北京市某中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）

北京市第八中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.如图所示的四个图形中，不是轴对称图形的是（

超

圄

【答案】A

【解析】【解答】解：A、寻找能使图形沿其折叠后两侧完全重合的直线，发现不存在这样的直线，因此选项

A不是轴对称图形，符合题意；

B、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧部分完全重合，因此选项B是轴对称图

形，不符合题意；

C、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两恻部分完全重合，因此选项C是轴对称图

形，不符合题意；

D、观察图形，能找到至少一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧部分完全重合，因此选项D是轴对称图

形，不符合题意。

故选：A

【分析】根据轴对称图形的定义（沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形），对每个选项

逐一分析判断，找出不满足该定义的图形。

2.点（1,3）关于工轴对称的点的坐标是（）

A.（1,-3）B.（-3,-1）

C.（-1,3）D.（-1,-3）

【答案】A

【解析】【解答】解：关于x轴对称的点的坐标规律为：横坐标相同，纵坐标互为相反数，

・••点（1，3）关于x轴的对称点的横坐标为1,纵坐标为-3,因此对称点的坐标为（1,-3）。

故选：A

【分析】根据点的坐标变换规律：关于x轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出答案。

意下列计算正确的是（）

A.a34-a3=0B.a3-a4=a12

第1页

C.(a+2匕)2=*+4Q/J+4b2D.(x+y)(-x+y)=-x2-y2

【答案】C

【解析】【解答】解:A、a313=a3-3=W=l,但选项A结果为0,故选项A错误；

B、a3.a4=a3+4=a7,但选项B结果为a%故选项B错误；

C、(a+2b)2=a2+2a«2b+(2b)2=a2+4ab+4b2,与选项C一致,故选项C正确;

D、(x+y)(-x+y)=(y+x)(y-x)=y2-x2,但选项D结果为-x2・y2(即-(x2+y2),与正确结果y2・x?不符,故选

项D错误。

故答案为：C

【分析】根据同底数塞的除法、乘法、完全平方公式及平方差公式逐项进行判断即可得出答案。

4.已知三角形的两边长分别为5cm和8cm,则第三边的长可以是()

A.2cmB.10cmC.13cmD.15cm

【答案】B

【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，第三边x需满足：

8-5<x<8+5

即：3Vx<13

因此，唯一符合条件的选项是B(10cm)

故选：B

【分析】根据三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.通过计算第三边

的取值范围，排除不符合条件的选项即可求解。

5.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()

A.%24-4x-4=(x+2)(x-2)+4%B.(x+3)(x-3)=%2-9

C.(%—y)2=x2—2xy+y2D.x3—x24-x=x(x2-%+1)

【答案】D

【解析】【解答】解：A：x2+4x-4=(x+2)(x-2)+4x,右边为(x+2)(x・2)(即x?-4)加上4x,整体为x"

4+4X=X2+4X-4,但变形后仍为多项式相加，未形成纯乘积形式，不符合因式分解定义，故A穴符合题意；

B：(x+3)(x-3)=x2-9,左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法运算，而非因式分解，故B不

符合题意；

C：(x-y)2=xZ2xy+y2,左边为平方形式，右边为展开后的多项式，属于完全平方公式的展开，不符合因式分

解定义，故C不符合题意；

D：x3-x2+x=x(x2-x+l),左边x3-x?+x提取公因式X后，分解为X与X2-X+1的乘积。符合因式分解的定义，故

D符合题意；

故选：D

第2页

【分析】根据因式分解是将多项式转化为整式乘积的形式，逐一分析各选项即可得出答案。

6.如图，AB=AD,AC=AE,添加卜列条件，不一定能得到△4BC三2\4DE的是()

