2027高考数学复习：立体几何中的建系求（设）点问题（学生版）

专题08立体几何中的建系求（设）点问题

一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,A},以。为原点，分别以入k

的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、），轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们

就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

2.相关概念：O叫做原点，i,j,A都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别

称为。町，平面、Qyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分.

注意点：（1）基向量:|/|=W=|A|=1,ij=ik=jk=O.

（2）画空间直角坐标系Oxyz时，一般使/工。＞，=135。（或45。），ZyOz=90°.

（3）建立的坐标系均为右手直角坐标系.

二、空间直角坐标系的建立

1.建立空间直角坐标系的原则

尽可能的让更多的点位于x轴，y轴，z轴上或位于坐标平面Oxy,Oyz,Ozx内.

2.空间直角坐标系建立的模型

（1）墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型.

建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,

当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直（即一个线面垂直十面内两条线垂直），这个过程

不能省略.然后建系.

（2）垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型.

情形1垂下（上）模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型.如图，此情形包括垂足在

平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上（中点多）和垂足在平面图形的内部三种情况.第•种建系方法

为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作

x轴或y轴的垂线为y轴或x轴（其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点）建立空间直角坐标系.第

二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，屋足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形

中，过原点作x轴或y轴的垂线为），轴或x轴（其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点）建立空间

直角坐标系.第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向二方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶

点所在直线为为x轴或y轴，在口面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为），轴或x轴（其中很多题目是连

接垂足与平面图形的另一顶点）建立空间直角坐标系.

E,

E

图1-3

情形2垂左（右）模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少.各种情况如图，建系方法可类

比情形1.

比情形1.

论（位置关系，数量关系）是一致的.

2.与垂直相关的定理与结论

(1)线线垂直(相交垂直)：

①正方形，矩形，直角梯形；

②等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)；

③菱形的对角线相互垂直：

④勾股定理逆定理：若AC+CB?nAB?,0')AC1CB.

(2)线面垂直：

①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直；

②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直：

③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直：

④直棱柱的侧棱与底面垂直.

三、空间点的坐标

1•点的坐标

在空间直角坐标系。盯n中，/,j,A为坐标向量，对空间任意一点儿对应一个向量0Z且点力的位

置由向量晶唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使万f=xi+j)+zh在单

位正交基底"，j，A｝下与向量应对应的有序实数组(x,歹，z),叫做点彳在空间直角坐标系中的坐标，记

作力(.1,y,z),其中x叫做点力的横坐标，y叫做点力的纵坐标，z叫做点力的竖坐标.

2.点的坐标的求法

建系之后要能够快速准确的写出(算出)点的坐标，按照特点可以分为打直接写的点和需要计算的点卜.

列两类.

可直接写的点

(1)坐标轴、坐标平面上的点的坐标

点的位置X轴上y轴上z轴上Oxj平面内Qpz平面内Ozx平面内

点的坐标(X,0,0)(0,)，，0)(0,0,Z)(X，V，0)(0,y,z)(x,0,z)

记忆：“在哪哪非零，其他都为零”.

(2)空间点的对称点

初始点的坐标(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)

对称轴(平面)X轴上y轴上z轴上Oq平面内0yz平面内Ozx平面内

对称点的坐标(X，~y,-Z)(-xfy,—z)(—x,-y,z)(x,y,-z)(—x,y,z)(x,—y,z)

记忆“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”.

(3)空间点在坐标平面投影点的坐标

初始点的坐标(x,yfz)(x,y,z)(x,ytz)

坐标平面Oxy平面内Qyz平面内Ozx平面内

投影点的坐标(X，＞'，0)(0,v,z)(x,0,z)

记忆“投影到哪哪不变，第三个坐标为零”.

用法：以上规律一般逆用，在写空间中点的坐标时，先写坐标平面内的投影点的坐标，再确定第三个

坐标，而第三个坐标为该点到该坐标平面的距离.如在棱长为1的正方体中的点在。X)，平面内的投影

为8,而8(1,I,0),则5)(1,1,1).

需要计算的点

(1)利用三角函数计算

点在Qxy坐标平面内，如图(1),已知在空间直角坐标系Qxyz中，Z.xOM=a,OM=m,则x=/〃cosa,

y=ms\na,即M(nicosa,msina,0).

点在。"坐标平面内，如图(2),已知在空间直角坐标系。丫)2中，NxON=p,ON=〃，则x=〃cosp,

z=〃sin0,即M〃cos。，0,wsinP).

点在Qyz坐标平面内，如图(3),已知在空间直角坐标系。\yz中，ZyOP=y,OP=p,贝!y=pcosy,

z=psiny,BPP(0,pcosy,psiny).

记忆“与哪个轴的夹角已知，该轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的余弦的乘枳，另一个轴上

的坐标就是该点与原点的距离与夹角的正弦的乘积，第三个轴上的坐标为零”.

(2)利用中点坐标公式计算

户，Zl),Bg门,Z2),则川Z?中点MJ；*,"；?Zl；N2).

(3)利用向量关系计算(先设再求)

向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通

常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.

例如：已知力(1,0,0),8(1,1,0),C(l,1,1),且成=&),求。点的坐标.3.点的坐标的设

法

在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标.如果所求点的坐标设为(x,y,z),则三

个变量需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，所以通常用以卜设法(维度等于变量个数).

(1)直线(一维)上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标.

