2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷（附答案解析）

2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1.（3分）下列数中是无理数的为（）

n22

A.0B.-C.-D.2.010101…（相邻两个1之间有一个0）

J/

2.（3分）满足下列条件的不是直角三角形的是（）

A./AtN8：ZC=3：4：5B.atb：c=5：12：13

C.ZC=ZJ-NBD.b2-c1=a1

3.(3分)下列计算正确的是()

A.V8-V2=V2B.V(-2)2=-2

C.瓜+⑰=陋D.V2x>/3=V5

4.（3分）若函数y=（〃L2）x+4一步是关于x的正比例函数，则加的值是（）

A.±2B.1C.2D.-2

5.（3分）平面直角坐标系中.下列坐标的点在第一象限的是

A.(3,6)B.(-1,-3)C.(-3,2)D.(5,-3)

6.（3分）一次函数y=3x-4的图象不经过（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）点（3,-2）关于x轴的对称点坐标是（）

A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-3,2)D.(3,-2)

8.（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为产时，顶部边缘3

处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘力处与C处间的距离AC为24。〃，小组成员调整张角的大小继续探究,

最后发现当张角为/。力少时（。是3的对应点），顶部边缘。处到桌面的距离。后为20。〃，则底部边缘力处与E

之间的距离力上为（）

A.15cmB.18cmC.21cmD.24cm

9.（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy,使“帅”的坐标为（・1,-2）“马”的坐标为（2,-2）,

则“兵”的坐标为（）

第1页（共24页）

A.（-3,1）B.（-2,1）C.（-3,0）D.（-2,3）

10.（3分）如图，用两个面积为9c的小正方形拼成•个大的正方形.则大正方形的边K最接近的整数是（）

C.6cmD.1cm

二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）

U.（3分）使得二次根式后方在实数范围内有意义的x的取值范围是.

12.（3分）比较大小：与^|（填"V”或

JJ

13.（3分）已知点力（〃】,3）与点8（-1,〃）关于原点对称，则•〃的值为.

14.（3分）如图所示，石为长方形力8CO的边8c上的一点，将长方形48C。沿直线OE折叠，使顶点C恰好落在

48边上的点尸处.已知AD=8cm,BE=3cm,则图中阴影部分的面积为.

15.（3分）在平面直角坐标系xOy中，点力、8分别在y轴和x轴上，已知点4（0,4）,以力8为直角边在48左

侧作等腰直角△48C,ZCAB=900,当点B在x轴上运动时，连接。C,则AC+OC的最小值

为•

三、解答题（16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题8分，22题12分，23题12分，共

75分）

16.（10分）计算：

（1）%127^112+（V2-1）（V2+1）.（2）g+I通-2|+J（-3尸一（一㈣.

VJ

第2页（共24页）

17.（8分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题:

已知缶，求2a2-8a+l的值，他是这样解答的;

12—y3

•a=2+75=(2+73)(2-73)=2-V3,

a—2=­V3,

(a-2)2=3,a2-4tz+4=3,

:-44=-1.

，2j-8a+1=2+1=2X(-I)+1=-I.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题:

1

1111

（2）化简:

V2+18+&V4+V35/1694-7168,

(3)若a=,求『-44+3的值.

vJ5—2

第3页（共24页）

yjk

18.（8分）1如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形

的顶点叫做格点，△48。的顶点在格点上.

（1）写出片点的坐标,C点的坐标；

（2）直接写出△XBC的面积为；

（3）在网格中找一格点凡使△。瓦与△力8C全等,直接写出满足条件的所有尸点坐标

19.（8分）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法,

小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|x-l|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程,

请你补充完整.

（1）列表:

X-2-101234

y0-1-2a-2b0

贝ija=，b=

（2）描点并画出该函数的图象：

（3）①观察函数图象，当x时，y的值随x的值的增大而增大；

②观察函数图象，当时，x的取值范围是；

③观察函数图象，试判断函数y=k-1|-3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值.

A

41-1

43^

4上

第4页（共24页）

20.（9分）如图，四边形"C£>为某工厂的平面图，经测显"=3C=力。=5（）〃?，CO=50祗m,且N"C=90°.

<1）求的度数；

（2）若直线力8为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点。处安装一个摄像头观察

车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为5（加，通过计算说明道路力4被监控到的最大范围为多少

米.

