2026人教版九年级数学下册：相似三角形的判定与性质（30题）带答案

相似三角形的判定与性质（30题）

1.（2023•东莞市校级一模）如图，在平行四边形48CO中，48=8.在8C的延长线上取一点8,使"=

—BC,连接/IE,AE与CD交于点F.

3

（1）求证：△ADFsMCF；

（2）求。尸的长.

【分析】（1）由平行四边形的性质可得出从而得出ND4F=NCEF,ZADF=/ECF,即证明

△ADFSAECF；

（2）由平行四边形的性质可得出力。=8C,AB=CD=S,即得出胆;3,再根据相似三角形的性质可得

CE

出处理，即更=3，最后结合。。=。丹<凡即可求出。”的长.

CECFCF

【解答】（1）证明：•・•四边形48CO为平行四边形，

C.AD//BC,UPAD//BE,

:・/DAF=NCEF,NADF=NECF,

:.△ADFsAECF：

（2）解：•・•四边形48CO为平行四边形，

:.AD=BC,AB=CD=8,

•*,CE=yAD»即詈=3.

,:△ADFsRECF,

AAD=DF即更二3.

CECFCF

,：CD=DF+CF,

3

•'­DF-y<?D=6-

4

2.（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形488,DE交BC于F,交力4的延长线于E,且NEDB=N

C.

（1）求证：AADESADBE；

（2）若DC=1cm,BE=9cni,求的长.

1

初中数学九年级下册（人教版）

【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得N<=NC,即可求得N/=NEQ&又由公共角NE=NE,

可证得

（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可.

【解答】（1）证明：平行四边形力8。中，ZJ=ZC,

■:NEDB=/C,

：./A=/EDB,

又NE=N£,

:.△ADES&DBE；

(2)平行四边形48C。中，DC=AB,

由(1)得AADEsADBE,

•.•DE二BE一.

AEDE

VDC=7cm,BE=9cm,

：・AB=7c/n,AE=\6cnn

：.DE=\2cm.

3.（2023秋•高新区校级期中）如图，在矩形力AC。中，E是边BC的中点，DF上<E于点、E.

（1）求证：空望

BEAE

(2)若48=4,BC=6,求4F的长.

【分析】（1）由四边形力5C。为矩形，DFL4E,可得NB4E=N4DF,推导出△/。/7s△£44,即可证

明结论;

（2）£为8c的中点，根据勾股定理可得4E=5,再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得4E的

长即可.

【解答】（1）证明：:四边形/18C。为矩形，DHAE,

2

初中数学九年级下册（人教版）

:・/B=NAFD=90",

AZBAE+ZEAD=ZEAD+ZADF=90°，

：,/BAE=NADF,

:.AADFSAEAB,

.AF=AD

**BEAE,

（2）解：•・•£•为8c的中点，

：.BE=—BC=3,

2

在RtZ\/18E中，AE=VAB2+BE2=^42+32=5•

..AF=AD

,BEAE'

•.•AF_6,

35

••.一.

4.（2023秋•丰泽区校级期中）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题:

AA

图1图2

（1）如图1,在△/iSC中，尸是边月6上的点，连接CP,若NACF=/B,求证：△ACP—LABC;

（2）如图2,已知N/=8I°,4c2=AB・4D,BC=BD,求。的度数.

【分析】（1）根据N/CP=N8,NC/1P=N84。即可得出结论；

（2）先由力•力。得力。：力。=力。：力从再根据NC4B=NQ力。可判定△/C4和△4DC相似，进

而得N4C8=NO,然后由8c=8。得N8CO=NQ,据此可得出//CO=2N。，然后利月三角形的内

用和定理可求出/。=40°,进而可求出/48C的度数.

