江苏省南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一下册6月期末调研数学试卷-含答案

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B. C.1 D.42.已知一组数据的方差是4，那么另一组数据，，，，的方差是（）A.10 B.12 C.34 D.363.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，，则5.在等腰中，，，则的值为（）A. B.-2 C.2 D.6.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆的高度.在过点的水平地面上确定两个观测点，.在点处测得在的北偏东60°方向上，米；点在点的正东方向上，米，在点处测得的仰角为60°.则旗杆的高度为（）米.A. B. C. D.8.已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B.C.若是纯虚数，则 D.，两点之间的距离为510.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是锐角三角形D.若是锐角三角形，则11.在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使得B.当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为C.若平面，则线段的最小值为D.若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____13.已知，，则_____14.如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据测评的数据制成频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在，，的市民中抽取200人，则从评分在内的市民中应抽取多少人?（3）估计本次测评分数的60百分位数和平均数.16.如图，在平行四边形中，，.设，.（1）试用，为基底表示，；（2）若，，，求和的值.17.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，（1）求证：；（2）若，求的值；（3）求的取值范围.18.如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求点到平面的距离.19.已知点S是直线外一点，点M在直线上（点M与点P、Q任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点S对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.已知在三棱锥中，侧棱平面，.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若点D在棱的延长线上，且，由点O对施以视角运算，求的值；（2）若点E在边上，，，由点对施以视角运算，，求的最小值：（3）若是的边的等分点，由点A对施以视角运算，求的值.

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B. C.1 D.4答案：B解析：思路：利用向量共线的坐标表示列式求解.解答过程：由向量，，因为，得，则实数的值为.2.已知一组数据的方差是4，那么另一组数据，，，，的方差是（）A.10 B.12 C.34 D.36答案：D解析：思路：利用数据方差的性质即可.解答过程：设数据的方差为，根据方差的性质得所求方差为：.3.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：，所以在第三象限，故选C．4.已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，，则答案：B解析：思路：利用直线与平面，平面与平面的平行及垂直关系可判断.解答过程：对于A，根据直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；对于B，若，，则平面与可能平行，也可能相交.当且，满足题设条件，但与不平行，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，是平面与平面垂直的性质定理，故D正确.5.在等腰中，，，则的值为（）A. B.-2 C.2 D.答案：C解析：解答过程：根据余弦定理得，由，得.6.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据扇形的面积公式求出圆锥的母线长，进而可求得扇形的弧长，圆锥的底面半径、高，最后可得体积.解答过程：设圆锥的母线长为，底面半径为.由扇形的面积公式得，解得.所以圆锥的侧面展开图的弧长为，又圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，即，解得.所以圆锥的高为，所以体积为.7.某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆的高度.在过点的水平地面上确定两个观测点，.在点处测得在的北偏东60°方向上，米；点在点的正东方向上，米，在点处测得的仰角为60°.则旗杆的高度为（）米.A. B. C. D.答案：B解析：思路：先运用余弦定理计算出，再运用直角三角形三边的关系求出结果.解答过程：由题可得，根据余弦定理，得，解得，由题可得，故.8.已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先应用余弦定理得出，再结合向量的数量关系应用数量积公式得出边长，最后应用角分线定理计算面积.解答过程：因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，且，所以，所以，所以，所以，在中，，所以，所以，所以，由角平分线定理得，所以，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B.C.若是纯虚数，则 D.，两点之间的距离为5答案：ABD解析：思路：由公式可得A；先求再求模即可得B选项；为纯虚数可得所以C错；用两点间距离公式即可判D选项解答过程：由求模公式得则A选项正确；，，，故B选项正确；为纯虚数可得所以故C错；，两点为和，所以距离为，所以D选项正确10.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（）A.若，则是等腰三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是锐角三角形D.若是锐角三角形，则答案：ABD解析：思路：结合正弦定理、余弦定理、向量的数量积、三角函数的单调性，逐项判断结论是否成立.解答过程：选项A：根据正弦定理（R为外接圆的半径），得，代入得，因为，所以均为正数，故，排除（此时不符合三角形要求），得，所以为等腰三角形，A正确.选项B：因为，所以，故，所以为直角三角形，B正确.选项C：由余弦定理及知，为钝角，所以是钝角三角形，C错误.选项D：为锐角三角形，则，因为在上单调递增，故，D正确.11.在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使得B.当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为C.若平面，则线段的最小值为D.若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为答案：ACD解析：思路：选项A，将线线垂直转化为线面垂直找点P；选项B，连接，利用定义判断线面角为，通过边长关系计算正弦值；选项C，通过面面平行找到动点P的轨迹，利用余弦定理判断为钝角即得出最小值;选项D，通过球的相关知识，将球的关系转化成以为圆心的圆在平面内的弧长关系，找出轨迹，利用扇形的弧长公式计算轨迹.解答过程：选项A，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以当点P与点重合时，选项A正确；选项B，P是正方形的中心时，平面，所以与平面所成角为，因为，，所以，所以，选项B错误选项C，过点作平面的平行平面，所以为线段的中点，所以点，在三角形内，，，，所以为钝角，所以线段取最小值时为，选项C正确；选项D，因为在平面的投影为，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线等价于以为圆心，为半径的圆在平面的轨迹，如下图：为以为圆心，为半径扇形弧长，所以，，所以，所以，由对称可知，所以，所以由扇形弧长公式得，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____答案：解析：思路：由正弦定理及合比性质即可得；解答过程：由正弦定理可知，所以，所以.13.已知，，则_____答案：解析：思路：先应用两角和余弦及辅助角公式计算得出，结合角的范围得出，最后应用特殊角余弦计算求解.解答过程：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.14.如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____答案：解析：解答过程：取的中点为，连接，因为和均为边长为的正三角形，所以，又二面角的大小为90°，所以平面平面，又平面平面，所以平面，平面，设与的外心分别为，过分别作所在平面的垂线，相交于，则为三棱锥外接球的球心，连接，则为外接球的半径，因为，，所以外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据测评的数据制成频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在，，的市民中抽取200人，则从评分在内的市民中应抽取多少人?（3）估计本次测评分数的60百分位数和平均数.答案：（1）（2）（3）百分位数为，平均数为解析：思路：(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为建立方程求解；(2)计算各层对应的频率，利用分层抽样比例计算抽取人数；(3)根据百分位数的定义利用面积法求解，利用组中值乘以频率求和计算平均数。（1）由频率分布直方图可知，组距为.根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，可得：