第5页（共24页）

21.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点力,给出如下定义：若存在点8（不与点力重合，且直线48不与坐标

轴平行或重合），过点X作直线〃轴，过点3作直线〃〃y釉，直线/〃，〃相交于点C.当线段4。，，。的长

度相等时，称点6为点4的等距点，称三角形/18C的面积为点X的等距面枳.例如：如图，点彳（2,1）,点4

9

（5,4）,因为力C=8C=3,所以B为点力的等距点，此时点力的等距面积为3

（1）点/的坐标是（0,-1）,在点81（・1,0）,①（2,1）,纳（・1，7）中，点力的等距点为

（2）点/的坐标是（3,1）,点力的等距点8在第四象限.

①若点8的坐标是G，b）,求人的值及此时点力的等距面积；

9

②若点A的等距面积不大于不宜系写出此时点B的横坐标I的取值范围.

O

第6页（共24页）

22.（12分）四边形48co是正方形，且48=8C=CO=D4=6,N4=N48C=N6CQ=NCD4=90°,点£是直

线XD上的一点，连接。£,以CE为一边作正方形CE广G(C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序〉，连接3K，

(2)如图2,当点E在线段力。的延长线上，且力七=9时，连接。〃，直接写出”的长度;

(3)若/E=3,则点尸到G"的距离为.

第7页(共24页)

23.(12分)在平面直角坐标系中，。是坐标原点，一次函数》=匕+8的图象与)，轴交于点力(0,4),与x轴交于

点8，与正比例函数•的图象相交于点。，点。的横坐标为3.

(1)求一次函数y=Ax+b的表达式；

(2)如图2,过点C作直线CQ〃x轴，”为射线CQ上一动点，若△8OW为以8。为腰的等腰三角形，直接写出

点用的坐标；

(3)在(2)的条件下，平面内是否存在点Q(a,3),使尸的面积等于△408面积的一半？若存在，直接

写出点尸的坐标；若不存在，说明理由；

(4)如图3,N为线段04上一点，连接CM将△8CN沿直线CN翻折得到△尸CN(点月的对应点为点尸)，CF

交x轴于点£当△EVE是直角三角形时，请直接写出点N的横坐标.

第8页(共24页)

2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1.（3分）下列数中是无理数的为（）

n22

A.0B.-C.-D.2.010101-（相邻两个1之间有一个0）

57

解：力、0是有理数，故此选项不符合题意；5、W是无理数，故此选项符合题意；

22

C、彳是有理数，故此选项不符合题意；

D、2.010101-（相邻两个1之间有一个0）是有理数，故此选项不符合题意；故选：B.

2.（3分）满足下列条件的△力8C,不是直角三角形的是（)

A.ZJ：/B：ZC=3：4：5B.a：b：c=5：12：13

C./C=NA-NBD.b2-?=a2

解：选：/I.

3.(3分)下列计算正确的是()

A.V8—>/2=V2B.V(-2)2=-2

C.遍+V3=x/3D.V2xV3=V5

解：V8-V2=2V2-V2=V2,故选项力正确，符合题意；正可=2,故选项4错误，不符合题意;

述+V5=无，故选项c错误,不符合题意；V2xV3=V6,故选项。错误，不符合题意；故选：A.

4.（3分）若函数y=（m-2）x+4一/是关于x的正比例函数，则〃?的值是（）

A.±2B.1C.2D.-2

解：•・•函数y=（〃L2）x+4-川是关于x的正比例函数，

A4-/n2=0,W-2^0,解得，m=・2,故选：D.

5.（3分）平面直角坐标系中，下列坐标的点在第二象限的是（）

A.(3,6)B.(-1,-3)C.(-3,2)D.(5,-3)

解.：A.（3,6）在第一象限，故此选项不符合题意；B.（-1,-3）在第三象限，故此选项不符合题意:

C.（-3,2）在第二象限，故此选项符合题意；

D.（5,-3）在第四象限，故此选项不符合题意.故选：C.

6.（3分）一次函数y=3x-4的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：％=3>0,图象过一三象限；6=-4<0,图象过第四象限，

，一次函数y=3r・4的图象不经过第二象限.故选：R.

7.（3分）点（3,-2）关于x轴的对称点坐标是（）

第9页（共24页）

A.（3,2）B.（-3,-2）C.（-3,2）D.（3,-2）

解：点（3,-2）关于x釉的对称点坐标是（3,2）,故选：A.

8.（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为/胡广时，顶部边缘4

处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘力处与C处间的距离AC为24。〃，小组成员调整张角的大小继续探究,

最后发现当张角为N。力尸时（。是〃的对应点），顶部边缘。处到桌面的距离。E为20cm,则底部边缘力处与E

之间的距离力七为（）

A.15cmB.16cniC.21cmD.24cm

解：依题意，AC=24,BC=7cm,在中，AB=>/AC2+BC2=25cm,

*：AB=AD=25,DE=20,在RtZ\.4Q£中，AE=>JAD2-DE2=V252-202=15c/«,故选：A.