【解答】（1）证明：•:/ACP=NB,NCAP=NBAC,

3

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:./\ACP^AABC,

(2)解：・：AC2=AB*AD,

：.ADzAC=AC：AB,

又,：/CAB=/DAC,

△4CBS&DC,

・•・ZACB=ZD,

,:BC=BD,

:./BCD=ND,

：.ZACD=ZACBMBCD=24D,

VZ^CZ>4-ZZHZJ=180o,Z/l=81o,

A2ZD+ZZ)+81O=180°,

・・・NO=33°,

：・4BCD=/D=33°,

:./ABC-NBCD4/D-66°.

5.(2023秋•武侯区校级期中)如图，EJABCD't'»工BC于点、E,点尸在6C的延长线上，且CF=BE,

连接力C,DF.

(1)求证：四边形4EEO是矩形：

SAACT

(2)若N/CD=90°,AE=4,CF=3,求——%的值.

【分析】（1）先证明四边形力£尸。是平行四边形，再证明尸=90°即可;

（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.

【解答】（1）证明：・・・。/=8£,

：・CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

&LJABCD+,AD〃BC且AD=BC,

：・4D〃EF且AD=EF.

・•・四边形4EFO是平行四边形.

YAEtBC,

：.ZAEF=9（）Q.

工四边形是矩形；

（2）解：：四边形力£7曾是矩形，

4

初中数学九年级下册(人教版)

/.ZAEC=ZDFC=90c,AE=DF=4,

：,ZEAC+ZECA=90°,

VZACD=90°,

：.ZECA+ZDCF=90°,

/./EAC=NDCF,

:.AAECsACFD,

.AE=CF=3

“ECDF4'

：.EC=2AE=—,

3

nJxAEXEC、X4X孕

.SAAEC_2___________23_也

SACFD-^-XCFXDF《X3X卷9

243

6.（2023秋•浙江期中）如图1,在正方形月8C。中，—,F为BE上的一点、,连结。'并延长交力4

DE2

于点M,作MN_LCM交边力。于点M

(1)当b为8£中点时，求证：AM=2CE；

(2)如图2,若旦2=2,求细■的值.

【分析】(1)如图1中，证明△4EW丝△£?((ASA)即可解决问题.

(2)如图2中，由AB//CD,推出旦2=^•上，设CE=2k,则BM=3k,推出。。=力4=4上证明△4WN

BMBF3

八BCM、可得幽迪△,可得4"一3仁ND一认止此即可解决问题.

BMBC222

【解答】(1)证明：如图1中，

•・•四边形48CQ是正方形，

：.AB=CD.AB"CD,

：./MBF=NCEF,

•:BF=EF,NBFM=/CFE,

:ABFM迫XEFCCASA),

5

初中数学九年级下册（人教版）

:.BM=CE,

..CE=1

'DE2,

.・.8W=_14W,

2

(2)解：在正方形48CQ中，AB//CD,

・•・乙FMB=/FCE,/FBM=/FEC,

：,△FBMs^FEC,

•.•EC二EF二29

BMBF3

设CE=2鼠则8A/=3上

・・CE=1

,DET

:.DE=4k,

：,CD=AB=4k,

：.AM=AB-BM=3k,

•:MN工CM,

:・NNMC=90°,

・・・N4WN+N8MC=90°,

VZA+ZABC=90a,

AZJW+ZJW=90°,

工/BMC=4ANM,

J&4MNS/\BCM,

.AN_AM_1

一丽同巧’

.•.月N=±k，

2K

9

:.ND=AD-AN=3k,

2

3k

.AN/J

•而"T7"?

5k

7.（2023秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（—2，0），B（0,3）,点C在x轴上，且

4

2CRs八ROC.

6

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（1）求C点坐标、N48C的度数：

（2）在线段4C上是否存在点使得以线段8"为直径的圆与边4C交于Q点（与点3不同），且以

点P、C、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】（I）由△408SZX80C,根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出。点坐标；

根据相似三角形的对应角相等得出NO/8=NO8C,从而得HN/8C=90°；

（2）如果以点P、。、。为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=C。：@PC=

PO；®OC=OP.针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段力C上，然后根据相似三角形的对应

边成比例求出点股的坐标.

