七升八数学暑假提升预习-三角形的边

第02讲三角形的边（学生版）

知识归纳

【知识点1三角形的三边关系】

定义：三角形两边的和大王第三边，两边的差小王第三边.

剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；

②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条

线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。

【知识点2三角形的稳定性】

性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.

三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

举一反三

【题型1构成三角形的条件】

【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.7cm,2cm,3cmB.6cm,8cm,73cmC.5cm,6cm,77cmD.3cm,4cm,8cm

【变式1-1］老师让同学们分别将一根/4cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角

形.下列四位同学的剪法中符合要求的是（）

9cm2cm3cm3.5cm3.5cm7cm

A.B.

5cm5cm4cm3cm8cm3cm

♦■■.

c.D.

【变式1・2】从长度分别为2,3,4,5,6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有

()

A.4种B.5种C.6种D.7种

【变式1-31满足下列条件的三条线段。b,。能组成三角形的是（）

A.a:b:c=1:2:3B.Q+%=4,Q+b+c=9

C.=3,=4,=5D.=3,=2,=

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第02讲三角形的边(学生版)

【题型2确定第三边的取值范围】

【例2】若长度为4,6,Q的三条线段能组成一个三角形，贝卜的值可以是()

A.2B.5C.10D.12

【变式2・1】在△A8C中，若AB=2,4C=4,且BC的长为整数，则△A8C的周长可能是()

A.8B.11C.12D.15

【变式2・21在平面内，将长度分别为1,3,1,d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形,

如图所示，则d的值可能是()

A.1B.3C.5D.6

【变式2・3】己知△4BC的三边长分别为租一3,2m+/,10.则m的取值范围

【题型3三角形三边关系的应用】

【例3】已知b、c为△ABC的三边长.

(1)化简|a-b+c\+\a-b-c\x

(2)若△ABC为等腰三角形，且周长为16,已知a=4,求力、c的值.

【变式3-1】已知△4BC的三边长分别为a,b,c.

(1)化简：|a-b—c|+—c-a|+|a+b—c|；

(2)若Q=2,b=5,第三边c的长为奇数，判断△ABC的形状.

【变式3・2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根/5cm长的细铁丝，课堂上进行

实验噪作，具体操作如下：在同一平面内将/5cm长的细铁丝弯折成一个三角形.

(1)量出4P=4cm；

(2)在点P右侧取一点Q,使点Q满足PQ>4cm；

(3)将向右翻折，向左翻折.

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第02讲三角形的边(学生版)

若要使4、B两点能在M点处重合，则PQ长可能为()

【变式3・3】【问题探究】

数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系.

小明进行了以下探究；

已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AOBC,AB+BC>

AC,BC+AOAB,从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边.

小红在小明的基础上进行了补充：

若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判

断给定的三条线段能首尾相接构成三角形.

【问题解决】

(1)三角形的三边长分别为％+4,%-/,x-2,求工的取值范围；

(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10,另两边边长相差3,求该三角形最短边的最小值:

(3)在中，AB=ACfBC=1(),己知这个三角形的周长不大于30,求的长度范围.

【题型4利用三角形三边关系证不等关系】

【例4】如图，已知。、E是△ABC内的两点，问A8+AC>80+OE+EC成立吗？请说明理由.

A

/一A

BC

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【变式4・1】如图所示，在△ABC中，。是B4上一点，贝必B+2CO>AC+BC成立吗？说明理由.

【变式4-2】已知，如图四边形4BCD中，。是4c与80的交点，试说明：4c与80的和小于四边形48co

的周长.

【变式4・3】如图，在四边形4BCD内找一点。，使它与四边形四个顶点的距离的和。4+0B+0C+0D

最小，并说出你的理由.

【题型5三角形的稳定性】

【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）

A.B.C.D.

【变式5・1】下列五边形具有稳定性的图形是（）

A.B.C.D.

【变式5・2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形,四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使

这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（)

A.2B.4D.6

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【变式5・3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上根木条.

