内蒙古自治区赤峰市2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知直线：和直线：，若，则（）A. B. C. D.4.若棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.5.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（）A. B. C. D.6.已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（）A.2026 B.2025 C.2024 D.20237.函数的零点个数是（）A. B. C. D.8.已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（）A.数列的公差 B.数列的通项公式C.数列的前项和 D.数列是公比为2的等比数列10.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（）A.三角形的两个腰上的数字都是1B.在第8行中，从左到右第5个数字是70C.第9行所有数字之和为1024D.在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大11.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，函数的极大值点为B.当时，函数在上的值域为C.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是D.存在实数使函数的图象是轴对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________.13.已知复数是关于的方程的一个根，则________________.14.如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数（其中）的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求.16.某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数；（2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望.17.如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.（1）求证：平面；（2）若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知曲线上的动点与点，的距离的和等于.（1）求曲线的标准方程；（2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值.19.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）（ⅰ）讨论函数的单调性；（ⅱ）若有两个极值点分别为，，且在上不单调，记（为的导函数），证明：.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为自然数集是全体非负整数构成的集合，所以．已知，则．2.设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可．解答过程：先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，故不一定成立，即充分性不成立；再验证必要性：当且时，，必要性成立．综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件．3.已知直线：和直线：，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知直线：，可变形为，其斜率为，直线：，可变形为，其斜率为，因为，所以，解得．4.若棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解．解答过程：设正方体的体对角线长为，球的半径为,则由题意可知，正方体的对角线就是球的直径，即,所以，解得.所以球的表面积为.故选：C．5.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件概率公式即可求解．解答过程：设“第1次抽到几何题”为事件，“第2次抽到代数题”为事件，则，所以．6.已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023答案：A解析：思路：先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数.解答过程：对任意，将通项公式裂项得：

，则数列前n项和，代入裂项结果可得：

中间项全部抵消，化简得：

.由题意，列方程：

交叉相乘解得，即.7.函数的零点个数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可.解答过程：令，则，在同一坐标系作出两函数图象，从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点，又，所以也是的两个零点，且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点，则总共有3个零点，故选：D8.已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可得，，得，则，得，等号成立时，故的最大值为二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（）A.数列的公差 B.数列的通项公式C.数列的前项和 D.数列是公比为2的等比数列答案：ACD解析：思路：先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可.解答过程：选项A：设等差数列的公差为，由，可得：，代入得，解得，故A正确.选项B：等差数列通项公式为，故B错误.选项C：前项和，故C正确.选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确.10.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（）A.三角形的两个腰上的数字都是1B.在第8行中，从左到右第5个数字是70C.第9行所有数字之和为1024D.在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大答案：ABD解析：思路：根据杨辉三角的性质及二项式系数的性质分别判断即可．解答过程：对于A，由杨辉三角的定义及图形可知，三角形的两个腰上的数字都是1，即和，故选项A正确；选项B：第8行的数字对应展开式的二项式系数，即，从左到右第5个数字对应，即，故选项B正确；选项C：第行所有数字之和为，所以第9行所有数字之和为，而，故选项C错误；选项D：第2026行共有个数字，因为为偶数，所以二项式系数在时取得最大值，此时对应的是从左到右第个数字，故选项D正确．11.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，函数的极大值点为B.当时，函数在上的值域为C.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是D.存在实数使函数的图象是轴对称图形答案：BD解析：思路：当时，求得，得到的极大值点，可判定A错误；求得在上的单调性，得到值域，可判定B正确；求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可判定C错误；当时，得到，求得为偶函数，可判定D正确.解答过程：对于A，当时，，可得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以当时，取得极大值，即函数的极大值点为，所以A错误；对于B，由选项A得，在上单调递减，在上单调递增，所以，又由，所以函数在上的值域为，所以B正确；对于C，由函数，可得，若函数在上单调递增，可得在上恒成立，则满足，解得，即实数的取值范围是，所以C错误；当时，可得，则，因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以存在实数使函数的图象是轴对称图形，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________.答案：解析：解答过程：双曲线的焦点在轴上，半轴长，则渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，即半焦距，因此的离心率为.13.已知复数是关于的方程的一个根，则________________.答案：17解析：解答过程：由题意得，，即，得.14.如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________.答案：解析：思路：选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长.解答过程：设，因为是棱长为的正四面体，所以，且两两夹角为，则，,因为是的重心，所以，因为是棱的中点，所以，所以,因为点在线段上，且，所以，则，所以

，所以，即线段的长度为.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数（其中）的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据函数图象求出周期

和

，代入最高点坐标求得

，从而得到函数的解析式；（2）由

求出角

的值，再利用三角形面积公式，由余弦定理求解即可.（1）设函数的周期为，由图可知：，又，所以，因为，所以，即，又，所以，所以.（2）由，则，又，所以，由，由余弦定理得：，所以.16.某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数；（2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望.答案：（1）（2）解析：思路：(1)根据频率分布直方图计算各组频率，确定第百分位数位于区间内，利用面积比例列方程求解；(2)计算“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，根据分层抽样确定抽取的人中两类人的人数，确定随机变量的取值，利用超几何分布概率公式计算概率并求期望.（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：

:

，

:

，

:

，

:

，

:

，

:

，

:

.前组的频率之和为，前组的频率之和为，所以第百分位数位于第组内.设第百分位数为，则，解得.故这名学生日行步数的第百分位数为.（2）样本中“不健康生活方式者”的人数为人，“超健康生活方式者”（步数不少于千步）的人数为人.采用分层随机抽样的方法抽取人，则抽取的“不健康生活方式者”人数为人，抽取的“超健康生活方式者”人数为人.从这人中随机抽取人，表示抽取的人中“超健康生活方式者”的人数，则的可能取值为.

，

，

，

.所以的分布列为：.17.如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.（1）求证：平面；（2）若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）因为，，所以，又因为，则，所以，翻折后，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面.（2）解析：思路：(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直；(2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解.（1）略（2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知，所以，则，设平面的法向量，则，令，则，因为在线段上，且，则，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知曲线上的动点与点，的距离的和等于.（1）求曲线的标准方程；（2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据题意，得到，且，结合椭圆