【解答】解：（1）由题意，A（—，0），B（。，3）,

'4

工。力=9,。8=3,

4

•/4AOBs^BOC,

：・NOAB=NOBC,

.0A=OB

**0B0C*

9

•.•1-■3,*

30C

：.OC=4,

：.C(4,0)；

：・NO4B+NOB4=90°,

：.ZOBC+ZOBA=90°,

：.ZABC=90a；

(2)设AfCm,0)>

①如图1,当b=C0时.，点尸在8M为直径的圆

•・・8M为圆的直径，

••・/8尸."=9（）°,

7

图1

初中数学九年级下册（人教版）

:.PM"AB、

:.MCPMSMCBA,

:,CM：CA=CPzCB,

CM：6.25=4：5,

ACM=5,

/.w=4-5=-1,

・••点M的坐标为（7,0）；

②如图2,当PC=P。时，点夕在为直径的圆上，且点。在。。垂直平分线上,

：.PC=—BC=2.5,

2

•・•用W为圆的直径，

・・・N8PM=90°,

:.PM〃AB,

:.△CPMsKBA,

：，CM=—AC=—,

28

，点M的坐标为（［，0）；

8

③当OC=O尸时，M点不在线段4。上.

图2

8.（2023秋•卫辉市期中）如图，在正方形力4。。中，在8。边上取中点E,连接。£过点£作痔_1£。

交AB于点、G、交04延长线于点立

（1）求证：丛ECDs丛DEF♦、

8

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【分析】（1）根据正方形的性质得出//石。=/。=90°,BC//AD,根据平行线的性质得出NCEO=N

FDE,再根据相似三角形的判定得出即可;

（2）根据正方形的性质得出/C=90°,AD=BC=CD=4,求出CE,根据勾股定理求出QE,根据相

似得出比例式，代入求出即可.

【解答】（1）证明：•・•在正方形W8CQ中，EFVED,

:./FED=NC=90",

YBC"AD,

:・/CED=/FDE,

・••△ECDS/\DEF；

（2）解：•・•四边形48C。是正方形,

AZC=90o,AD=BC=CD=4,

•・・E为8C的中点,

：,CE=0.5BC=2

在Rt^QCE中,

由勾股定理得：OE2="2+OC2=22+M=20,

•・•△ECDSADEF,

:,CE：DE=DE：DF,

A2：DE=DE：DF,

2DF=DE2,

解得:DF=10,

*0=4,

1,AF=DF-AD=10-4=6.

9.（2023秋•西安期中）如图，在菱形力比?。中，对角线/C,6。相交于点O,EBA.AB,垂足为点4,交

.4C于点E.

⑴求乐

(2)若4E=6,48=5,求EC的长.

9

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【分析】（1）根据菱形的性质得到彳CJ_8Q,AB=BC,证明根据相似三角形的性质证

明即可：

（2）证明△404s△48E,根据相似三角形的性质求出根据菱形的性质计算即可.

【解答】（1）证明：•・•四边形48c力为菱形，

：.AC±BD,AB=BC,

•:EBL1B,

:.NEOB=/EBA,

•：/OEB=/BEA,

:./XEOBSAEBA,

.0E=BE

**0BAB*

•:AB=BC,

.OE=BE.

"OBBC,

（2）解：VZAOB=ZABE=90°,ZOAB=ZBAE,

:.△AOBsAABE,

,OA=AB

**ABAE>

•；AE=6,AB=5,

•・•0A.5*

56

解得：04=空，

6

：.EC=20A-AE=—-6=1.

33

10.（2023秋•宝山区期中）如图，在四边形44。。中，对角线力。与4。交于点E,ZBAC=ZBDC=

90°.（1）求证：△/

（2）如果幽“［，求,包PE.的值.

BC4S^BCE

10

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4

【分析】（1）根据两组角对应用等的两三角形相似；

（2）利用相似三角形面枳比等于相似比的平方即可求解.

