辽宁省大连市第二中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.22.已知，则（）A. B. C. D.3.已知复数满足，则（）A. B. C.1 D.4.已知向量，向量与的夹角为且，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知直线a，b与平面α，β，γ，下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.6.已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（）A. B. C. D.7.已知圆锥的底面半径为，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，截得的圆台的表面积为（）A. B. C. D.8.设，，，则有（）A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分.共18分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.已知平面向量满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若在上的投影向量为，则10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（）A.若，则符合条件的三角形有两个B.已知向量，若与的夹角为锐角，则A的取值范围为C.若则的取值范围为D.若的外心为O，且，则11.已知正三棱台有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（）A.三棱台ABC-A₁B₁C₁的高为2B.平面OAB⊥平面OA₁B₁C.截面α的面积为12D.该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知是一元二次方程的一个根，则m=_______.13.已知四面体，，则该四面体外接球的表面积为__________.14.已知的内角的对边分别为，，则的最大值为_________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知平面向量满足（1）若求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值.16.设的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．17.如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知平行四边形ABCD（图1），，，，把沿AC边折起，使点B与点P重合（图2）.（1）已知平面与四面体PACD的各个面相交，交线围成一个平行四边形.请在图（2）中画出这个平行四边形（并说明画法和理由）；（2）若平面平面ACD，求PD的长；（3）若，求四面体PACD的体积.19.已知函数（1）若，求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数满足（i）求的值；（ii）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.

数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.2答案：A解析：思路：利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数解答过程：设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积，根据扇形面积公式，将已知条件代入可得：

，化简得，解得，所以，该扇形圆心角的弧度数为.2.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以.3.已知复数满足，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：解答过程：由题设，则.4.已知向量，向量与的夹角为且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：先求出向量的模，再将两边平方，结合向量数量积的定义列方程求解，舍去负的模长即可得到结果.解答过程：由，根据向量模长公式可得.将两边平方，得，展开得，已知两向量夹角为，即，代入上式得，整理为.解得或，由于向量模长为非负数，舍去，故.5.已知直线a，b与平面α，β，γ，下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据面面之间的位置关系判断.解答过程：对A，时，与可能相交，可能平行，当然也可能垂直，A错；对B，由面面垂直的判定定理知B正确；对C，，则与可能相交，可能平行，C错；对D，，由线面平行的性质定理知过的平面与平面的交线与平行，又，则得，从而由面面垂直的判定定理知，D正确.6.已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即，由点在的终边上，可得，根据三角函数的定义：，，所以.7.已知圆锥的底面半径为，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，截得的圆台的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用相似关系得到截面圆半径和圆台的母线长，再分别计算圆台的侧面积、上底面积与下底面积，求和即可得到圆台的表面积.解答过程：已知原圆锥底面半径，高，由勾股定理得母线长.由于截面过高的中点且平行于底面，截得的小圆锥与原圆锥的相似比为，因此小圆锥底面半径，母线长，可得圆台的母线长.上底面积；下底面积；侧面积，因此圆台的表面积.8.设，，，则有（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断.解答过程：，，，由在的单调性可知：.二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分.共18分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.已知平面向量满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若在上的投影向量为，则答案：ABC解析：思路：根据平面向量的模长运算、平行与垂直判定、投影向量及夹角计算，结合向量数量积的运算性质逐一分析选项即可.解答过程：选项A：对两边平方得，代入，得，解得.设两向量夹角为，则，得，，故与同向平行，A正确;选项B：对两边平方得，代入得，解得，故，B正确；选项C：在上的投影向量为，代入得，则，，又，故，C正确；选项D：在上的投影向量为，代入得，则，，，D错误.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（）A.若，则符合条件的三角形有两个B.已知向量，若与的夹角为锐角，则A的取值范围为C.若则的取值范围为D.若的外心为O，且，则答案：ACD解析：思路：根据题意求，可得，即可判断A;对于B，利用向量的数量积公式求解即可;利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C;对于D，根据,化简即可求解.解答过程：对于选项A：由题意可得：因为，所以三角形有两解，因此选项A正确；对于选项B:因为向量，若与的夹角为锐角，则，即，解得或，因此选项B不正确；对于选项C：因为那么可得所以那么得，所以，因此选项C正确，对于选项D：取中点，那么，如图：所以，同理可得，所以；因此选项D正确.11.已知正三棱台有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（）A.三棱台ABC-A₁B₁C₁的高为2B.平面OAB⊥平面OA₁B₁C.截面α的面积为12D.该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为答案：BCD解析：思路：对A，先利用正三角形面积、边心距公式算出上下底相关参数，结合正棱台存在内切球时斜高等于上下底边心距之和求出斜高，再通过轴截面直角三角形勾股定理求出棱台实际高，与选项给出高对比判断；对B，取上下底中点构造轴截面，证明两平面同垂直于轴截面，二面角平面角为​，用余弦定理算出夹角，证得面面垂直；对C，先分析得到截面即截面，通过解三角形算出​的面积进行判断；对D，分别算出棱台体积与三棱锥体体积，作差得到剩余部分体积，比较判断.解答过程：对于A：已知下底边长​，上底边长​，设三棱台上底面积为，下底面积为，则，正棱台有内切球的性质：斜高（为上下正三角形中心到边的距离），因为，故斜高。由勾股定理，棱台高满足：，得，即​，所以三棱台的高为，A错误；对于B：取中点，中点，则截面为棱台轴截面，因为为正三棱台内切球球心，所以，所以，又，，所以平面，所以平面平面，同理可证平面平面，所以是平面与平面所成二面角的平面角，因为棱台的高为，所以，又，所以，所以，平面平面，B正确；对于C：过作底面，垂足为，则设外心为，外心为，则，，因为，所以截面即截面，因为，所以，所以，所以，C正确；对于D：因为，，剩余部分体积​，所以较小部分与较大部分体积比：