依据平面向量共线定理：向量与。共线的充要条件是存在唯一一个实数L使

例如：已知4(4,3,2),仅5,3,4),那么直线上的某点P(x,y,z)的坐标可用一个变量表示.

(2)平面(二维)上的点：用两个变量可以表示所求点坐标.

依据平面向量基本定理：如果勺，62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一

向量“，有且只有一对实数九，22，使4=九61+久262.

例如：已知力(4,3,2),仅5,3,4),C(6,4,5),则平面48C上的某点P(x,y,n)的坐标可用两个

变量表示.

【例题选讲】

[例1](1)如图，在棱长为2的正方体48。。一4以。。|中，E为棱8c的中点，/为棱CQ的中点.试

建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(2)如图，在三棱柱力4。一/由iG中，CG_L平面/AC,AC±BC,AC=BC=2,CG=3,点。，£分

别在棱力小和棱CG上，且力。=1,CE=2,M为极小以的中点.试建立适当的空间直角坐标系并确定各

点坐标.

(3)如图所示，在四棱锥产一/5CO中，底面44CQ是正方形，侧棱POJ_底面力8C。，PD=DC=2,E

是产。的中点，过点E作£7二1_。3于点E试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(4)如图所示，在四棱锥48co中，尸C_L平面片BCD,PC=2,在四边形48CO中，Z5=ZC=90°,

ZB=4,CO=1,点E为序的中点，点M在P8上，PB=4PM,P8与平面48CO成30。角，试建立适当

的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(5)在△48C中，D,E分别为48,4C的中点，AB=2BC=2CD=2a,如图①，以为折痕将△力。£

折起，点4到达点P的位置，使平面平面8CEZ),如图②.试建立适当的空间直角坐标系并确定各

点坐标.

图②

【对点训练】

1.已知直三棱柱力8。-4SG中，侧面448由为正方形，AB=BC=2,E,产分别为力。和CG的中点,

试建立.适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

2.如图，在长方体48CO—4小。。|中，点E,尸分别在棱。"，BBi上,

AB=2,AD=\,44=3,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

3.如图，在四棱锥产一力8c。中，01_L底面44CO,ADA.AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=\,点

E为梭PC的中点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

4.在四棱锥尸一力8。。中，底面48c。为矩形，以_1平面48CQ,AD=2AB=4,PO与底面48CO所

成的角为45。，且BELDP,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

5.等边。的边长为3,点。，E分别是48,/1C上的点，且满足如图①），将△月OE沿

DBEA2

OE折起到MOE的位置，使二面角由-OE-8成直二面角，连接小儿4c（如图②）.试建立适当的

空间直角坐标系并确定各点坐标•

[例2](1)在如图所示的多面体中，四边形48co是平行四边形，四边形是矩形，EO_L平面

ABCD,ZABD=\AB=2,AD=\,ED=BD.试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

6

(2)如图，直四棱柱力8C。一小8cid的底曲是菱形，力4=4,AB=2,NB4D=60°,E,M,N分别

是BC,BBi，小。的中点.试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

X

(3)如图，已知三棱锥尸一/BC,平面必CJL平面力8C,AB=BC=PA=rPC=2,乙480=120。.试建

立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(4)在三棱锥/-8CZ)中，已知C8=8=5,80=2,。为8。的中点，4O_L平面8cDAO=2,E

为"的中点.若点,在5c上'满足“=卜。,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(5)如图，在四棱锥P一48CD中，底面48CO是边长为Q的正方形，侧面玄。_1_底面/BCZ),旦以

=9=2?皿设〃分别为小加的中点•试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标♦

(6)已知四棱锥。一/14。。，底面处?。。为菱形，PD=PB,PA=PC=3AB,21与平面44。所成的

角为60。，21=2,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(7)如图，正方形月8。。的边长为22,四边形8。b是平行四边形，8。与4c交于点G,O为GC

的中点，FO=3,且F。_L平面/14CD试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(8)如图，棱柱48cz)—4囱GA的所有棱长都等于2,NH8C和/小4C均为60。，平面4小。。_1_平

面力8C。，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

(9)如图，己知四棱锥产一川%7),△21。是以力。为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CDLAD,PC

=AD=2DC=2CB=2,£为PO的中点.试建立适当的空间直带坐标系并确定各点坐标.

(10)如图所示的几何体中，四边形力8CQ是等腰梯形，AB//CD,N48C=60。，AB=2BC=2CD=4,

四边形QCM是正方形，N,G分别是线段48,底的中点，且二面角力一。。一户的大小为120。.试建立

适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

【对点训练】

1.如图所示，在梯形/出CO中，AB//CD,AD=DC=CB=\,N8CD=120。,四边形引芭。是以为

直角腰的直角梯形，DE=2BF=2,平面平面力AC”试建立适当的空间直角坐标系并确定各

点坐标.

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2.如图，在几何体力4c一小8|。中，平面小/1CG_L底面/14C四边形4/CCi是正方形，BC\〃BC,Q

是的中点,日力C=AC=28C=2./"B=27t.试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

3

3.如图，在几何体力4CQ七中，四边形力8。。是矩形，48_1_平面8EC,BELEC,AB=BE=EC=2,G,

斤分别是线段BE,0c的中点.，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标.

4.如图，在三棱锥尸一48c中，AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,。为力C的中点.若点〃在棱

BC卜.HPM1RC,试建立适当的空间百角坐标系并确定各点坐标.

5.如图，在四楂锥尸一力8CQ中，侧面凡1。_1_底面