【解答】（1）证明：・・・NA4C=/BOC=90°,

又：NAEB=/DEC,

/.MABEs4DCE：

（2）解：二AABEs^DCE,

・AEBE

DECE

•/ZAED=/BEC,

:.XAEDSABEC,

,ADV5

••—>

BC4

•SAADE5

••二1・

^△BCE16

11.（2023秋•罗湖区校级期中）在锐角三角形力8c中，点。、上分别在边力4、4C上，力凡L8C于点凡AG

LDE于点G,NBAF=NEAG.

（1）求证：4ABCS&AED；

（2）若/出=5,AG=2,EG=1,求力户的长.

【分析】（1）根据等角的余角用等证明N4?Q=N/18C,即可解决问题；

（2）由△猾/"△/EG,得空=地，然后根据勾股定理求出力£,进而即可解决问题.

AGAE

【解答】（1）证明：・・"G_LQE,AFA.BC,

••・NAFB=NAGE=9Q0,

ZBAF=ZEAG,

・•・NAED=NABC,

•：NEAD=NBAC,

:.△ADE—AABC；

11

初中数学九年级下册（人教版）

（2）解：由（1）可知：NAFB=NAGE=90°,

♦：NBAF=NEAG,

:./XABFsAAEG,

・AF=AB

**AGAE,

■:AB=5,AG=2,£6=1,AG上DE,

AJ£=22=

VAG+EG^22+12=匹

・AF.5

FF'

:,AF=2限

12.（2023秋•丹阳市期中）如图，在中，E为48边的中点，对角线力。、8。交于点。.连接QE

交力C于点凡且。"=2.

（1）求对角线力。的长度；

（2）若△//）£的面积为4,求四边形E8C/的面积.

【分析】（1）UL48C。中，对角线4C、BD交于点、O,贝i]O4=OC,由于E为月8边的中点，可得£0是

△力4。中位线，从而OE〃力。且力。=2。七，歹ij比例式即可解决；

（2）根据同高三角形面积之比等于底的比，主要利用由（1）得OF：JF=I：2和平行四边形两对角线

相交分的四个三角形面积相等即可解决.

【解答】解：（1）•・・在匚M8c。中，对角线4。、BD交于点、O,

：・OA=OC,OB=OD,

•・•£1为边的中点，

・・・£。是△力8。中位线，

〃/。且力。=2OE,

,OE_OF_1

,*AD=AF~2'

'：OF=2.

AJF=4,

：,AO=FO+AF=6,

：,AC=2OA=n^

（2）由（1）知。尸：AF=1：2,

12

初中数学九年级下册（人教版）

:，S>ADF：S&DOF=OF：AF=I：2,

:ASAADF=SADOF,

乙

•••△彳。产的面积为4,

•・•必。”=2,

SAAOD=S&ADF：+SADOF=4+2=6，

由于在UU4C。中，对角线力C、BD交于点、（）,

：•S△月BC=2s△力。。=12,

由(1)知OE//AD,

•.•OF二E—F一二1,

AFDF2

・'・Szuo尸：S&AEF=DF：EF=2t1,

•••S△田=/S△助F=2'

:.四边形EBCF的面积=54歌-S△花尸=12-2=10.

13.(2023秋•城关区校级期中)如图，DE〃BC,且NABE=NC.

(1)求证：AE2=AD・AB；

(2)如果/七=4,80=6,求力。.

【分析】（1）易证△ABEsA/CB,以此得到力。=堂一,易证N4DESA4BC,得至lj幽•①，将力。=

AEABAC

过代入整理即可得到所证结论：

AE

（2）由80=6,可得力〃=6+,4。，结合（1）中的结论可得关于力。的一元二次方程，求解即可.

【解答】（1）证明：•:乙ABE=z：C,//=/力，

・•・"BESAACB,

,:DE〃BC,

：.AADEs△人BC.

13

初中数学九年级下册（人教版）

皿

•AD

ABAc

AD-AE

•AB

AB2

AE

整理得：4E2=AD・AB；

（2）解：°：BD=6,

：.AB=BD+AD=6+AD,

由（1）知，AE?=AD・AB,

：.42=AD（6+4。），

解得：力。=2或力。=-8（不合题意，舍去），

：.AD=2.

