2026-2027学年北师大版数学八年级上册《第1章 勾股定理》单元测试卷（附答案解析）

2026-2027学年北师大版数学八年级上册《第1章勾股定理》单元试卷

一、选择题

1.（2分）以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是36与64,则斜边长为（）

A.5B.10C.12D.100

2.（2分）若一直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边长的平方是（）

A.169B.169或119C.13或15D.15

3.（2分）下面说法正确的是（）

A.在RtZiABC中，a1+h1=ciB.在中，a=3,b=4,那么c=5

C.直角三角形两直角边都是5,那么斜边长为10D.直角三角形中，斜边最长

4.（2分）如图，要从电线杆离地面36〃处向地面拉一条长为4.5m的钢缆，则地面钢缆固定点4到电线

杆底部点8的距离是（）

A.2mB.2.2阳C.2AmD.2.1m

5.（2分）如图，等腰三角形八片。底边上的高/W为4c”，腰长为5s”，周长为16cM则△人的面积是

（）

A.14cnrD.13C7〃2C.12cm~D.8c//z2

6.（2分）如图，每个小正方形的边长为I,△ABC的三边〃，b,c的大小关系式（）

A.67<C</?B.C.D.cCb<Za

7.（2分）在RtAABC中，ZC=900,乙4,ZB,NC的对边分别是a,b,c,若a+b=14cm，c=10c/n,

则RtAABC的面积是（）

A.24cm2B.36c/C.48c/??2D.60cm2

8.（2分）如图，矩形A8CO的边长A8=6,BC=8,将矩形沿石尸折直，使C点与4点重合，则折痕石尸

的长是（）

B

A.7.5B.6C.10D.5

二、填空题

9.（2分）在RlZ\A8C中，斜边AB=2,MBC2+CA2=.

10,（2分）一艘轮船以16海里/时的速度离开港I」向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时

的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距海里.

II.（2分）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，那么它的三边长为.

12.（2分）如果直角三角形的直角边长为8,15,则斜边长为,斜边上的高

为.

13.（2分）如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方有形，$1=9,53=144,54=169,

则S2=•

14.（2分）一个圆筒底面直径为10c,〃，高24c,〃，则桶内所能容下的最长木棒为.

15.（2分）如图，一只蚂蚁在一个长方体表面爬行，已知人8=4c〃bBC=5cm,CG=\2cmt若要使蚂蚁

从A经8尸到G爬过的路程最短，则最短路程是cm.

16.（2分）如图，一根旗杆在禽地面9〃？处断裂，旗杆顶部落在禽旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高

17.（8分）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，一头放在离墙0.7米处，另一头靠墙，如果梯子的顶

部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远？

18.（8分）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行,

乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，用船到达。岛，乙船达到3岛，若C、B两

岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向.

19.（10分）如图，在正方形48CQ中，A8=4,AE=2,DF=\.图中ABE尸是直角三角形吗？你是如

何判断的？

20.（10分）如图，已知CD=6m,2£>=86,ZADC=90°,BC=24m,AB=26m.求图中着色部分的面

21.（10分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3cm,AC=4cm,按图中所示方法将ABC。沿B。

折叠，使点。落在A8边上的点。处，求△A。。'的面积.

22.(10分)张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:

n2345•••

a22-132-142-152-l•••

b46810•••

c22+l32+l42+l52+l•••

(1)请你分别观察a,b,c与〃之间的关系，并用含自然数〃(/2>1)的代数式表示:

!=，b=,c=；

(2)猜想：以a,力，c•为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.

23.（12分）如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为。和江斜

边长为c.图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定

理的图形.

（1）在作图区画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形.

（2）用这个图形证明勾股定理.

（3）假设现在有一个正方形和若干个全等的直角三角形，且正方形的边长与直角三角形的斜边相等，

你能拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图.（无需证明）

(1)(2)

（作图区）

如262027学年北师大版数学八年级上册《第1章勾股定理》单元试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.（2分）以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是36与64,则斜边长为（）

A.5B.10C.12D.100

解：根据以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是36、64,

故直角三角形的两直角边为边长分别为：6和8,故以斜边为：©T/=10.故选：B.

