件首次出现故障的时间的中位数和平均数；（2）在区间和内，用分层随机抽样的方法抽取6件电子元件，再从这6件电子元件中随机抽取3件，设为抽取的3件电子元件出现故障的时间落在内的件数，求的分布列，数学期望和方差．答案：（1）中位数为，平均数为（2），解析：思路：（1）先算出每个区间对应的频率，进而求出中位数和平均数；（2）计算分层抽样比例，确定抽取件数，确定分布类型，计算分布列，进而计算期望和方差．（1）组距为，各组频率如下：：；：；：；：；：；：；：；：；累计频率到时为，到时为，中位数落在区间内，故中位数为：；平均数为：．（2）区间的频数：，区间的频数：，两组数量比为：，分层抽取6件时：中抽取件；中抽取件；表示抽取的3件中落在内的件数，的可能取值为，服从超几何分布：；；；分布列为：X012P数学期望为：，，．16.如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以，又因为，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为正方形，所以，故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为，，所以，，因为平面，，所以平面，（2）解析：思路：（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直；（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值.（1）略（2）由（1）可知：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，设平面与平面夹角为，故，故平面与平面夹角的余弦值为.17.某工厂为了检查甲、乙两条自动流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品，并对每件产品给出合格或不合格的评价，得到下面的列联表：甲流水线乙流水线合计合格9397190不合格7310合计100100200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与流水线有关联？附：，其中.临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）该工厂抽取5组产品数据，开展不合格品相关性统计分析.统计得到百件产品中，对应不合格品的数量为件，相关数据如下表所示：（单位：百件）13457（单位：件）514212436根据统计数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.建立关于的经验回归方程，并预测生产10百件产品时不合格品的件数（精确到1）.附：参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.答案：（1）依据小概率值的独立性检验，不能认为产品是否合格与流水线有关联。（2）经验回归方程为，预测生产10百件产品时不合格品约为51件。解析：思路：（1）提出零假设后计算卡方统计量，与临界值对比得出独立性检验结论；（2）先计算样本均值，用最小二乘估计求解回归方程参数，再代入预测值计算结果。（1）零假设为：产品是否合格与流水线无关联，由列联表得，不推翻零假设，所以依据小概率值的独立性检验，不能认为产品是否合格与流水线有关联。（2）计算样本均值，则，，所以，所以，所以，当时，，即预测不合格品约为51件.18.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）证明：当时，.答案：（1）（2）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）由（2）知，当，在上单调递减，在上单调递增；所以，要证，即证，即证：，因为，即证：，令，所以，且，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，则所以恒成立，即成立，得证.解析：思路：（1）利用导数与切线斜率关系即可求解；（2）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（3）结合（2）可知，从而将问题转化为证明，令，利用导数研究的最小值即可证明结论.（1）当时，，所以，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）的定义域为，求导数，得，若，则，此时在上单调递增，若，则由得，当时，，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增.（3）略.19.在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人下棋比赛，假设每局比赛中甲