14.（2023秋•高新区校级期中）如图，为△48。的两条直角边N8=4c〃?，4c=3cm,点D沿,4B从4向B

运动，速度是1。加秒，同时，点E沿4C从4向C运动，速度为2。加秒.动点£到达点。时运动终

止.连接力石、CD、AE.

（1）当动点运动时间—_当或为一秒时，4BDE与△"（?相似.

137

（2）在运动过程中，当CO_LDE时，/为何值？请说明理由.

【分析】设。点运动时间为，秒，则力。=/秒，BD=（4-f）秒，〃E=2/秒，CE=（5-2/）秒（03五

5）

2）；

（1）分类：当NBDE=NBAC,即时，RtA^f^RtA^C；当NBDE=/BCA,BPDEIBC

时，RSDESRSCA,然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出l的值；

（2）先计算出。/斯，若CDLDE,则易证得Rt△力COsRt^QE,然后根据三角形相似

的性质得到比例线段求出九

【解答】解：设。点运动时间为，秒，则4。=/秒，BD=（4・力秒，BE=2f秒,CE=（5-2r）秒（0

♦wS）,

2

（1）当NBDE=NBAC,即时，Rt/^BDE^RtABAC,

:・BD：BA=BE：BC,即（4-r）：4=2/：5,

14

初中数学九年级下册(人教版)

当NBDE=NBCA,即OE_L8c时，

:,BD：BC=BE：BA,即(4-/)：5=2/：4,

•.7'

所以当动点运动型秒或反秒射，4BDE与"BC相似；

137

故答案为：毁或反：

137

(2)当COJ_OE时，f=2秒.理由如下：

13

如图，过点£作七/」/出于E

DF=AB-AD-BF=4-t~—=4--

55

,：CD1DE,

：.ZCDE=90°,

AZZz4DC+ZEDF=90°,

VZ5/lC=90o,

AZADC+ZACD=90°,

；・NACD=NFDE,

■:4CAD=NDFE,

：.Rx^ACD^Rt^FDE,

：-ACzDF=AD：EF,即3：（4■里/）=t：旦,

55

.*./=—（秒）.

13

15.（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在四边形力品。中，4C平分/D48,AC?=AB・AD,NADC=

90°,点E为的中点.

（1）求证：AADCsAACB；

(2)若力。=2,AB=3,求鲤的值.

AC

15

初中数学九年级下册（人教版）

【分析】（1）根据角平分线的定义得到ND4C=NO8,根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据相似三角形的性质得到ZHC0一//力。一90°,根据直角三角形的性质得到CE-月石，根据等

接三角形的性质、平行线的判定定理证明CE〃力。，然后根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【解答】（1）证明:平分

:.NDAC=/CAB，

，：AC1=AB*AD,

.AC=AD

**ABAC，

；・△ADCs“CB；

（2）解：由（1）知：△40cs△4C&

/.ZACB=ZADC=90°,

•・•点£为48的中点，

:・CE=AE=±1AB=&2,

22

/.NEAC=NEC4,

：.ZDAC=ZEAC,

，NDAC=/ECA,

:,CE〃AD,

3_

.CF=CE=7=J.

AD~24,

•・•AF".""4•

AC7

16.（2023秋•梁溪区校级期中）如图，已知月6〃C尸，点。是月6上一点，DF交AC于点、E,且OE=

FE.

（1）求证：△ADE"ACFE；

（2）若AB=7,C产=4,求8D的长.

16

初中数学九年级下册（人教版）

【分析•】（1）利用角角边定理判定即可；

（2）利用全等三角形对应边相等可得力。的长，用44-4。即可得出结论.

【解答】（1）证明：-：AB//CF,

/.ZA=ZECF,/ADE=NF,

在△/£）七和△CPE中，

2A=NECF

,ZADE=ZF，

DE=FE

A^ADE^ACFE（AAS）；'

（2）解：由（1）知，AJDE^ACFE,

：.AD=CF=4,

•:AB=1,

：.BD=AB-AD=1-4=3.