C

A.BC=DEB.乙BAC="AEC.乙C=LED./.BAD=LCAE

【答案】C

【解析】【解答】解：A、已知AB=AD,AC=AE,若添加BC=DE,则三边分别对应相等(AB=AD,

AC=AE,BC=DE),满足SSS判定定理，因此能推出△ABC9AADE,故A不符合题意；

B、已知AB=AD,AC=AE,若添力「NBAC=NDAE,则两边及其夹角分别对应相等(AB=AD,

ZBAC=ZDAE,AC=AE),满足SAS判定定理，因此能推出△ABC0ZXADE,故B不符合题意；

C、已知AB=AD,AC=AE,若添加NC=NE,此时是“两边及其中一边的对角对应相等“(AC=AE,

AB=AD,ZC=ZE),属于SSA情况，而SSA不能判定三角形全等，因此该条件不一定能得到

△ABC^AADE,故C符合题意；

D、已知AB=AD,AC=AE,若添加NBAD=NCAE,由NBAD+NDAC=NCAE+/DAC可推出

ZBAC=ZDAE,此时转化为“两边及其夹角对应相等“(AB=AD,ZBAC=ZDAE,AC=AE),满足SAS判

定定理，因此能推出△ABC0AADE,故D不符合题意。

故选：C

【分析】根据全等三角形的判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS),对每个选项逐一分析，判断能否确定

△ABC^AADE,从而找出“不一定能得到全等”的选项即可。

7.下列说法：①有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角

形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相

等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是()

A.①④B.①②④C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】【解答】①等腰三角形中，若有一个角为60。，则其他两个角也必为60°(若该角为顶角，则底角为

O

180-60°=60O,若该角为底角，则另一底角也为60。，顶角为60。)，因此该三角形为等边三角形，因此说法

①正确；

②如图，

第3页

c

设三角形为△ABC,取角NABC的外角平分线BE,贝I」NCBE=NDBE,

YBE/ZAC,

AZDBE=ZA,ZCBE=ZC,

/.ZA=ZC,

ABA=BC,即△ABC为等腰三角形，因此说法②正确；

③垂直平分线的交点为外心，外心到三个顶点的距离相等（外接圆半径），因此说法③正确；

④等腰三角形本身己有两个角相等（底角），但若这两个角为任意度数如50。，则第三个角为80。，不是等边

三角形。只有当两个角为60。时，才是等边三角形，因此说法④错误。

正确的说法为①、②、（3）

故选：D

【分析】根据等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义、三角形的外心等知识

逐一判断即可。

8.如图，BD是△4BC的角平分线，DE||BC,交4B于点E,若乙4二30。，^BDC=50°,贝叱BDE的度数是

（）

A.10°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【解析］【解答】解:ZBDC是^ABD的一个外角,

.\ZABD=ZBDC-ZA,

ZABD=5O°-3O°=2O°,

ABC的角平分线，

.\ZABD=ZDBC=20°,

VDEZZBC,

/.ZBDE=ZDBC=20°o

故答案为：B

第4页

【分析】根据三角形外角性质求出NABD,结合角平分线定义得到NDBC,再根据平行线的性质求出

ZBDEo

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(2,0),8(3/)(b>0),AC14B且4c=48,则点C的横坐

标为()

【答案】D

【解析】【解答】解：过点B作BDJ_x轴于点D,过点C作CElx轴于点E,则NADB=NCEA=90。，

VAC1AB,

/.ZCAB=90°,

.\ZCAE+ZBAD=90°o

又•・•在^ABD中，ZABD+ZBAD=90°,

:./CAE二NABD,

在^ACEDIABAD中：

ZCEA=ZADB=90°,ZCAE=ZABD,AC=AB

・•・△ACE^ABAD,

/.AE=BD,CE二AD,

VA(2,0),B(3,b),

・・・AD=3-2=1,BD=b,

Z.AE=b,CE=1,

•・•点A的横坐标为2,AE=b且点C在第二象限，

・••点E的横坐标为2-b,

,・，CE_Lx轴，

・••点C与点E横坐标相同，

即点C的横坐标为2-b。

故选：D

【分析】过点B作BDJ_x轴于点D,过点C作CEJ_x轴于点E,利用垂直关系推导角相等，结合AC=AB

证明三角形全等，进而根据全等三角形对应边相等求出点C的横坐标。

10.如图，△A8C中，乙A8C和〃CB的角平分线交于点0,40经过点。与8c交于点O,以40为边向两侧作等

第5页

边△4DE和等边△AOF,分别和48、AC交于点G,H,连接GH.若乙8AC=60。，AB=a,AC=b,AD=

c.则下列结论中正确的结论足（）

①MOC=120。；②△AG"是等边三角形；③DG=/c;®S^ABC=^(a+b)c.

