山东省滨州市2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.42.已知复数的共轭复数为，则下列各式的运算结果是纯虚数的是（）A. B. C. D.3.若集合，，则（）A. B. C. D.4.在中，设，，若，则（）A. B. C. D.5.已知某5个数的平均数为3，方差为4，若再添加一个数3，则这6个数的方差为（）A.3 B. C.2 D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.在长方体中，，，则下列说法正确的是（）A.直线与直线所成的角的正切值为B.直线与平面所成的角的正弦值为C.点到平面的距离为D.三棱锥的体积为8.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（）A.A与D互斥 B.A与B相互独立C.B与C互为对立事件 D.C与D相互独立二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.若函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为4B.C.函数在区间上单调递增D.方程在区间上的所有实数根的和为11.如图，在三棱锥形木块中，，，侧面内有一点P，过点P将木块锯开，使得截面平行于直线和.则点P在侧面（不包括边界）内运动时，下列结论中正确的是（）A.存在点P使截面图形是梯形B.对任意点P，截面图形是平行四边形C.对任意点P，截面图形的周长的取值范围是D.若，则截面的面积的最大值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最大值为_________.13.已知非零向量，满足，则，的夹角为_________.14.已知半径为2的球与正三棱柱的每个面都相切，则该三棱柱的外接球的表面积为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求：（1）恰有1人通过测试的概率；（2）至少有1人通过测试的概率.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域.17.每年4月23日是世界读书日，今年的主题是“共促全民阅读，共建书香社会”.为了鼓励全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某市教育主管部门通过随机抽样，调查了当地200位中学生的阅读情况，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计.现将这些学生每天阅读的时间分成五段：，，，，（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这200位中学生每天阅读时间的平均数M和第75百分位数m（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从和两组中用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取2人进行经验交流，求这2人来自同一组的概率.18.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，的面积为，求的周长；（3）设D为线段上一点，满足，若，求的面积.19.如图，在三棱锥中，平面，垂足为O，点O在内.记二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为.（1）记的面积为，的面积为，若，求；（2）若三棱锥各面的面积相等，求；（3）若，，两两垂直，求.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.4答案：B解析：解答过程：若，则，解得.2.已知复数的共轭复数为，则下列各式的运算结果是纯虚数的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：复数的共轭复数为，对于A，是实数，A不是；对于B，是实数，B不是；对于C，是纯虚数，C是；对于D，，D不是.3.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：集合，而，所以.4.在中，设，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以.5.已知某5个数的平均数为3，方差为4，若再添加一个数3，则这6个数的方差为（）A.3 B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：设原5个数分别为，再添加一个数为，则，，即，，所以新数据的平均数为，方差为.6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，则，且，则，所以.7.在长方体中，，，则下列说法正确的是（）A.直线与直线所成的角的正切值为B.直线与平面所成的角的正弦值为C.点到平面的距离为D.三棱锥的体积为答案：C解析：思路：利用几何法求出异面直线夹角正切判断A；利用定义法求出线面角的正弦判断B；求出点到平面的距离判断C；利用等体积法求出体积判断D.解答过程：在长方体中，，，对于A，，则是直线与直线所成角或其补角，而，因此，A错误；对于B，由平面，得是直线与平面所成的角，而，因此，B错误；对于C，四边形是该长方体的对角面，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，因此平面，点到平面的距离为，C正确；对于D，三棱锥的体积，D错误.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（）A.A与D互斥 B.A与B相互独立C.B与C互为对立事件 D.C与D相互独立答案：B解析：解答过程：对于A，当朝上的点数为6时，事件同时发生，不互斥，A错误；对于B，，则，相互独立，B正确；对于C，当朝上的点数为6时，事件同时不发生，不对立，C错误；对于D，事件，，，不独立，D错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：因为的终边经过点，则，可得，，，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误.10.若函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为4B.C.函数在区间上单调递增D.方程在区间上的所有实数根的和为答案：ABD解析：思路：AB选项，根据函数图象求出解析式，AB正确；C选项，得到，故函数在区间上不单调；D选项，求出在区间上的根，相加可得答案解答过程：A选项，设的最小正周期为，则，故，A正确；B选项，由题意得，，故，将代入得，，因为，所以只有当，即时满足要求，B正确；C选项，，时，，因为在上不单调，故在上不单调递增，C错误；D选项，，故，即，时，，故或，解得或，故在区间上的所有实数根的和为，D正确11.如图，在三棱锥形木块中，，，侧面内有一点P，过点P将木块锯开，使得截面平行于直线和.则点P在侧面（不包括边界）内运动时，下列结论中正确的是（）A.存在点P使截面图形是梯形B.对任意点P，截面图形是平行四边形C.对任意点P，截面图形的周长的取值范围是D.若，则截面的面积的最大值为6答案：BCD解析：思路：对于AB，通过线面平行性质推导可知截面恒为平行四边形，对于C，利用截面三角形与原三角形的相似比，建立周长关于比例系数的函数关系，通过定义域范围求得值域，对于D，在垂直条件下，通过面积公式构建关于比例系数的二次函数即可求得最大值.解答过程：对于AB，设经过点且平行于直线和的截面为，因为，且平面，设平面平面，其中点在边上，点在边上，则有，因为，且平面，设平面平面，其中点在边上，则有，因为，且平面，设平面平面，其中点在边上，则有，因为，且平面，设平面平面，则有，综上，且，所以截面始终是一个平行四边形，故A错误，B正确，对于C，由，可知，设，由题意得，则，由，可知，则，则，平行四边形的周长，由得，故截面图形的周长取值范围是，C正确，对于D，若，因为且，则有，则平行四边形是一个矩形，其面积，因为，所以当时面积取最大值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最大值为_________.答案：解析：解答过程：因为函数，当，则，当且仅当时，等号成立；当，则；综上所述：函数的最大值为1.13.已知非零向量，满足，则，的夹角为_________.答案：解析：解答过程：由，得，则，因此，而，解得，所以，的夹角为.14.已知半径为2的球与正三棱柱的每个面都相切，则该三棱柱的外接球的表面积为_________.答案：解析：思路：根据正三棱柱的性质结合条件可得外接球半径，进而即得.解答过程：设底面正三角形边长为，高为.半径为的球与三棱柱的每个面都相切，该球为内切球.球与上下底面相切，得.球与侧面相切，球心到侧面的距离等于底面正三角形的内切圆半径，即.由，解得.三棱柱外接球球心与内切球球心重合，设外接球半径为.底面正三角形外接圆半径.外接球球心到底面顶点的距离为.外接球表面积.故该三棱柱的外接球表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求：（1）恰有1人通过测试的概率；（2）至少有1人通过测试的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）（2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式求解.（1）记甲、乙通过测试的事件分别为，则，恰有1人通过测试的事件为，所以恰有1人通过测试的概率为.（2）由（1）得至少有1人通过测试的事件为，所以.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域.答案：（1），单调递增区间为，。（2）值域为。解析：思路：（1）先用三角恒等变换化简函数为的形式，由周期公式求最小正周期，再结合正弦函数单调递增区间解不等式得到增区间；（2）代入平移关系求出解析式，确定给定定义域内整体相位的取值范围，结合正弦函数图像求出对应函数值域.（1）

