江西省九江市六校联考2025-2026学年高一下册期末数学试卷-含答案

高一年级下学期期末考试数学试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.考查范围：必修第二册。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z=aA.0 B.2或-2 C.2 D.-22.已知一个扇形的圆心角为108°，则这个圆心角的弧度数为A.3π5 B.2π5 C.4π5 3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列说法错误的是A.EF=13ABC.CB−CE=BE4.已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组对边分别平行于x'轴和y'轴，则原四边形的面积为A.4 B.8 C.42 D.825.已知tanθ=3,则sin2θ-cos2θ=A ^) C.−15 D.6.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，点B在直线y=2x上.若向量OA在向量AB方向上的投影向量的模为55A.(1,2)B.(2,4) C.−12−1 D.（127.如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动.现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为104π3,A.2 B.3 C.4 D.58.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sinAsinB+A.34 B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z=5iA.|z|=1B.z在复平面内对应的点位于第二象限C.D.10.在空间中，设A，B为两个不同的点，l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有A.若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α B.若l∩m=∅,则l与m平行或异面C.若l⊂α,m⊂β,且α∥β,则l∥m D.若α⊥β,l⊂α,则l⊥β11.某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米.叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒.为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为h(t).设t=0时该叶片与竖直向上方向(正上方)的夹角为-45°(即顺时针偏转45°)，则下列说法正确的有A.hB.在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的1C.方程h(t)= (t+1)在区间[0,6)上所有解的和为4.5D.若h(t+r): t)对任意t恒成立，则r的最小正值为1.5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数. 的值域为.13.若存在不相等的实数β∈02π3,使得14.如图,动点C在以AB为直径的半圆O上(异于A,B),.DC⟂BC,DC=BC,∣AB∣=2,∣CA−BC四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知sinα=35(1)求sinπ+α(2)若cosα+β16.(15分)已知复数z满足z2=z(1)求复数w;(2)若复数w是关于x的实系数二次方程x217.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a(1)求角C的大小；(2)将函数f(x)=sin(x+C)+1的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象.若g18.(17分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,BC=23,点D,E分别为棱PB,PC的中点.(1)证明:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥A-BDE的体积;(3)在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF⊥平面ABC?若存在，求出AFFC19.(17分)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为θ(0<θ<π)。对于任意实数t,定义u(t)=ta+b,v(t)=a+tb.(1)当θ=2π(2)设F(t)=u(t)·v(t),若F(t)在R上有最小值,求θ的取值范围,并求出此时F(t)的最小值m(θ)(用θ表示);(3)在(2)的条件下,若不等式m(θ)≤λ|a+b|²,对一切使F(t)有最小值的θ恒成立,求实数λ的最小值.高一年级下学期期末考试数学参考答案1.【答案】D【解析】由题意{a−2≠0,2.【答案】A【解析】1083.【答案】C【解析】由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且EF与AB方向相同，则EF=13AB,故A正确;DF−CE=DF+EC=24.【答案】B【解析】解法一：根据斜二测画法规则，平行于x'轴的线段在原图中长度不变，平行于y'轴的线段在原图中长度变为原来的2倍.直观图是边长为2的菱形，因此平行于x'轴的边，原图中长度仍为2；平行于y'轴的边，原图中长度为4.由于直观图中菱形的邻边分别平行于x'轴和y'轴，故原四边形的邻边互相垂直，原四边形为矩形，原矩形面积S=2×4=8.故选B.解法二：已知直观图是边长为2的菱形，面积Sf(逆=2×2×sin45∘5.【答案】A【解析】sin2θ−cos2θ=26.【答案】D【解析】由点B在直线y=2x上,设B(x₀,y₀),其中y0=2x0则AB=x0−1y7.【答案】B【解析】记外层空心球与内层同心小球的半径分别为R，r，由题意有4πR2=9×4πr2,即R=3r.又两者间空心部分体积为8.【答案】C【解析】由正弦定理得ab+ba=4cosC,即a2+b2ab=4cosC.又由余弦定理得a2+b2ab=4⋅a2+b2−c22ab=9.【答案】BCD(每选对1个得2分)【解析】对于A，∣z∣=∣5i∣∣1−2i∣=55=510.【答案】AB(每选对1个得3分)【解析】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A正确；空间中两条直线没有公共点，则它们平行或异面，故B正确；虽然α∥β，但l与m可能平行，也可能异面，故C错误；只有α⊥β，l⊂α，且l与α和β的交线垂直时l⊥β，故D错误.故选AB.11.【答案】ABD(每选对1个得2分)【解析】由题意叶片尖端距离地面的高度ht=80+20cosπ3t−π4=80+20sinπ3t+π4,故A正确;由h(t)≥90得cosπ3t−π4≥12,在一个周期T=6秒内，满足条件的角度区间长度为2π3,对应时间秒，占比26=13,故B正确；12.【答案】[-5,1]【解析】当sinx∈[0,1]时f(x)=sinx∈[0,1];当sinx∈[-1,0)时f(x)=5sinx∈[-5,0),所以f(x)的值域为[-5,1].13.【答案15【解析】由sinωα=1+sinωβ2−cos14.【答案】22(第一空2分,第二空3分)【解析】由题意可知O为AB的中点，且∣CO∣=1,则∣CA−BC∣=∣CA+CB∣=2∣CO∣=2;设.∠BOC=2θ,θ∈0π215.解:(1)由sinα=35,α∈又sinπ+αtanπ所以sinπ+α(2)由cosα+β则α+β∈3π则sinα+β故cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=516.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z代入z2=z得即a2由复数相等得{a由z的实部大于0,即a>0,解得a=1,b=0,(5分)此时z=1.(6分)则w=z(2)由(1)知w=12−1因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为w，由韦达定理w+ww⋅w故p=-1,q=117.解:(1)由题意得(a2由余弦定理a代入得2absinCcosC=ab.(2分)因为ab>0,所以sin2C=1.(4分)又0<C<π,则0<2C<2π,故2C=π2,解得(2)由(1)知C=π4,则gx由gA=3故A=π又a=2,故c=a⋅18.(1)证明:在△PBC中,因为D,E分别为PB,PC的中点,所以DE∥BC.(2分)又DE⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,(4分)所以DE∥平面ABC.(5分)(2)解:由于D,E分别为PB,PC的中点,故S△BDE记A到平面PBC的距离为d，则V三棱锥侧A−BDE(10分)故V三棱锥A-BDE的体积为33(3)解:过点E作EH⊥AC,(12分)因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC,(13分)又EH⊥AC,EH,PA⊂平面PAC,所以PA∥EH,(14分)所以EH⊥平面ABC,平面EHD⊥平面ABC,(15分)故取F点与H重合时，平面DEF⊥平面ABC，此时AFFC19.解:(1)当θ=2π3时，∣ut故当t=14时,|u(t)|²取最小值所以∣ut∣min=2=4t+2cos这是关于t的二次函数，对