2.（2分）若一直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边长的平方是（）

A.169B.169或119C.13或15D.15

解：当12是直角边长时，第三边的平方=122+52=169,

当12是斜边长时，第三边的平方=122-52=119,

综上所述，第三边长的平力是169或119,故选：B.

3.（2分）下面说法正确的是（）

A.在RtZ\ABC中，ct2+b2=c1B.在RtZVWC中，a=3,b=4,那么c=5

C.直角三角形两直角边都是5,那么斜边长为10D.直角三角形中，斜边最长

解：A,B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出『+户=。2,c、=5

C：斜边长为5a；D：由勾股定理知显然正确.故选：D.

4.（2分）如图，要从电线杆离地面3.6〃?处向地面拉一条长为45〃的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线

杆底部点B的距离是（）

A.2inB.2.2mC.2AmD.2.1m

解：由勾股定理得：-4=J（嘉勾一（招尸=2.7（/»）,故选：D.

5.（2分）如图，等腰三角形A5C底边上的高4。为4cm,腰长为5c加，周长为I6an,则△ABC的面积是

B.13cm2C.12cm2D.San2

解：,：AB=AC=5cm,AD1BC,周长为

/.BC=6cnbBD=DC=^BC=3cm,

：,AD=>JAB2-BD2=452-32=4(cm),

：,/\ABC的面积=1X6X4=12(CVH2)；

故选：c.

6.（2分）如图，每个小正方形的边长为1,△A8C的三边〃，b,c的大小关系式（)

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

解：VAC=V42+32=5=V25,BC=V42+I2=V17,AB=4=716,

即c<ct<b.

故选：C.

7.(2分)在口△/IAC中，NC=90°,ZA,NB,NC的对边分别是a,b,c,若a+b=l4cm.c=IOc〃?,

则RtA/lBC的面积是()

A.24c〃PB.36c"尸C.48c/??2D.60a/

解：在RlZVlBC中，由勾股定理得：

cr+b2=c2,

Va+b=14cm,c=10cm,

(a+b)2=]96,

即2ab=196-(a2+b2)=196-c2=196-100=96,

1

ab=24>

2

.,.RtAA«C的面积是24c〃P,

故选：A.

8.（2分）如图，矩形43C。的边长AB=6,3c=8,将矩形沿EF折叠，使C点与4点重合，则折痕EF

的长是（）

A.7.5B.6C.10D.5

解：在直角三角形4BC中，根据勾股定理得：

AC=V62+82=10,

又根据折叠知：。4=。。=5,OE=OF,EF±AC.

•：NCOF=/B=90°,NOC”是公共角，

得：AOCFsMCA,

OFOC

••,

ABBC

即OF=5x6=3.75,

o

即E尸=7.5.

故选：A.

二、填空题

9.（2分）在RtZ\A8C中，斜边A4=2,则8c2+CA2=4.

解：在RlZXABC中，斜边A8=2,则4c2+C42=AB2=22=4,

故答案为：4.

10.（2分）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时

的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距」海里.

解：如图，由已知得，08=16X1.5=24海里，OA=12X1.5=18海里,

在△0AB中

VZAOB=90<>,

由勾股定理得0炉+。42=从82.

即242+182=A〃，

AB=V242+182=30（海里）.

故答案为：30.

11.（2分）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，那么它的三边长为6,8,10.

解：设最短的边长为1,则另外两边长为（x+2）,（x+4）,

依题意得：/+（x+2）2=（x+4）2,

整理得：A2-4X-12=0,

解得：川=6,r=-2（不合题意，舍去），

/.x+2=6+2=8,,v+4=6+4=10.

故答案为:6,8,10.

12.（2分）如果直角三角形的直角边长为8,15,则斜边长为17,斜边上的高为_等_

解：如图，在RtZ\A8C中，AB=8,4c=15,

:・BC=yjAB24-BC2=V82+152=17,

••F。是BC边上的高，

・・・4O_L8C,

SaABC=xABxAC=xBCxAD

11

A-x8xl5=_xl7xAD,

22

._120

••A4Dn=-J7，

120

故答案为：17；-y^-.

13.（2分）如图所示，图中所有三角形是直角三角形，所有四边形是正方有形，si=9,$3=144,M=169,

则S2=16.