A.①④B.①②③C.②③D.①②③④

【答案】B

【解析】【解答】解：•・•点O是NABC和/ACB的角平分线交点(即内心)，

・•・ZABO=ZOBC=iZABC,ZACO=ZOCB=1ZACB

乙乙o

在△ABC中，ZBAC=60°,

...ZABC+ZACB=180°-ZBAC=120°,

即2NOBC+2NOCB=12()。，

.-.ZOBC+ZOCB=60°o

在^BOC中，

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-60°=120°o

故结论①正确；

•・•△ADEADF是等边三角形，

・•・ZDAE=ZDAF=60°,且AE=AD二AF。

〈AD平分NBAC(内心在角平分线上)，

:.ZGAD=ZHAD=30°,

且/GAH=60。，

由于△ADE和△ADF关于AD对称(等边三角形的对称性)，

AAG=AH,

/.△AGH是等边三角形。

结论②正确；

•・•△ADE是等边三角形，

ZEAD=60°,

XVZBAD=30°

・•・ZAGD=180°-ZBAD-ZADE=90°

第6页

・・・DG马AD%

乙乙

结论③正确；

△ABC的面积可以看作^ABD与^ACD的面积之和。

即：ABC=|ABXDG+1ACXDH,

~(axe)+i(bxc)=i(a+b)c/i(a+b)c0

ZZ4Z

结论④正确。

综.匕正确的结论是①②③。

故选：B

【分析】利用角平分线的性质和三角形内角和定理求出NBAC的度数；通过等边三角形的性质和全等三角形

的判定证明AAGH是等边三角形；运用直角三角形中30。角所对直角边等于斜边的一半的性质得出线段关

系；△ABC的面积可以看作△ABD与△ACD的面积之和，根据三角形面积公式计算并判断面积结论是否正

确。

二、填空题(每题2分，共16分)

11.(苑+1)°=.

【答案】1

【解析】【解答】解：5+1)°=1

【分析】根据零指数累的运算法则，任何非零数的零次哥都等于1,可直接得出结果。

12.已知3a=2,3b=4,则3a+28=.

【答案】32

【解析】【解答］解:3a+2b

=3ax32b

=3"X制)2

=2x42

=2x16

=32

故答案为：32

【分析】利用指数运算的性质，将3，+2b拆分为3aX32b,再进一步化简为3ax(3b)2,代入已知条件即可求解。

13.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则乙P+4O=.

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【解析】【解答】解：如图,

在^PAB和^OCB中,

(PA=BC

乙4=ZC

(48=CO

.*.△PAB^AOCB,

.*.ZAPB=ZCOB,

又「ZCOB+ZBOD=45°,

.\ZDPB+ZD0B=45o,

即：ZP+ZQ=45°o

故答案为：45

【分

根据网格特点可证△PABgAOCB,进而根据三角形全等的性质可得NAPB=NCOB,再根据正方形的性质

可得NCOB+NBOD=45。，然后进行等量代换即可求解，

14.如图，△48C中40,BE分别是△4BC的高和角平分线，若NC=70。，^AEB=95°,贝U

4BAD=°.

【答案】40

【解析】【解答】解：・・,NAEB是ABEC的外角,

第8页

/.ZAEB=ZEBC+ZC

.,.ZEBC=ZAED-ZC

=95°-70°

=25°,

〈BE是△ABC的角平分线，

/.ZABC=2ZEBC=50°,

•••人口是^ABC的高,

/.ZADB=90°,

.\ZBAD+ZABD=90°,

.\ZBAD=90°-ZABD

=90°-50°

二40。。

故答案为：40

【分析】先根据三角形外角性质求HNEBC,再根据角平分线定义得到NABC,然后根据高的性质

（AD_BC形成直角）和直角三角形两锐角互余的性质计算/BAD。

15.已知：如图，AB=AC,AD=AE,^BAC=^LDAE,点B,C,。在同一条直线上，且AC=CD,当4B||

OE时，NEC。的度数=.

