江西省吉安市九校联考2025-2026学年高二下册6月阶段训练数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（）A.1 B. C.2 D.2.已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（）A. B. C. D.3.已知数列的前项和，则（）A. B. C. D.4.函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（）A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和分别为，若，则（）A. B. C. D.6.已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（）A.1米 B.2米 C.3米 D.4米8.某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列结论正确的是（）A.有3个零点 B.当时，C.既有极大值又有极小值 D.的图象关于点中心对称10.已知随机变量服从二项分布，若，则（）A. B.C. D.11.已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（）A.是递增数列 B.C. D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则______．13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．14.在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．16.如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．（1）求的长度；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.已知函数．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求的方程；（2）已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）已知，若存在，使得在上恰有3个零点，求的取值范围．附：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：.2.已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式；对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式．3.已知数列的前项和，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，则，所以.4.函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过的单调性，判断的正负，即可求得的正负.解答过程：由图象可得，在上单调递增，所以时，；在上单调递减，所以当时，；当时，；在上单调递增,当时，．综上，的解集为．5.已知等差数列的前项和分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因均为等差数列，则.6.已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用等边三角形的几何特征，得到双曲线渐近线的斜率，再结合双曲线的离心率公式即可求得.解答过程：抛物线的准线方程为，因为为等边三角形，所以，而双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即，所以离心率．7.某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（）A.1米 B.2米 C.3米 D.4米答案：D解析：解答过程：设底面边长为米，高为米，则，总造价，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米．8.某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：解答过程：若体育课安排在最后1节，则其余4节课的安排方案有种，若体育课安排在倒数第2节，则语文课、数学课可以安排在第1，2节或第2，3节，再安排剩余2节课，不同的安排方案有种，故共有种不同的安排方案．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列结论正确的是（）A.有3个零点 B.当时，C.既有极大值又有极小值 D.的图象关于点中心对称答案：BCD解析：思路：根据导函数可以将原函数的大致图像画出来，从图像可以直接判断A，B，C三个选项，用对称中心的定义可以直接判断D选项.解答过程：，当时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，既有极大值又有极小值，的极小值为，当时，，只有1个零点，A错误，B，C均正确．，，，所以的图象关于点中心对称，D正确．10.已知随机变量服从二项分布，若，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：利用二项分布的期望和方差公式将期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可．解答过程：随机变量服从二项分布，则．因为，所以，A选项正确，C选项错误；因为，所以，B选项正确，D选项错误．11.已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（）A.是递增数列 B.C. D.的取值范围为答案：BD解析：思路：对递推式作差得出，先分析原数列单调性判断选项A；利用递推式讨论数列的单调性，判断选项B；采用特殊值法，判断选项C；利用数列的性质，结合数列有界性，讨论的取值范围，判断选项D．解答过程：选项A：，当且仅当时取等号，若，则，是递增数列；若，则，以此类推，是常数列，不是递增数列，故A错误.选项B：当时，，故，则，对任意实数恒成立，故恒成立，故B正确.选项C：由A知，当时，，此时，不能是，故C错误.选项D：由B可知，为递增数列或常数列，若数列有界，则存在极限值，设极限为，对两边取极限，则，解得，则，即，满足必要性；若，利用数学归纳法，假设，则，则数列有界，满足充分性；综上，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则______．答案：解析：解答过程：因为数列是等比数列，设公比为，则，又，则，得到，所以.13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：求导得，再分三种情况，利用导数得到单调区间，结合题意求解．解答过程：．当时，在上单调递增，符合题意．当时，令，解得或，所以在和上单调递增，符合题意．当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意．故的取值范围为．14.在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________．答案：1解析：思路：利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可.解答过程：在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为，，，，中边上的高为，则，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，得，因此点到平面的距离，所以点到平面的距离的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）观察递推式，通过变形构造新数列，可发现其为等比数列，求出首项和公比后，即可得到新数列通项，进而还原出的表达式；（2）通项是等差数列乘等比数列，采用错位相减法：先写出的展开式，两边同乘公比后与原式相减，对差式中的等比数列部分求和，化简整理即可得到．（1）由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，解得；（2）①，②，①②得，，所以．16.如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．（1）求的长度；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用线面垂直的性质，由平面得，结合轴截面是正方形的直角条件，推出，再通过相似三角形的比例关系直接求解；（2）建立空间直角坐标系，先根据已知条件确定点的坐标，再利用平面得到平面的法向量，最后用向量法计算直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，即为线面角的正弦值．（1）连接，因为平面，平面，所以，在正方形中，，，所以，，所以，即，解得；（2）连接，过点作，垂足为，在中，，，，所以，，在中，，，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．答案：（1）0（2）．解析：思路：（1）根据给定条件，按分类，结合导数确定单调性求解.（2）由给定不等式构造函数，再利用导数确定单调性，结合一元二次不等式恒成立列式求解.（1）当时，，符合题意；对于，则，当时，，则在上单调递增，且时，故，当时，所以，若时，取，此时，不符合，同理，当时，若时，取，此时，不符合，综上，的值为0．（2）不等式等价于，令函数，则原不等式等价于，而，则函数在上单调递增，因此，即恒成立，由，解得，所以的取值范围为.18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求的方程；（2）已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．答案：（1）.（2）①证明：设，则．因为，所以直线与直线的斜率分别为．，所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为．②．解析：思路：（1）由离心率和点在椭圆上建立方程组，求出即可；（2）①设，利用椭圆方程化简斜率乘积即可证明.②四边形可分割为和，分别用坐标表示面积，利用基本不等式求最值.（1）由离心率，得，则.又点在椭圆上，代入得，即，即，解得，，故椭圆的方程为.（2）①略②设，则，．四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以四边形面积的最大值为．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）已知，若存在，使得在上恰有3个零点，求的取值范围．附：．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）代入得到函数解析式，再利用导数求切线方程即可；（2）法一：求导得，令，接着对求导，再利用导数分析函数的单调性，结合在上恒成立，即在上恒成立进行求解；法二：根据题意，利用参变分离得在上恒成立，令，然后利用导数求的最大值即可；（3）由（2）可知时不符合题意，时，易得在上有两根，设为，进而得到函数在上的单调性，再结合零点个数求参数范围即可．（1）当时，．．所求切线方程为，即．（2）法一：．令函数．记的两个根为，且．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以极大值，又当时，．由，解得，此时，．若，则，即．综上，的