9.（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系X。，，使“帅”的坐标为（-1,-2）“马”的坐标为（2,-2）,

则“兵”的坐标为（）

楚河汉界

A.(-3,I)B.(-2,I)C.(-3,0)D.(-2,3)

解：如图所示：可得“炮”是原点，则“兵”位于点：（-3,1）.故选：A.

10.（3分）如图，用两个面积为90/的小正方形拼成一个大的正方形.则大正方形的边长最接近的整数是（）

C.6cmD.1cm

解：由题意可得大正方形的面积为I8C/〃2,则其边长为A/I瓦切，・；16V18V25,・・・4VVI§V5,

•・・4.52=20.25,・・・4VgV4.5,则大正方形的边长最接近的整数是4c〃?，故选：A.

二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）

11.（3分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是Q2.

解：,•・二次根式疡下在实数范围内有意义，・・・x-220,解得x22.故答案为：x22.

第10页（共24页）

12.(3分)比较大小：—<7(填或“>")•

js]2

解：VV4<V5<V9,A2<V5<3,A1<V5-1<2,，三二〈三，故答案为：V.

13.(3分)已知点《(〃】,3)与点8(-1,n)关于原点对称，则用+〃的值为-2.

解：•・•点力(w,3)与点8(-1,〃)关于原点对称，

••w?—1»n—~3,

/.w+??=1+(-3)=-2,

故答案为：-2.

14.(3分)如图所示，石为长方形力，。。的边8c上的一点，将长方形/14CQ沿直线OE折叠，使顶点C恰好落在

48边上的点尸处.已知4O=8c〃?，BE=3cm,则图中阴影部分的面积为30"户.

解：:四边形48C。是矩形，

:・AD=BC=8(cm),AB=CD,

：.CE=BC-BE=5Cem),

•・•将长方形ABCD沿直线DE折叠，

:.DC=DF,CE=EF=5(cni),ZC=ZDFE=90°,

/.BF=y/EF2-BE2=V25-9=4(cw),

：.AD2+AF2=DF'2,

A64+(AB-4)2=432,

：.AB=\0(cm),

•*.AF=6(cm),

，阴影部分的面积=/x6X8+；x3X4=30(cm2),

故答案为：3()c〃?2.

15.(3分)在平面直角坐标系XQF中，点/!、4分别在y轴和x轴上，已知点4(0,4),以48为直角边在48左

侧作等腰直角△48C,/CAB=90：当点8在x轴上运动时，连接OC,则4C+OC的最小值为_4后

解：由力点坐标得，04=4,

过点彳作x轴的平行线，分别过点C、8作y轴的平行线，交于G、H,CG交x轴于点历，如图，

第11页(共24页)

:・NCGA=NBH4=90°,

是等腰直角三角形，NBZC=90°,

：,AB=AC,

/GAC+乙HAB=90°,

又・・・/64。+/6。=90°,

JZf7AB=ZGCA,

在和△CG/中，

Z-HAB=/.GCA

乙BHA=乙AGC,

AB=CA

:.AAHB经4CGA(AAS),

:・BH=AG,

•・•四边形O4H8是矩形得，BH=0A=4(8在x轴负半轴同理可说明),

：.AG=4,

：.G(-4,4)

点C在直线x=-4上运动，作点。关于直线x=-4的对称点。，

・・・OC=O'C=4,。。'=4+4=8,

：.AC+OC=AC+O'C.

当4C,O,三点在一条直线上时，4C+。。的值最小值，

最小值为AO'=JAO2+。。？=V42+82=4V5.

故答案为：4V5.

三、解答题（16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题8分，22题12分，23题12分，共

75分）

16.（10分）计算：

第12页（共24页）

V27—V12r—r—

(1)+(V2-1)(V2+1).

(2)7^8+|V5-2|4-7(-3)2-(-V5).

解：(1)原式=3-2+2-1

=2；

(2)原式=-2+V5-2+3+V5

=2v5-1.

17.(8分)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题:

已知。=磊，求2。2・8。+1的值，他是这样解答的：

•-2+75-(2+百)(2-4)一-’

a-2=—V5,

(。-2)2=3,a2-4a+4=3,

/.a2-4a=-1.

.•・2/-8a+l=2(/-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题:

2看=—

，…1111

（2）化简：而+++西诲

1

(3)若a=求。2・4a+3的值.