【答案】36°

【解析】【解答】解：:/BAONDAE,

:.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=NCAE,

在4BAD和^CAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE

；・△BAD=ACAE,

.\ZADB=ZAEC,

VCA=CD,

:.ZCAD=ZADC,

设/CAD=/ADC=/AEC=x,

又・.・AB=AC,

第9页

/.ZACB=ZB,

又•・•ZACD足公ACD的外角,

・•・ZB=ZACB=ZCAD+ZADC=2x,

又,:ZBAC=ZDAE,

・•・ZADE=ZAED=ZB=2x,

TABaDE,

.\ZBAE+ZAED=180°

/.ZBAE+ZB=180°

••・AE〃BD,

.\ZAEC=ZECD=x,

在^ACE中,

ZAEC+ZCAE+ZACE=180°

即x+2x+2x=180°

5x=180°

解得x=36°

即NECD=36。

故答案为：36°

【分析】首先通过已知的角相等关系NBAC二NDAE,利用角的和差关系推出NBAD二NCAE,结合

AB=AC,AD二AE利用SAS判定证明△BAD会△CAE,得到NADB二NAEC,然后利用等腰三角形的性质，

设/CAD=/ADC=NAEC=x,再根据三角形外角性质得到NACB=NB=NCAD+NADO2x；根据等腰三角

形的判定及性质得到/ADE二NAED二/B=2x,接着根据平行线AB〃DE推出AE〃BD,进一步得到

ZCAE=ZACB=2x,KBAC=ZDAE=ZADC=x,ZAEC=ZECD=x,最后在△ACE中，利用三角形内角和

定理列出关于x的方程，求解出x的值，从而得到NECD的度数。

16.已知。2+庐=25，a-b=3,则ab的值是.

【答案】8

【解析】【解答】解：(a-b)2=a2-2ab-b2

代a2+b2=25,a-b=3入上式得：

32=25-2ab

2ab=16

解得：ab=8

故答案为：8

【分析】过完全平方公式展开(a-b)2=a2・2ab+b2,代a2+b?=25,a.b=3入展开式中即可求解。

第10页

17.已知：如图，大正方形的边长为Q,小正方形的边长为从若(^+反―8Q—2b+17=0,则阴影部分的

面积为.

BaA

CbD

【答案】竽

【解析】【解答】解：原方程变形为：(a-4)2-16+(b-l)2-l+17=0,

化简后为(a-4)2+(b-1)2=0。

V(a-4)2>0,(b-l)2>0,

・・.(a-4六0且(b-1户0,

解得：a=4,b=lo

观察图形可知，阴影部分是大正方形面积减去小正方形面积后，再除以2。

即阴影部分面积的表达式为gaZb?)

将a=4,b=l代入可得：

阴影面积=1x(16-1)

=15

【分析】首先通过配方法将已知方程转化为完全平方和的形式，进而根据偶次辕的非负性求出a和b的值;

再分析图形确定阴影部分面积的表达式，代入a、b的值计算。

18.如图，Rt△48c中，乙4c8=90。，^ABC=30°,AC=6,。是线段A8上一个动点，以BD为边在△

外作等边△BOE.若〜是OE的中点，当C尸取最小值时，么BDE的周长为.

【答案】18

【解析】【解答】解：在RSABC中,

VZABC=30°,AC=6,

/.AB=2AC=12,

第11页

BC=7i452-i4C2=V122-62=V144-36=7108=673,

如图，连接BF,

「△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，

.\ZDBF=ZDBE=30°,

又;ZABC=30°,

・•・ZCBF=60°,

・•・即射线BF的位置是固定的，

・••当CF_LBF时，CF最短，此时NBFC=90°,ZBCF=180o-90°-60o=30°,

.\BF=1BC.

・・.BF=2g,

在RSBCF中,设DF=x,则BD=2x,

222

.\BD=BF-DF,即2x?=(2>/3)2+乂2,

解得x=3

ABD=6

・•・△BDE的周长周x6=18.