，即

，解得

，所以

.（2）评分在的频率为

，评分在的频率为

，评分在的频率为

.因为采用分层抽样的方式抽取人，所以从评分在内的市民中应抽取的人数为

（人）.（3）设本次测评分数的百分位数为.前三组的频率之和为

，前四组的频率之和为

，所以百分位数位于第四组内.由

，即

，解得

.所以估计本次测评分数的百分位数为.估计本次测评分数的平均数为：

.所以估计本次测评分数的平均数为.16.如图，在平行四边形中，，.设，.（1）试用，为基底表示，；（2）若，，，求和的值.答案：（1）；（2）；解析：思路：（1）利用平面向量线性运算法则即可得解；（2）利用向量的模长和数量积计算即可.（1）由得..由得..（2）.代入，，.得，故..17.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，（1）求证：；（2）若，求的值；（3）求的取值范围.答案：（1）证明：由已知条件，利用二倍角公式，有，，代入已知等式得，​因为为锐角三角形，所以，即，所以，则，因为和均为锐角，正切函数在上单调递增，所以，即.（2）（3）解析：思路：（1）利用商数关系、二倍角正余弦公式化简条件为，根据三角形内角性质及正切函数性质即可证；（2）由正弦边角关系及（1）结论得，再应用平方关系、二倍角正弦公式求函数值；（3）由正弦边角关系及（1）结论，应用三角恒等变换得，且，应用换元法及余弦函数的区间值域及二次函数的性质求范围.（1）略（2）由正弦定理，可得，因，则，由（1）知，代入上式得，解得，因为为锐角，所以，所以；（3）由正弦定理，因为，且，所以①，因，代入①得，则，由可得，令，因为，所以，设，可知在上单调递增，而，，故，即的取值范围是.18.如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求点到平面的距离.答案：（1）取的中点，连接，因为在中，是的中点，是的中点，所以是的中位线，所以，且，因为底面是菱形，所以，且，因为是的中点，所以，所以，且，所以四边形是平行四边形，从而，因为平面，平面，所以.（2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为底面是菱形，，所以是等边三角形，又是的中点，所以，因为，所以，由于，，且，所以平面，因为平面，所以，由（1）知，所以，在中，，，且，所以是等腰直角三角形，因为是斜边的中点，所以，又因为，所以，因为，且平面，所以平面.（3）解析：思路：（1）取的中点，连接、，利用线面平行的判定定理证出即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明即可；（3）使用等体积转换法，计算核心：，可求解出点到平面的距离.（1）略（2）略（3）设点到平面的距离为。在中，，，所以，