解:⑴用7?=(V3+V2)(V3-V2)3-6,

故答案为：V3—V2；

(2)疔式:二&T代一显6-再向

八八一(&1)(&-1)(75+72)(73^72)(74+75)(74^73)十…+(7169+7168)(7169^7168)

=V2-1+V3-V2+V4-V3+..+V169-V168

=V169-1

=13-1

=12：

⑶,抬飞恭+2)二遥+2,

Aa-2=V5+2-2=V5,

(a-2)2=5,即。2-4。+4=5,

•,/2-44=1,

.•・『-4a+3=3+l=4.

第13页（共24页）

yjk

18.（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形

的顶点叫做格点，△力8C的顶点在格点上.

（1）写出力点的坐标（7,0）,C点的坐标（-2,4）;

（2）直接写出△48。的面积为9:

（3）在网格中找一格点E使＞与△44。全等，直接写出满足条件的所有1点坐标（8,・1）或（2,接

或（1,4）.

解：（1）4点的坐标是（-4,（））,。点的坐标是（-2,4）,

故答案为：（-4,0）,（-2,4）；

（2）△/AC的面积=4X5-4X5X1-/X3X3-4X4X2=9,

故答案为：9；

（3）如图点尸的坐标为：（8,-1）或（2,5）或（1,4）.

19.（8分）学习“一次函数”时，我力从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法,

小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数），=|x-1|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程,

请你补充完整.

（1）列表：

X-2-101234

y0-1-2a-2b0

贝ija=-3,b=-1；

（2）描点并画出该函数的图象；

（3）①观察函数图象，当x时,y的值随x的值的增大而增大;

②观察函数图象，当时，x的取值范围是-34W5；

第14页（共24页）

③观察函数图象，试判断函数y=|r-1|-3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值.

解：（I）函数1|-3,

・・•当x=l时,y=\\-1|-3=-3,

：,a=-3,

•・•当x=3时，y=|3-1|-3=-1,

:.b=-1,

故答案为：-3,-1；

（2）函数歹=卜-1|-3的图象如图所示：

（3）①观察图象可得，当时，y的值随x的值增大而增大，

故答案为：21；

②当》=1时，pr-1|-3=1,

解得：x=-3或5,

.••结合图象观察可得，当・3WyWl时，-3<W5,

故答案为：-3WxW5；

③观察图象可得，函数存在最小值，最小值为-3.

20.（9分）如图，四边形48CO为某工厂的平面图，经测量力8=8。=力。=50加，CD=50V3m,且/48C=90°.

（1）求ND48的度数；

（2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点。处安装一个摄像头观察

车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为50〃?，通过计算说明道路48被监控到的最大范围为多少

道路

第15页（共24页）

\-AB=BC=AD=50m,ZABC=90°,

・・・△43。是等腰直角二角形,

：,AC=7AB2+BC?=50V2,ZCA3=45°,

2

在△4CO中，4)2+402=502+(50底)2=7500=CD,

•••△4C。是直角三角形,

：,ZDAB=900+45°=135°；

（2）过点D作DEA.AB于E,作点A关于DE的对称点尸，连接DF,

由轴对称的性质，得：DF=DA=50m,AE=EF,

由(1)知，ZB/1D=135°,

/.ZDAE=45°,

MADE是等腰直角三角形,

：.AE=DE=^AD=25V2(w),

：.AF=2AE=50yj2(w),

••・被监控到的道路长度为5OV2/H.

21.（8分）对于平面直角坐标系xQy中的点儿给出如下定义：若存在点8（不与点彳重合，且直线不与坐标

轴平行或重合），过点4作直线用”x轴，过点8作直线〃〃y轴，直线〃?，〃相交于点C.当线段4C,8C的长

度相等时，称点4为点力的等距点，称三角形力8。的面枳为点力的等距面积.例如：如图，点4（2,I）,点B

9

（5,4）,因为/C=AC=3,所以R为点力的等距点，此时点〃的等距面积为了

y八

5-

4

3

2

1

—1O12345Gl

(~1,0),&(2,1)»B3(~1>-1)中，点片的等距点为Bi，

（2）点力的坐标是（3,1）,点4的等距点8在第四象限.

①若点4的坐标是短，b）,求人的值及此时点力的等距面积:

9

②若点A的等距面积不大于不直援写出此时点B的横坐标/的取值范围.