故答案为：18

【分析】先根据含30。角的直角三角形性质(30。角对的直角边是斜边的一半)求出AB的长度；再结合等边

三角形的性质(三线合一)及中点性质，将CF的表达式转化为WBD相关的式子；最后依据垂线段最短确

定BD的最小值，进而求出^BDE的周长。

三、解答题(19题12分，20题8分，21题5分，22题4分，23-25每题6分，26题7分，共54

分)

19.计算：

(I)(%2)3-X44-%5；

(2)(2x+y)(x-3y)；

(3)(3x2y+9xy2-6xy)+3xy

【答案】(1)解：(产)3.1+%5

=X6-X4-i-Xs

第12页

_v10v5

-xq;

(2)解:(2x+y)(x-3y)

=2x2-6xy+xy-3y2

=2x2-5xy-3y2；

(3)解：(3%2y+9盯2-6xy)+3xy

=3x2y+3xy+9xy2+3xy-6xy+3xy

=%+3y-2.

【解析】【分析】(1)根据析的乘方法则(a1")计算事的乘法，然后根据察的乘法法则计算骞

的乘法，最后根据制的除法法则计算即可；

(2)使用乘法分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后将所有结果相加，最

后合并同类项即可：

(3)将括号内多项式中的每一项分别除以单项式，然后将每一步的结果相加即可。

20.因式分解：

(1)x2y-6xy+9y

(2)(a-2b)2-b2，

【答案】(1)解：x2y-6xy4-9y=y(x2-6x4-9)

=y(x-3)2.

(2)解：(a-2b)2-b2

=(a-2b4-b)(a—2b-b)

=(a-b)(a—3b).

【解析】【分析】(1)先提取公因式，后利用完全平方公式进一步分解即可；

(2)根据平方差公式(X2-Y2=(X-Y)(X-Y),其中X=a-2b,Y=b)直接分解即可。

21.先化简，再求值：已知/一4%=1,求(％-3)2-2(1-％)+3的值.

【答案】解：(％-3)2-2(1-％)+3

=x2—6x+9—2+2x+3

=x2-4x+10：

代入%2—4x=1,

得原式=1+10=11.

【解析】【分析】先将所给代数式根据完全平方公式和乘法的分配律展开，然后合并同类项，最后根据已知条

件整体代入即可求解。

22.请将以下推导过程补充完整.

第13页

如图，已知：在△48C中，/-ABC=LACB,点。在边力。上，连接80,过C作CE||48,LCE=AD,连

接求证：BD=AE.

证明：,.,CE||4B

：.^BAD=/.ACE

*：^ABC=^ACB

在△ABO与△CAE在中

AB=_________

乙BAD=_________

CE=AD

・•・△4BDCAE().

:,BD=AE

【答案】48；ACiAC；乙ACE；SAS

【解析】【解答】解：证明：:CE||48

/.BAD=Z.ACE

,：Z.ABC=Z.ACB

AAB=AC

在△力80与4C4E在中

AB=AC

LBAD=ZACE

CE=AD

A△ABD=△CAE(SAS).

:.BD=AE

【分析】根据平行线性质得到角相等，利用等腰三角形”等角对等边“得到边相等，再依据SAS判定三角形全

等，从而根据全等三角形的对应边相等证明线段相，依次确定各空对应的边或角及全等依据。

23.已知：如图，线段48和射线交于点用

第14页

A

BM

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）

①射线BM上作一点C,使AC=AB,连接力C；

②作々ABM的角平分线交ACTD点：

③在射线CM上作一点E,使CE=CD,连接。E.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段与DE的数量关系，并证明之.

【答案】（1）解：如图：

(2)BD=DE证明如下：

VAC=AB

AZACB=ZABC

VCD=CE

AZCDE=ZCED

VBD平分NABC

AZDBC=|ZABC

•・,ZACB=ZCDE+ZCED

.\ZCED=1ZACB

乙

VZACB=ZABC

/.ZDBC=ZCED

・・・BD=DE

【解析】【分析】(I)根据尺规作图的基本方法完成图形绘制即可；

(2)由AB=AC,CE=CD,根据等接三角形两底角相等的性质，可得NABONACB,ZCDE=ZCED：由

第15页

BD平分NABM,根据角平分线的定义可得NDBCqNABC,由NACB是△CDE的外角，根据三角形外角

等于不相邻两个内角和，可得NACB=NCDE+NCED=2NCED,即NCEDJ/ACB。经过等帚代换可得

ZDBC=ZCED,进而根据等角对等边即可得出结论。

24.已知：如图，=点C在0E的反向延长线上且=求证：LB=ZC.

