江西省九江市第一中学2025-2026学年高二上册开学质量检测数学试卷-含答案

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C.2 D.42.已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.3.中，，，，则（）A B. C. D.4.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）A. B. C. D.5.已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（）A2 B. C.1 D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.30海里8.如图，设，，线段与交于点F，且，则（）A.4 B.3 C. D.5二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数（），则（）A.当z为实数时，B.当z为纯虚数时，C.当z的实部与虚部相等时，D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则()A.B.C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合11.在正四棱柱中，，点H在棱上，且直线与直线所成的角为，则（）A.B.三棱锥的体积为C.直线与底面所成角的余弦值为D.平面截正四棱柱所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若球O的表面积为，则该球的半径为______．13.在矩形中，，P为边上一点，则_____．14.经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知非零向量，，且．（1）求x的值；（2）求向量与的夹角；（3）求向量在方向上的投影向量的模．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）已知，证明：是等腰三角形．17.已知，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求．18.在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．（1）证明：平面．（2）求二面角正切值．（3）在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19.已知函数，．（1）设函数，，求的值域．（2）设函数．已知，，，求最小值．

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：思路：根据复数的乘法运算以及复数模的计算公式，即可求得答案.解答过程：由题意得，故，故选：B2.已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.解答过程：由直线的斜率公式可得：；.结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理直接求解即可.解答过程：在中，由余弦定理得.故选：A4.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出平行四边形的面积，再根据直接求解.解答过程：因为四边形是平行四边形，且，，所以平行四边形面积根据直观图与原图面积关系，所以.故选：5.已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可.解答过程：连接交于点E，由四边形为正方形，得，且为中点，由⊥底面，平面，得⊥，而，平面，则平面，因此AE的长即为点到平面的距离，又正方体棱长为，则，而平面，平面，则平面，故直线到平面的距离，即点到平面的距离.故选：C6.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用和角的正余弦公式化简求解.解答过程：由，得，整理得，所以.故选：B7.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.30海里答案：B解析：思路：根据题设画出示意图，利用正弦定理可得.解答过程：依题意，画出示意图如下，，，在中，，由正弦定理得，因此（海里），所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里.故选：B.8.如图，设，，线段与交于点F，且，则（）A.4 B.3 C. D.5答案：D解析：思路：先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案.解答过程：，，又，故，所以，因为，，所以，因为三点共线，所以，故.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数（），则（）A.当z为实数时，B.当z为纯虚数时，C.当z的实部与虚部相等时，D.z在复平面内对应的点不可能位于第一象限答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断.解答过程：对于A，复数实数，则，A正确；对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确；对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误；对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解，因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.故选：ABD10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则()A.B.C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合答案：BCD解析：思路：对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得.解答过程：对于A：如图，因为为等边三角形，且高为，所以边长为，所以，，，A错误；对于B：因为点的坐标为，所以，所以，，解得又，所以，B正确；对于C：由上知，而，C正确；对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为，即所得图象与函数的图象重合，D正确.故选：BCD.11.在正四棱柱中，，点H在棱上，且直线与直线所成的角为，则（）A.B.三棱锥的体积为C.直线与底面所成角的余弦值为D.平面截正四棱柱所得截面的面积为答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用正四棱柱结构特征，结合线面角求解判断AC；求出三棱锥体积判断B；作出截面并求出面积判断D.解答过程：在正四棱柱中，，对于A，由直线与直线所成的角为，得，而，则，A正确；对于B，连接，则点到平面的距离等于斜边上的高，，而是的中点，则点到平面的距离为，又，则，B错误；对于C，连接，由底面，得是直线与底面所成的角，，C正确；对于D，分别取中点，连接，由，，得四边形平行四边形，则且，而四边形平行四边形，因此，平行四边形为平面截正四棱柱所得截面，而，即平行四边形为菱形，又，所以，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若球O的表面积为，则该球的半径为______．答案：解析：思路：利用球的表面积公式列式求解.解答过程：设球O的半径为，由球O的表面积为，得，解得，所以该球的半径为.故答案为：13.在矩形中，，P为边上一点，则_____．答案：9解析：思路：根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算得解.解答过程：在矩形中，，，由P为边上一点，得，，所以.故答案为：914.经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______．答案：解析：思路：根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围.解答过程：如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况，，，直线的区域包含倾斜角为的情况，斜率或，从而或，又，结合正切曲线可得．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知非零向量，，且．（1）求x的值；（2）求向量与的夹角；（3）求向量在方向上的投影向量的模．答案：（1）1（2）（3）解析：思路：（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.（2）根据向量的夹角公式求解即可.（3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案.（1）已知非零向量，，故，而，故，解得或，由于为非零向量，故，故；（2）结合（1）可知，，则，故，故向量与的夹角为；（3）向量在方向上的投影向量为，，故向量在方向上的投影向量的模为.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）已知，证明：是等腰三角形．答案：（1）（2）证明见解析.解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证.（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由及正弦定理，得，由（1）知，因此，即，所以是等腰三角形.17.已知，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可.（2）利用二倍角的正余弦公式化简得解.（3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解.（1）由，，得.（2）由，得.（3）由，，得，由（1）知，则，，，所以.18.在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．（1）证明：平面．（2）求二面角的正切值．（3）在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）（3）存在，，理由见解析.解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）作出二面角的平面角，在中求值；（3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值.（1）因为底面，所以底面，平面，所以，所以，又，是中点，所以.因为底面，平面，所以，又底面是正方形，所以，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）因为底面，平面，所以平面⊥底面，过点作，因为平面平面所以平面，过作，连接，则，所以是二面角的平面角.因为是中点，所以，设，则，所以，所以，即二面角的正切值是.（3）对线段上的点，因为平面，平面，所以，则当时，满足条件.如图，在四边形中，过作，垂足为，交于，则，设，则因为，所以，所以，又，所以所以，又，所以，此时时，，，平面，所以平面，平面，所以平面⊥平面.19.已知函数，．（1）设函数，，求的值域．（2）设函数．已知，，，求的最小值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数，再利用余弦函数性质求出值域.（2）求出函数并确定其周期，再分段探讨函数的性质，确定最小正周期及最小值、最大值，并作出部分图象，借助图象求出的最小值.（1）依题意，，由，得，则，所以的值域为.（2）函