17.（2023秋•鹿城区校级期中）如图，点E是矩形力8CO的边。〃上的一点，力/_LQE于点尸.

（1）求证：AAEDSADCE.

（2）若月8=4,AD=2,CE=\,求4尸的长度.

【分析】（1）根据四边形/以弟是矩形可得出/月。。=/。=90°,再根据相似三角形的判定定理可得

出AADFs△QCE,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

（2）由矩形的性质可得出OC的长及N4）C=NC=90",利用勾股定理可求出OE的长，由垂直的定

义可得出N/1H>=NC,利用同角的余角相等可得出NEOC=ND4凡进而可得出△£OCS/\D4R再利

用相似三角形的性质可求出DF的长度.

【解答】（1）证明：•・•四边形力8c。是矩形，

AZADC=ZC=90a,

AZADF+ZCDE=9（）0,

'：AFLDE.

17

初中数学九年级下册（人教版）

:•/AFD=/DAF+NFDA=9G°,

:・NFAD=NCDE,

・•・△/"△OCE；

（2）解：•・•四边形/8。是矩形，

:.DC=AB=4,N/QC=NC=90°.

VCE=1,

・••D£=VDC2-*CE2=V42+12=V17.

'：AFLDE,

/.ZAFD=90°=ZC,NADF+NDAF=90°.

又•：NADF+NEDC=9（）°,

，4EDC=NDAF，

・•・/XEDCS^DAF,

.AF=AD

**DCDE

.AF_2

一丁而

声

17

却力少的长度为约等.

18.（2023秋•秦都区校级期中）如图，在菱形/8CZ）中，连接彳C,〃为边48延长线上一点，连接

分别交对角线力C、边8c于〃、C两点，连接

（1）求证：/CBM=4CDM；

（2）若DM=2jj,MG=2,求“〃的长.

DC

ABH

【分析】（1）根据菱形的性质判定可得/1=N2,AD=BC,则即可得结论；

（2）结合（1）的结论证明利用相似三角形的判定和性质即可得结论.

【解答】（1）证明：在菱形48CQ中，连接力C,

18

初中数学九年级下册（人教版）

又•.•cw=aw,

:・ACDM沿4BCM(SAS),

4CBM=/CDM；

(2)解：在菱形48C。中，

：.CD//AH,

：.N"=/CDM,

由(1)知△CDWgaBCM,

・•・/CBM=ZCDM,DM=BM=2时，

:./H=/CBM,

又,:4BMG=HMB,

.BM_MG

"MH"BN'

・2732

MH2V3

解得：M〃=6.

19.(2023秋•裕华区月考)如图所示，延长平行四边形48C。一边8。至点R连接4厂交。。于点E,若

DE

CE'3'

(1)求证：/XADEsMBA；

(2)若BC=3,则"'的长9.

【分析】（1）利用平行四边形的性质可以证明△/OEs△尸比1；

（2）结合（1）利用相似三角形的性质和已知条件即可求解.

【解答】（1）证明：•・•四边形48C。为平行四边形，

：,AD//BF,AB//CD,AD=BCf

:•△ADES^FCE,AFECSAFAB,

・•・△ADES^FBA；

（2）解：YAADEs^FCE,

19

初中数学九年级下册（人教版）

.AD=DE

**CFCE?

・・DE=1

,CET

:.CF=3AD=3BC,

V5C=3,

・・・CF=9,

故答案为；9.

20.(2023•石城县模拟)如图，/E平分NB/C,。为力E上一点，NB=/C.

(1)求证：AABESAACD；

(2)若。为月£中点，BE=4,求CD的长.

【分析】（1）根据角平分线定义可得N8力E=NC4O,进而可以证明结论；

（2）结合（1）,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】（1）证明：・・7E平分/曲C,

：・/BAE=/CAD,

•：ZB=ZC.

:.△ABESAACD：

（2）解：丁。为力E中点，BE=4,

：.AE=2AD,

△ABEs2CD,

,BE=AE

"CDAD'

・4=2AD

'"CD而’

：.CD=2.