5

解：*.*51=9>53=144,54=169,

・••所对应各边为：3,12,13.

进而可求得中间未命名的正方形边长为5.

则在最小的直角三角形中府中=4.

故§2=16.

故答案为：16.

14.（2分）一个圆筒底面直径为10c?〃，高24cm,则桶内所能容下的最长木棒为26cm.

解：根据勾股定理得木棒长是：V102+242=26cw.

故答案为：26cm.

15,（2分）如图，一只蚂蚁在一个长方体表面爬行，已知BC=5cin,CG=}2cm,若要使蚂蚁

从人经BF到G爬过的路程最短，则最短路程是15cm.

G

Wc

解：如图，AG=y/AC2+CG2=V（4+5）2+122=15Cem）,

故它爬行的最短路程是15c"i.

故答案为：15.

16.（2分）如图，一根旗杆在离地面9〃？处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高

解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，

・••折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形.

根据勾股定理，折断部分的旗杆为：-2+122=15米,

・•・旅杆折断之前高度为15+9=24米.

故答案为：24米.

三、解答题

17.（8分）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，一头放在离墙0.7米处，另一头靠墙，如果梯子的顶

部滑卜.0.4米，梯子的底部向外滑出多远？

A

解：*：BC=V2.52-0.72=2.4,

・•・当一直角边为BC-0.4=2,斜边为2.5时，另一直角边为为.52—22=1.5.

故梯子的底部向外滑出1.5-0.7=0.8（米）.

18.（8分）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行,

乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，用船到达。岛，乙船达到B岛，若。、8两

岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向.

解：根据题意得；AC=30海旦，AB=40海里，8C=50海里；

V302+402=502,

J△ABC是直角三角形，NBAC=90°,

A1800-90°-35°=55°,

・•・乙船的航行方向为南偏东55°.

19.（10分）如图，在正方形人8c。中，人8=4,AE=2,DF=\.图中△BE户是直角三角形吗？你是如

何判断的？

解：△8E"是直角三角形，理由如下:

•・•四边形A8CO是正方形，

・・・NA=N4BC=NC=NQ=90°,

VAB=4,AE=2,

i21

：.BE=AB+BE=20t

\'DF=\,DE=4-AE=2,

・・・E产=5,

VCF=4-DF=3,8c=4,

ABF-=25,

.,./?F2=EF2+BE2,

JABE/是直角三角形.

20.（10分）如图，已知。。=6加，4。=8"，NAQC=90°,8C=24m,AB=26m.求图中着色部分的面

积.

解：在RtZ\AOC中，

•・・CO=6米，4。=8米，8。=24米，A8=26米，

.*.AC2=AD2+CO2=82+62=100,

・・・AC=10米（取正值）.

在△A8C中，・・・4。2+8。2=102+242=676,AB2=262=676.

：,AC2+BC2=AB2,

•••△AC8为直角三角形，NAC8=90°.

jS用影=%CXBC-|ADXCD=1X10X24-1X8X6=96（米2）.

乙乙乙乙

答：图中阴影部分的面积为96米2.

21.（10分）如图，在Rtz^ABC中，ZC=90°,BC=3cm,AC=4cm,按图中所示方法将也⑶。。沿8。

折叠，使点C落在AB边上的点。处，求△AOC'的面积.

解：VZC=90°,BC=3cm,AC=4c/n,

：.AB=>JBC2+AC2=5cm,

•・•将△SCO沿8。折叠，使点。落在A8边的C'点，

：,ZC=ZBCD=90°,DC=DC,BC=BC'=3。机,

：,AC'=AB-BC'=2cm,

设DC=DC=xcmf则AD=(4-x)cm,

在RtZ\A。。'中，AD2=AC,2+C'D2,

(4-x)2=22+.r2,

解得x=1.5,

DC=\.5an,

VZACf0=90°,

/.△ADC,的面积naxAC'XC'D=|x2X1,5=1.5(C/M2),

答：△ADC'的面积为1.5c/Z

22.CO分）张老师在•次“探究性学习”课中,设计了如下数表:

n2345

a22-132-l42-152-l•••

b46810•••

c22+132+l42+l52+l•••

（1）请你分别观察。，力，c与〃之间的关系，并用含自然数〃（//>1）的代数式表