.最小正周期，令，，得，，故单调递增区间为，.（2）由题意

，当

时，，

，故

，即值域为.17.每年4月23日是世界读书日，今年的主题是“共促全民阅读，共建书香社会”.为了鼓励全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某市教育主管部门通过随机抽样，调查了当地200位中学生的阅读情况，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计.现将这些学生每天阅读的时间分成五段：，，，，（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这200位中学生每天阅读时间的平均数M和第75百分位数m（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从和两组中用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取2人进行经验交流，求这2人来自同一组的概率.答案：（1）（2）平均数，第75百分位数（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1建立方程求解；（2）根据平均数公式计算各组中点值与频率乘积之和，根据百分位数的定义结合累积频率求解；（3）利用分层抽样确定各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可.（1）

由频率分布直方图可知，组距为，根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，可得，即，解得，所以.（2）各组频率分别为:

；:

；:

；:

；:

.平均数为各组中点值与对应频率乘积之和，.因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以第百分位数位于第四组内.由，解得，即.（3）组的频率为，组的频率为，两组频率之比为.利用分层随机抽样抽取人，则从组中抽取的人数为人，记为；从组中抽取的人数为人，记为.从这人中随机选取人，所有可能的情况有

，共种.其中人来自同一组的情况有，共种.故所求概率.18.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，的面积为，求的周长；（3）设D