21.（2023秋•朝阳期中）如图，在。中，D、E分别在4C、/出上，1G_L4C于点G,4FLED于点、

F,NE4F=NGAC.

（1）求证：△ADES&BC.

（2）若40=5,AB=7,求里的值.

GC

20

初中数学九年级下册（人教版）

【分析】(1)根据等角的余角用等证明/力£。=/4。，即可解决问题；

(2)由△月Z)£s△力8a推出坐3,可得幽=2,再证明△£>!/S/XC4G,可得变空,由此即

ACABAC5GCAC

可解决问题.

【解答】(1)证明：・・ZGJ_8C,AFLDE,

：.ZAFE=ZAGC=90°,

VNEAF=NGAC,

・••N4ED=NACB,

•：/EAD=NBAC,

:./\ADEsAABC.

(2)解：由(1)可知：/XADESAABC,

・AEAD

••—*

ACAB

-：AD=5,AB=7,

•・•A'E'二5'

AC7

由(1)可知：NAFE=N4GC=9()",

NE4F=/G4C.

:•丛EAFsACAG,

•・•EIF・二AE,

GCAC

・EF5

GC7

22.(2022秋•内江期末)如图，已知中，AB=AC,点。、石分别在边8C、4C上，N4DE=NB.

(1)求证：AABDSADCE；

(2)若AB=5,BC=6,BD=2,求点£到8。的距离.

21

初中数学九年级下册（人教版）

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得N8=NC,由外角的性质可得/以。=NCQ£,可得结论;

（2）由相似三角形的性质可求解.

【解答】（1）证明：・.Z8=4C,

AZ5=ZC,

ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,

：・NB4D=NCDE,

・•・AABDSADCE；

(2)如图，过点4作力〃_L4C于〃，过点E作于.W,

:.BH=CH=3,

:"H=7AB2-BH2=V25-9=4,

\'BD=2,BC=6,

：.DC=4,S&BD心义BD・AH=4,

•・•△ABDS/\DCE,

S

.AABD(AB)2-25

^ACDECD16

***^ACD£=-^7-»

：.kx^XEM=—,

225

・••点E到AC的距离为丝.

25

23.（2023秋•泗水县期中）如图，4月为0。的直径，射线力C交。。于点C,力。平分NC/B交。。于点

D,过点。作直线OE_L4C于点E,交48的延长线于点足连接8。并延长交4c于点M.

（1）求证：直线DE是。。的切线；

（2）若/斤=30°,ME=V3,求0M的长.

22

初中数学九年级下册（人教版）

【分析】（1）连接OD,根据等腰三角形的性质得到N"）/=NOW,根据角平分线的定义得到NO4）=N

DAC,证明0。〃力。，根据平行线的性质得到。E_LOQ,根据切线的判定定理证明即可；

（2）根据题意求出N"QE=3D°,根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】（1）证明：连接OQ,

•：OD=OA,

：・NODA=NOAD,

•••力。平分/C48,

；.乙OAD=NDAC,

：.ZODA=ZDAC,

：.OD//AC,

*：DEYAC,

:・DELOD,

•••OQ是OO的半径，

・,・直线QE是。。的切线；

（2）解：・・78是O。的直径,

:・/ADB=90°,

由（1）可知：OD"AC,AODF=ZAED=9QQ,

VZF=30°,

:・NBAM=NFOD=60°,

•：OB=OD,

，△060=60°,

:.NBAM=NABM=NM=6（T,

：・4MDE=30°,

:.DM=2ME=2M.

23

初中数学九年级下册(人教版)

24.(2023秋♦祁阳县期中)如图，在△/8C中，N8=NC,点P从8运动到C,且N4PO=NC.

(1)求证：AB・CD=CP・8P；

(2)若力〃=6,4C=1(),求当长为多少时，PD//AB.

