山东省济南市2025-2026学年高一下册7月期末学情检测数学试卷-含答案

数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.83.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.64.已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（）A.2 B.2.5 C.4 D.55.在中，，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该旋转体的体积为（）A. B. C. D.6.为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D，现测得米，在C点测得塔顶A的仰角为，在D点测得塔顶A的仰角为，且，则信号塔的高度为（）A.50米 B.100米 C.米 D.200米7.在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是（）A.抛掷次，事件“正面朝上”发生的次数可能是B.抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥C.抛掷次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为D.抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立10.已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，l与m，n都相交，则11.已知圆O的内接四边形，，，与交于点M，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则的最大值为3D.若，则四边形的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或3”，“向上的点数是1或5”，则______．13.已知，，且，则向量与的夹角为______．14.在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；（2）若根据各组频率的比例采用分层抽样的方法，从成绩在，内的志愿者中共抽取6人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法选出2人作为队长，请用适当的符号表示抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率．16.已知复数，，且是纯虚数．（1）求a；（2）求；（3）求的值．17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若的角平分线交于点D，且．（ⅰ）求；（ⅱ）求的值．18.如图，已知矩形，，，E是的中点，将沿折起，使得点D到达点P的位置，并连接，．（1）若的中点为F，证明：平面；（2）若四棱锥的体积为．（ⅰ）证明：平面；（ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．19.2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战袍威风十足．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面向的方向沿直线行走距离r．（1）已知机器人甲位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向，机器人甲执行1次指令，移动到点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）机器人甲按照指令继续移动，机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，两机器人恰好移动到同一点T，求的值；（2）已知机器人丙位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向．（ⅰ）若机器人丙连续执行3次（1）中的指令，移动到点M，求点M的坐标；（ⅱ）若机器人丙依次执行99次指令，第i次执行指令，其中，移动到点N，求点N到原点O的距离．

数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.解答过程：，所以该复数在复平面内的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.2.样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：思路：应用百分位数定义计算求解.解答过程：样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8，，所以样本的60%分位数为.3.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.6答案：A解析：思路：根据向量共线的坐标表示求的值.解答过程：因为，且，，所以，解得.4.已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（）A.2 B.2.5 C.4 D.5答案：A解析：思路：根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果.解答过程：因为5个互不相等的整数为满足平均数为2026，则总和为；因为这5个数为互不相等的整数，且极差为4，那么这5个整数只能是连续的5个整数：所以解得，所以这5个互不相等的整数为：方差为：.5.在中，，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该旋转体的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：过点作，垂足为，由题意可知：，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，可知旋转体为两个同底的圆锥的组合体，所以该旋转体的体积为.6.为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D，现测得米，在C点测得塔顶A的仰角为，在D点测得塔顶A的仰角为，且，则信号塔的高度为（）A.50米 B.100米 C.米 D.200米答案：B解析：思路：结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.解答过程：设，由题意得，而，得到，在中，，，由余弦定理得，解得，故B正确.7.在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取的中点N，连接，（或其补角）为异面直线和所成的角，利用余弦定理求解即可.解答过程：取的中点N，连接，因为，所以（或其补角）为异面直线和所成的角，设正方体的棱长为2，易求得，，所以．则异面直线和所成角的余弦值为8.已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令，设，根据向量在单位向量上的投影向量为，求出向量的坐标，从而得出向量的坐标.由，得出向量的终点轨迹为以为圆心，2为半径的圆，这样将求的最小值问题，转化为轴上一点到圆上一点的最小值问题.解答过程：因为为单位向量，令，设，因为向量在单位向量上的投影向量为，所以，所以，所以.又，所以，所以，解得，不妨取，则，设，因为，所以向量的终点在以点为圆心，半径的圆上.，，设，则点的轨迹为轴.表示向量的终点到向量的终点的距离，即的长度.求的最小值即求的最小值，因为圆心到轴的距离为，所以的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是（）A.抛掷次，事件“正面朝上”发生的次数可能是B.抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥C.抛掷次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为D.抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立答案：ACD解析：解答过程：对于A，抛掷10次硬币，每次都有可能正面朝上，所以“正面朝上次数为10”是随机事件，有可能发生，A正确；对于B，互斥事件是指两个事件不能同时发生，抛掷2次时，第一次正面朝上、第二次也可以正面朝上，两个事件能同时发生，不互斥，B错误；对于C，抛掷次硬币，所有等可能结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；“一次正面一次反面”包含2种情况，概率为，C正确；对于D，第一次抛掷的结果不会影响第二次抛掷的结果，所以“第一次正面朝上”和“第二次正面朝上”相互独立，D正确．10.已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，l与m，n都相交，则答案：BC解析：思路：利用空间中的位置关系依次判断选项.解答过程：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，因为，所以或，又，所以，故B正确；对于C，若∥，∥，，则与内一条直线平行，与内一条直线平行,则∥,因此∥,从而∥,即∥，故C正确；对于D，若，，则，l与m，n都相交，则三条直线共面，与可能平行、包含于或相交，故D不正确11.已知圆O的内接四边形，，，与交于点M，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则的最大值为3D.若，则四边形的面积为答案：ABD解析：思路：利用解三角形，三角函数，向量的运算等内容进行求解.解答过程：在中，，，.所以，所以.四边形内接于圆O，.又，所以.圆O直径，半径.对于选项A，，故A正确；对于选项B，设，因为三点共线，所以，即.所以，因此.因为，所以，所以，故B正确；对于C，设，在中，，.由正弦定理，得..，，因为，所以，即因为，所以，即.所以，所以当，即时，取得最大值，且最大值为4，故C错误；对于选项D，在中，，即，得.同理在中，.所以是方程的两根，所以.所以四边形的面积为，故D正确.方法提示：本题融合圆内接四边形、解三角形、平面向量等内容，核心抓手是等腰先算出定角与外接圆半径，综合考查几何等量转化与代数化简能力.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或3”，“向上的点数是1或5”，则______．答案：##解析：解答过程：由于掷一枚质地均匀的骰子的基本事件数为，“向上的点数是1或3或5”，所以.13.已知，，且，则向量与的夹角为______．答案：解析：思路：应用数量积公式结合模长计算求解向量夹角余弦得出角.解答过程：因为，，且，所以，所以，设向量与的夹角为，，所以，即得，，则向量与的夹角为.14.在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______．答案：解析：思路：过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接，利用正弦定理求得，结合勾股定理定理，，，设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于，由，即可求出外接球的半径，利用球的表面积公式即可求解.解答过程：如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接，由正弦定理得，则，为的中点，，，所以，因为，所以，所以，，因为平面平面，于，平面平面，则平面，故，设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于，则平面，于是，从而是矩形，所以外接球半径满足，解得，所以外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；（2）若根据各组频率的比例采用分层抽样的方法，从成绩在，内的志愿者中共抽取6人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法选出2人作为队长，请用适当的符号表示抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率．答案：（1），中位数为（2）解析：思路：（1）根据频率和为1可得，分析可知中位数在区间内，结合中位数的定义列式求解即可；（2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解即可.（1）由频率分布直方图可得：，解得．所以6组数据，，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.15，0.3，0.25，0.05，所以前3组的频率之和，前4组的频率之和，可知中位数在区间内．设中位数为x，则，得到．所以所求的中位数为．（2）根据频率可得：在，的两组志愿者分别有25人，5人，故按照分层抽样，抽得的志愿者人数为5，分别设为a，b，c，d，e，志愿者人数为1，设为f．这6人中选出2人，样本空间为，设选出的两人来自同一组为事件A，则，可得，，故选出的两人来自同一组的概率为．16.已知复数，，且是纯虚数．（1）求a；（2）求；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）-4解析：思路：（1）利用纯虚数的定义求解即可；（2）利用复数的乘法公式得到，利用共轭复数的定义即可求解；（3）利用复数模的公式求解即可.（1）由条件可得，若是纯虚数，则满足，解得．（2）由（1）知，所以，得到的共轭复数为．（3）由（1）知，根据模的计算公式得，即．又因为，根据模的计算公式得，即．所以．17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若的角平分线交于点D，且．（ⅰ）求；（ⅱ）求的值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据题意可设，，，结合余弦定理运算求解即可；（2）（ⅰ）由余弦定理可得，利用等面积法可得；（ⅱ）由角平分线定理得，利用余弦定理可得，进而可求数量积.（1）因为，可设，，，，则，又因为，所以．（2）（ⅰ）因为，由余弦定理可得，解得，又因为，则，．因为，则，即，解得；（ⅱ）由角平分线定理得，则，．在中，，所以．18.如图，已知矩形，，，E是的中点，将沿折起，使得点D到达点P的位置，并连接，．（1）若的中点为F，证明：平面；（2）若四棱锥的体积为．（ⅰ）证明：平面；（ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．答案：（1）取PA中点L，连接EL，LF，由题意可知，，且，又因为，且，则，且，则四边形ECFL是平行四边形，则，又因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．（2）（ⅰ）取AE中点H，连接PH，由题意可知，中，，，所以．设四棱锥的高为h，则．因为，，所以求得，即，所以平面ABCE，因为平面ABCE，所以．由题意可知，中，，，所以，所以，又因为，且两直线在平面内，所以平面PAE．（ⅱ）．解析：思路：（1）取PA中点L，连接EL，LF，可得四边形ECFL是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（2）（ⅰ）取AE中点H，连接PH，可证平面ABCE，由勾股定理可知，结合线面垂直的判定定理即可证明结论；（ⅱ）记直线PA与平面PBC所成的角为，点A到平面PBC的距离为d，则，利用等体积法求出即可求解.（1）略（2）（ⅰ）略（ⅱ）记直线PA与平面PBC所成的角为，点A到平面PBC的距离为d，则．因为，，所以．取BC中点G，连接HC，HG，HB，由题意可知为直角三角形，且，，，所以，又因为平面ABCE，所以，因为，所以，同理，因为，可得，因为，所以，所以，即直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为．19.2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战袍威风十