O

解：（1）过点4作平行X轴的直线与过点和历作平行7轴的直线交于点83,Q，如图1所示:

第16页（共24页）

•・•点力(0,1),点囱(-1,0),劭(2,I),B3(~\,-1),

：,AQ=B2Q=2,

即是点力的等距点，

同理力83=8如=1，

即B是点A的等距点，为不是点A的等距点，

故答案为：B\»82；

(2)①如图2,根据题意，可知4C_L8C,

当4c=8C,

9

则点。(5，1),

91

则点8(-,—^)»

£乙

・G101339

・・S"BC=《AC・BC=2X2X2=8'

9

・•・点力的等距面积为f

O

9

②•・•点力的等距面积不大于d

O

19

：・S"BC=2^C*BC<Q,

3

：,AC=BC<^

第17页(共24页)

如图3,根据①作全等的等腰直角△XSC和等腰直角△力夕C',

则点B可以在射线5户上或线段B'M上,

"3w|或3-W|,

39

解得：54£W3

22.（12分）四边形/皮?。是正方形，且48=8。=。。=。力=6.ZA=ZABC=ZBCD=ZCDA=^Oa，点£1是直

线/ID上的一点，连接CE,以C2为一边作正方形CbG（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），连接4七,

（1）如图1,当点石在线段力。上时，探究线段G。与线段8E的数量关系利位置关系，并说明理由;

（2）如图2,当点E在线段力。的延长线上，且力石=9时，连接CH,直接写出CH的长度；

（3）若/E=3,则点尸到GH的距离为_?瑟詈

解：（1）GD=BE,GDI.BE.理由如下：

•・•四边形力8c。、CEFG是正方形，

:・CB=CD,CE=CG,4BCD=/ECG=/ADC=90°,AD//BC,

则/BCD-/DCE=ZECG-ZDCE,/EBC=AHED,

JZBCE=ZDCG,

:.△BCEWADCG(S/1S),

:.GD=BE,NEBC=/GDC,

•；NGDC+NHDE=180°-N/QC=90°,

第18页（共24页）

；,/HDE+/HED=90°，

・•・/〃=90°，

即GDVBEx

(2)同(1)可知，4BCE@/\DCG,DG=BE,DG工BE,

则48。七=5△£＞。6，

如图，过点。作CPJ_4E,CQLDG,连接CH,

：,CP=CQ,

则CH平■分NBHG,

:・NCHP=NCHQ=45°,

则△门，为等腰直角三角形,

:・CP=PH,

在正方形48CQ中，AB=BC=CD=DA=6,ZA=ZADC=90a,

则NCQE=90°,

*：AE=9,

则DE=3,

：.BE=y/AB2+AE2=3V13,

•"△BCE=*BE-CP=48c.CD,

.…BCCD6x612713

•・CP=-^=57T5=^^'

：.CH=7cp2+PH2=y/2CP=善庄；

(3)•・•四边形是正方形，四边形厂GCE是正方形,

:.CD=CB,CG=CE,NGCE=/DCB=9C,

/GCD=NECB,

.\AGC£)^AEC5(SAS),

当点E在线段力。上时，如图，过点/作EN_LG”于点N,过点。作CM_LG”于点〃,

第19页(共24页)

：.AD=CD=AB=6,DE=AD-AE=3,

JBE=\/AE24-AB2=375,CE=y/CD2+DE2=3瓜

：,CC=CE=3>/5,

■:AGCD@XECB,

:・BE=DG=3V5,

VZFGC=90°,

/.ZFGD+ZDGC=90°,/FGD+/GFN=90°,

.=NGFN=ZDGC.

♦：FG=GC,ZFNG=ZCMG=90°,

:.丛FGNQXGCM(AAS),

:・FN=GM,

*：CM2=CG2-GM2,CM2=CD2-MD2,

A45-GM2=36-(3V5-GM)2,

・・・GM=等，

・•・点F到GH的距离尸N=隼；

J

当点£在点片右侧时，如图，过点尸作「N_LGH于点N,过点。作CW_LG”于点M,

:力E=3,AB=6,

：.AD=CD=AB=6,DE=AD+AE=9,BE=>JAE2+AB2=3通,

：.CE=VCD2+DE2=3V13,

第20页（共24页）

ACC=CE=3x/13,

♦:△GCD9XECB、

:・BE=DG=3瓜

VZFGC=W,

・•・N/GO+NOGC=90°,NFGD+NGFN=9U°,

：・/GFN=/DGC,NFNG=NCMG=90°,FG=CG,

:ZGgXGCM(AAS),

；.FN=GM,

•・•CM2=CG1-GM2,CM'CN-MN,

/.(3713)2-GM2=62-(3V5-GM)2,

•••GM=金通，

・••点F到GH的距离FN=V西，

J

故答案为：岸95/5或21V5

23.（12分）在平面直角坐标系中，0是坐标原点，一次函数歹=履+力的图象与），轴交于点4（0,4）,与x轴交于

点"与正比例函数y=x的图象相交于点。，点