辽宁省营口市部分校2025-2026学年高一下册期末联考数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.2.已知向量，且，则的值为（）A.3 B. C.2 D.3.如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（）A. B. C. D.4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）A. B. C. D.5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知函数满足，且当时，，则（）A. B.C. D.8.已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若是异面直线，且，，，，则11.已知的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.B.若，则满足条件的有且只有一个C.若，且是整数，则D.若是的最小内角，则面积的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_______．13.底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所得棱台的体积为______．14.在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．16.在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）若，求证：为等边三角形；（2）若，，点D是边AB上的一点，且，求线段CD的长.18.已知函数．（1）证明：；（2）求的单调递增区间；（3）若函数在区间上存在2个零点和1个对称轴，求实数的取值范围．19.如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，，所以的共轭复数．2.已知向量，且，则的值为（）A.3 B. C.2 D.答案：A解析：思路：应用向量垂直的坐标表示列方程，求参数值.解答过程：由题设，可得.故选：A3.如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，共经过18个节气点，所以旋转的角度为．4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据斜二测画法可知，，又，所以，所以5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：解答过程：由及正弦定理，得，因为，所以，代入得，即，因为，所以，故，因为，所以，即的形状为直角三角形．6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.解答过程：如图，连接，因为平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，所以.7.已知函数满足，且当时，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由，得关于对称，判断的奇偶性，再利用函数的单调性即可判断.解答过程：由，所以关于对称，又，，所以为偶函数，当时，，所以在单调递增，所以，，又，所以，所以.8.已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：连接相交于点，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，根据求出，再利用是直角三角形求出可得答案.解答过程：连接相交于点，连接，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，连接，所以，解得，四边形是边长为的正方形，所以，设球的半径为，因为是直角三角形，所以，即，解得，则球的表面积为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AD解析：思路：根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误；对于C，因为，故C错误；对于D，，，，所以，故D正确．10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若是异面直线，且，，，，则答案：BC解析：思路：利用直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系逐项判断即可.解答过程：对于A，由线面平行的性质定理可知若，，，则，A说法正确；对于B，若，，则或，B说法错误；对于C，若，，，则或异面，C说法错误；对于D，过直线作平面，由结合线面平行的性质可知，因为是异面直线，所以与相交，又，，且，根据面面平行的性质可知，D说法正确.11.已知的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.B.若，则满足条件的有且只有一个C.若，且是整数，则D.若是的最小内角，则面积的取值范围是答案：ACD解析：思路：利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角得出的大小关系及范围，再根据三角形内角和定理结合三角函数即可判断C；先求出的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可判断D.解答过程：对于A，由及正弦定理，可得，所以，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以满足条件的有两个，B错误；对于C，因为，所以，由，得，所以，则，又是整数，若，符合题意；若，则，不合题意；随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意，所以，C正确；对于D，因为是的最小内角，则，则，当时，；当时，由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以，综上，面积的取值范围是，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_______．答案：解析：思路：利用两角差的正切公式即可求解.解答过程：由题意得：.13.底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所得棱台的体积为______．答案：解析：思路：割补法，结合相似图形性质，根据正三棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.解答过程：由题意知截去的正三棱锥与原正三棱锥相似，它们的底面边长的比为，则截去的正三棱锥与原正三棱锥的体积之比为，剩余的棱台的体积为原三棱锥体积的.而截去的正三棱锥的高为5，所以原正三棱锥的高为10，所以原正三棱锥的体积为，所以棱台的体积为.故答案为：.14.在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________.答案：解析：解答过程：如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则设，则，所以，，当且仅当时，取得最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的概念求出实数的值；（2）运用复数的除法运算求出，再根据复数模的概念求．（1）因为复数为纯虚数，所以解得．（2）由（1）得，所以，所以．16.在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.答案：（1）证明：连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，又为的中点，则有，平面，平面，所以平面.（2）证明：，分别为，的中点，则有，平面，平面，则有平面，，分别为，的中点，有，又，则有，平面，平面，则有平面，平面，，所以平面平面.解析：思路：（1）利用三角形中位线证明，可证平面.（2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面.（1）略（2）略17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）若，求证：为等边三角形；（2）若，，点D是边AB上的一点，且，求线段CD的长.答案：（1）因为，所以，所以，又，所以.若，由正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以为等边三角形.（2）解析：思路：（1）先利用余弦定理求出，再利用正弦定理得出；（2）根据即可求出.（1）略（2）因为，即，所以，解得.18.已知函数．（1）证明：；（2）求的单调递增区间；（3）若函数在区间上存在2个零点和1个对称轴，求实数的取值范围．答案：（1）因为当时，即时，，故．（2）（3）．解析：思路：（1）由余弦二倍角公式和辅助角公式化简得到，进而可求证；（2）由求解即可；（3）由（1）得，先通过周期满足，确定，再结合正弦函数的对称中心和对称轴，构造不等式求解即可.（1）略（2）令，解得，故的单调递增区间为．（3），设函数的最小正周期为，由题意可知，，即，解得，由正弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴．由，得，由得，又，所以，则或，解得，或，故实数的取值范围为．19.如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．答案：（1）在中，，，，所以，所以，在中，，，，所以，所以，又，平面，，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）由勾股定理得到，即可求证；（2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解；（3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解．（1）略（2）如图，连接，取的中点，连接．因为平面，平面平面，平面，所以，因为，，所以，因为，，是的中点，