【答案】证明：如图：过A作4Ml80于M,作ANIDE于N,

v/.ADE=LADB,AM1BD,AN1DE,

AM=AN,Z.AMB=Z.ANC=90°

在Rt△力MB和△力NCU」

(AB=AC

lAM=AN'

z.F=Z-C.

【解析】【分析】过点A作AM_LBD于M,作ANJ_DE于N,则NAMB=NANC=90。，根据角平分线的性

质(角平分线上的点到角两边的距离相等)可得AM=AN,结合题目已知AC=AB,进而根据直角三角形全

等判定“斜边-直角边”(HL)定理，可得△AMBgZXANC,从而根据全等三角形的性质(全等三角形的对

应角相等)即可得出结论。

25.在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用.诸如“1234”或生日等简单密

码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要.有一种“因式分解''法可

以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式%2—4就可以分解成Q+2)(>-2),再

对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16,取％=16,那么x+2=18,x-2=14,14

和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814,如果分解因式的结果有单项式，如

x2(x+2),我们取%2和。+2)的值作为两个因式码.

(1)根据上述方法，若多项式为了一16,当丫=15时，请直接写出密码为.

(2)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为炉一心已知王老师手机的锁屏密码是6位数字

第16页

313032,请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由.

(3)已知多项式4/一小,当％取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15,你能

求出其他两个因式码吗？并说明理由.

【答案】(1)1911或1119

(2)解：x3—x=x(x2—1)=x(x+l)(x-1)=(x+l)(x—l)x»

•・•王老师手机的锁屏密码是6位数字313032,且结合Q+1)>x>(x-1)

..x+1=32,x=31,x—1=30,

/.x=31.

答：王老师的年龄是31岁.

(3)解:4x4-%2

=X2(4X2—1)

=X2(2X4-1)(2%—1),

•・X取正整数,

Ax2-(2%-1)=(x-l)2>0,2x+1>2x-1，

即—>2x-l,

・・・2x-l为最小的因式，

即2--1=15,

解得％=8,

・•・无2=64,2%+1=17,

答：其他两个因式码为17和64.

【解析】【解答】(1)x2-16=(x+4)(x-4)

把x=15代入得：x+4=19,x-4=11

所以密码为：1911或1119

【分析】(1)根据平方差公式对多项式进行因式分解，然后将『15代入因式分别计算其值，最后将这两个

值进行排列即可得到密码；

(2)先对多项式提取公因式x后再用平方差公式，即x3-x=x(x2-l)=x(xT)(x+l)；已知锁屏密码是6位数

字313032,将其拆分为31、30、32三个两位数。观察这三个数，发现符合x+1=32(即x=3l),此时

x-1=30,x=31,组合顺序为(x+l)(xT)x即32、30、31,合并为323031,所以王老师当前年龄是31岁;

(3)先对多项式先提取公因式，再根据平方差公式进一步分解为x2(2x-l)(2x+l)。因为密码中最小的因式码

为15,假设2x7=15,则可解得x=8。把x=8代入代入另外两个因式X?和2x+l中即可求得。

26.如图，乙4OB=45。，点C为04上一点(不与。重合)，点P为OB上一点(不与。重合)，△OPD为等腰三

角形，L.ODP=150°,DQ1CD,Z.DPQ=120°,Z-CDP<90°.

第17页

(1)如图1,当点。，D,Q共线时，直接写出OC,PQ之间的数量关系.

(2)如图2,当点P在。8上运动时，写出OC,PD,PQ之间的数量关系并证明.

(3)连接CQ,当APCQ为等腰三角形时，直接写出乙CPQ的度数.