，D正确.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知是一元二次方程的一个根，则m=_______.答案：解析：思路：由韦达定理求解.解答过程：是一元二次方程的一个根，则另一根为，所以.13.已知四面体，，则该四面体外接球的表面积为__________.答案：解析：思路：将对棱相等的三棱锥补形为长方体，其外接球与长方体外接球一致，通过长方体面对角线的关系求出外接球半径，进而计算表面积.解答过程：由于三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三棱锥的六条棱对应长方体的六个面对角线，二者的外接球为同一个球.如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为，球的半径为，根据题意可得：将三式左右两边分别相加，得，即.长方体的体对角线长度等于其外接球的直径，则，解得.则球的表面积为.14.已知的内角的对边分别为，，则的最大值为_________．答案：解析：思路：由正弦边角关系、三角形内角和及三角恒等变换得且，从而有，结合、和角正切公式得，最后应用基本不等式求最值.解答过程：因为，由正弦定理得，又，则，所以，即，所以，由，则，而，所以，所以角为钝角，，则角为锐角即，此时，由，所以，即，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知平面向量满足（1）若求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值.答案：（1）（2）(i)，(ii)解析：思路：（1）由数量积运算求解；（2）(i)由数量积运算及同角三角函数的基本关系求解；(ii)由同角三角函数的基本关系求解．（1）若，则，则．（2）(i)由，得，，，即，故；(ii)．16.设的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解；（2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解．（1）因为，且，所以，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，所以．（2）因为角C的平分线交AB于点D，所以，所以，所以，由（1）可知，，结合余弦定理可得，从而，，则，又，解得．17.如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明：如下图，在图2中，连接.在等边三角形中，为的中点，所以.在中，，，所以为等边三角形.因为为的中点，所以.因为PM⋂MC=M，平面，平面，所以平面.（2）（3）存在；.解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理可证明.（2）利用条件可得为二面角的平面角，再求得为等腰直角三角形即可.（3）假设存在，可得平行于平面内直线，在中，可利用平行线之间的比例得到，从而得到.（1）略（2）因为平面，平面，所以.因为，所以.因为，所以.所以为二面角的平面角.因为平面平面，平面PAB⋂平面，，平面，所以平面.因为平面，所以.在等边三角形中，，所以.在等边三角形中，.所以为等腰直角三角形，则.所以二面角的大小为.（3）假设在线段上存在点，使得平面.如图，连接交于点，连接.因为，，所以.因为平面，平面，平面PBD⋂平面，所以.在中，，所以.所以在线段上存在点，使得平面，且.18.已知平行四边形ABCD（图1），，，，把沿AC边折起，使点B与点P重合（图2）.（1）已知平面与四面体PACD的各个面相交，交线围成一个平行四边形.请在图（2）中画出这个平行四边形（并说明画法和理由）；（2）若平面平面ACD，求PD的长；（3）若，求四面体PACD的体积.答案：（1）若平面与棱的交点分别为，则为平行四边形，可得，且，且平面，平面，可得平面，又因为平面，平面平面，则，即，则，可得作法：在棱上分别取点，满足，则平面即为平面；若平面与棱的交点分别为，则为平行四边形，可得，且，且平面，平面，可得平面，又因为平面，平面平面，则，即，则，可得作法：在棱上分别取点，满足，则平面即为平