【分析】(1)先根据得出证明/力PC=N34P,得出△48Ps△尸°。，根据相似三角形性

质得出胆②，即可证明结论；

CPCD

(2)根据平行线的性质得出/历1P=乙"D=/C,证明△84>s48C/1,得出胆根据力8=6,

BCAB

5C=10,求出BPJ，即可得出当BP』时，PD//AB.

55

【解答】(1)证明：VZZ?=ZC,NAPD=/C,

：2B=/APD,

•••NAPC=/APD+/DPC,/APC=/B+/BAP,

:・NDPC=NBAP,

:.△ABPS^PCD,

•,•AB=BP一,

CPCD

:・ABCD=CPBP.

(2)解：如图，PD//AB,

:・NBAP=NAPD=NC,

又,：4B=/B,

:•△BAPsABCA,

・ABBP

BCAB

•：4B=6,8C=10,

24

初中数学九年级下册（人教版）

.6,BP

••・

10T

18

••BP-

25.（2023秋•普陀区期中）如图，在四边形/18C。中，对角线力C、8。相交于点E,过点石作月。的平行

线下G,分别交力从DC于点尸，G,且空■口■.

(1)求证：EG//BC；

(2)如果£b=2,AD=3,求8c的长.

【分析】（1）由平行线分线段成比例可得丝=坐，可得垩=”，可得结论;

GCECECBF

（2）通过证明可得旦旦=此，可求处,，即可求解.

ADABAB3

【解答】(1)证明：・.・R7〃4D,

.DG_=AE

"GCEC,

•.,AF二DG,

BFGC

.AE=AF

*EC丽，

\EG//BC,

(2)解：,:FG"AO,

,.△EFBSADAB,

.EF-BF

,ADAB1

:EF=L力。=3,

.BF=2

*AB~3

:FG〃AD,

25

初中数学九年级下册（人教版）

:.dAEFs^ACB,

.AFEF

ABBC

•・•1_12,

3BC

:.BC=6.

26.（2023秋•商水县期中）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形

之间灵活应用.如图1,已知在RtAUSC中，Z/1Z?C=90°,Z?C=8,48=6.请解答下面的问题；

观察猜想（1）如图I,将△力8c绕点C按顺时针方向旋转60°得到连接序W,则△ACM的形

状是等边三角形；

探究证明：（2）如图2,点。，£分别是边6C,4c的中点，将绕点。按顺时针方向旋转60°得

到△CMM连接M8,AN.

①求证：AACNSABCM；

②求4V的长.

【分析】（1）如图1,根据旋转的性质得到CM=C氏NACM=60°,则根据等边三角形的判定方法可

判断为等边三角形：

（2）①由于点。，£分别是边8C,4C的中点，所以丝=型，再根据旋转的性质得到CN=",CM

CACB

=CD,NACN=/BCM=60°,所以史=更，从而可判断△力CNs/XBOW；

CACB

②先利用勾股定理计算出力C=1（）,则CW=CE=5,过N点作力C于〃点，如图2,利用含30度

角的直角三角形三边的关系得到C〃=9,汽〃=品巨，然后在Rt△力N”中利用勾股定理可计算出力N

22

的长.

【解答】（1）解：如图1,绕点C按顺时针方向旋转60。得到△­〃（?，

：.CM=CB,NBCM=60°,

•••△8CM为等边三角形：

故答案为：等边三角形；

（2）①证明：•••点。，七分别是边BC,4C的中点，

,CE=CD

••荔CD*

26

初中数学九年级下册（人教版）

•/丛CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMM

:,CN=CE,CM=CD,NACN=NBCM=60°,

.CN=CM

''CACB'

,/NACN=4BCM,

・•・AACNs/\BCM；

②・・・N48C=9()°,BC=8,AB=6,

；・AC=Q524-g2=10,

:.CN=CE=5,

过N点作N//JL4C于，点，如图2,

在RtACNH中,

\,ZNCH=60°,

:.CH=LN=*,

22

:,NH=4^CH=^^-、

:・AH=AC-CH=叵,

2

在Rt^4V"中，4"而r+AH2T(驾1)2+