【答案】(1)0C=2PQ

(2)0C=PO+PQ证明：在0C上取一点E,使OE=OD

•・•△OPD为等腰三角形，ZODP=150°

/.ZDOP=ZDPO=15°

VZAOB=45°

ZCOD=60°

VOE=OD

/.△OED为等边三角形

・•・ZOED=ZODE=60°,OE=OD=ED

r.ZDEC=120°

VZDPQ=120°

.\ZDEC=ZDPQ

VDP=OD

ADP=DE

VZODP=150°

ZEDP=90°

VDQ±CD

.\ZEDC=ZPDQ

在△EDC和^PDQ中

/DEC=乙DPQ

DP=DE

Z.EDC=乙PDQ

：.△EDC且△PDQ(ASA)

AEC=PQ

VOC=OE+EC

第18页

AOC=PD+PQ

（3）ZCPQ=120°

【解析】【解答］解：（1）VO,D,Q共线且NODP=150,

・•・ZPDQ=180-ZODP=180-150°=30°,

在DPQ中，NDPQ=120。

・•・ZQ=180°-ZDPQ-ZPDQ=180°-120°-30°=30°,

AZPDQ=ZQ,

/.DP=PQ,

•・•△OPD为等腰三角形且NODP=150。，

・•・ZDOP=ZDPO=180°-150°=15°

XVZAOB=45°,

・•・ZOCD=90°-（ZAOB+ZDOP）=90°-（45°+l5°）=30°,

/.OC=2PQo

（3）由（2）可知DE=DP,CE=PQo

在^CED和△CPD中，

CE=PQ

DE=DP

CD=CD

.*.△CED=ACPD,

・•・ZCPD=ZCED=120°

ZQDP=120°,

；・ZCPQ=360°-ZCPD-ZQPD=360°-l20°-l20°=120°

【分析】（1）通过已知条件求出△DPQ和RIAOCD中各角的度数，利用等腰三角形性质得到DP=PQ,再结

合直角三角形中30。角的性质以及UD=DP=PQ的关系，得出OC与PQ的数量关系；

（2）通过作辅助线构造等边三角形^OED,得至I」DE二DP,再根据ASA证明△CED和△QPD全等，进而根

据全等三角形的对应边相等将PQ转化为CE,从而根据线段的和差关系得出OC,DP,PQ之间的数量关

系；

（3）根据（2）中得到的边的相等关系，根据SSS证明aCED和ACPD全等，进而根据全等三角形的对应

角相等求出NCPD的度数，进而求出NCPQ的度数。

四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分）

27.若一个整数能表示成次+反（小〃是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”.

（1）判断45是否为“智慧数是的话在横线上把45与成/+/的形式，小是的话直接写“否”.

（2）已知S=/+4x+k（x是整数，k是常数），要使S为“智慧数”，直接写出一个符合条件的k值.

第19页

(3)如果数加，〃都是“智慧数”，判断mn是否为“智慧数”，并说明理由.

【答案】(1)45=6"3,

(2)s=x2+4x+4-4+k

=(x+2)2+k-4

k-4是个平方数即可，例如k=5

(3)设m=a2+b2,n=c2+d2,其中a,b,c,d均为整数

mn=(a2+b2)(c2+d2)

=a2c?+a2d2+b2c?+b2d2

=a2c2+b?d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

Va,b,c,d均为整数

Aac+hd和ad-bc也均为整数

Amn也是“智慧数”

【解析】【解答】解：(1)将45表示为两个整数的平方利：

45=36+9=62+32

因此，45是智慧数，可写为62+32(或36+9)。

【分析】(1)需要判断45是否能表示为两个平方数之和；

(2)需通过配方将二次式转化为平方和形式，从而确定k的值；

(3)根据智慧数的定义设m$2+b2,n=c2+d2,其中a,h,c,d均为整数，根据智慧数的乘积利用平方和乘

积公式展开即可证明。

28.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(n,九)，A(n-l,n),B(n—2,n-1),C(n+l,n),£*(n+2,n—

1),连接AB,CD,将线段48,CD所组成的图形称之为“M-八字形”.我们给出如下的定义：点P(x,y)先关

于4B与CO所在直线分别对称得到点P；,p'2,再将P；,P2向右(几20)或向左(几＜0)平移同个单位，再向上

(7120)或向下。＜0)平移同个单位得到点「1，P2,称Pi，P2为点P关于“M-八字形”的“八中变换点”.

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(1)当n=0时,

①已知点P(0,-2),则点P关于“M-八字形''的"八中变换点”坐标为.

②己知F(a+2,-l),若点P为线段£7<上一动点，设图形N为所有P关于“M-八字形”的“八中变换

点”，若y=1与图形N有两个交点，则a