能力提升

1.以下生活现象不是利用三角形稳定性的是

A.屋顶支撑架B.自行车三脚架C.伸缩门D.旧木门钉木条

2.下列各组条件中，不能组成三角形的是（）

A.2,a+2,a+3（a>0）B.3厘米，8厘米，10厘米

C,三条线段之比为/；2；3D.6座米，6座米，6厘米

3.如图，将长为/4cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4cm,第二段长为acm.若这三条线段恰

好能围成一个三角形，则a的值可以是（

I_____

~4~

A.3B.6C.7D.8

4.已知一个三角形的两边长分别为3和9,若第三边长为偶数，则第三边长为（）

A.7或9B.9或11C.6或8D.8或10

5.笔腰三角形周长为17,其中两条边长分别为x和2%+/,则这个等腰三角形的腰长为（）

A.4或7B.4C.6D.7

6.数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是6cm,8cm,10cm,15cm,任意选取其中三个,

能组成的三角形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（）

A.AB+AD>BD

C.+>+D.++>++

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8.如图，具有稳定性的图形有.(填序号)

①②③④⑤

9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍

长三角形”，有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为.

10.如图，线段48和线段AC是三角形4BC的两条边，点D在线段48上，点E在线段4C上，将三

角形A8C沿。E所在直线裁去一个角得到四边形08CE,则四边形08CE的周长(填、、大于”,

“等于,，或“小于,,)三角形ABC的周长，理由是.

II.三知三角形三边内从c的长均为整数，且aWb<c,如果b=7,则符合条件的三角形共有

__________个.

12.闩知△力的三边长分别为a,b,c.

(1)化简：\a—b—c\—\b-c-o]\a+b—c\.

(2)若Q=2,b=5,且三角形的周长为偶数，求c的值.

13.在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一•根/2cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式,

制作一个三角形木框.

(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长acm,第二段的长比第一段的3倍少2cm.试判断第一段的长

能否为3cm,并说明理由;

(2)小亮先把木棒剪成如图所示的力B=4cm和CO=8cm的两段，现要将木棒。。从P史剪开，使得

三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度.

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14.如图，在△4BC中，点。在4B上，点。在CD上.求证：AB+AOOB+OC.

15.如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至

少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使〃边形木架不变形，又至少要

钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动.

多边形木架的边数456...

至少要钉木条的根数

根据以上信息，解答下列问题.

（1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉根木条.

（2）表格中的“▲”处填.（用含〃的代数式表示）

（3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形.则这个多边形的边数是

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知识归纳

【知识点1三角形的三边关系】

定义：三角形两边的和大于第三边,两边的差小王第三边.

剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；

②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条

线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。

【知识点2三角形的稳定性】

性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.

三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

举一反三

【题型1构成三角形的条件】

【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.7cm,2cm,3cmB.6cm,8cm,73cmC.5cm,6cm,77cmD.3cm,4cm,8cm

【答案】B

【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系.

根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项进行判断即

可.

【详解】解：A选项，•.・/+2=3,不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，A选

项错误；

B选项，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意，B选项正确：

C选项，•.•5+6=//,不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，C选项错误；

D选项，・.・3+4v8,不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，D选项错误.

故选：B.

【变式1-1］老师让同学们分别将一根14cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角

形.下列四位同学的剪法中符合要求的是（）

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9cm2cm3cm3.5cm3.5cm7cm

A.B.

5cm5cm4cm3cm8cm3cm

C.D.

【答案】C

【分析】本题考杳了三角形的三力关系（构成三角形的条件），熟练堂握构成三角形的条件是解题

的关犍：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边；简便方法是：看

较小的两个数之和是否大于第三个数.

根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”,逐项分析判断即可.

【详解】解：A.2+3=5<9,不能组成三角形，故选项A不符合题意；

B.3.5+3.5=7,不能组成三角形，故选项B不符合题意：

C.5+4=9>5,5-4=1<5,能组成三角形，故选项C符合题意；

D.3+3=6<8,不能组成三角形，故选项D不符合题意；故选：C.

【变式1・2】从长度分别为2,3,4,5,6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有

（）

A.4种B.5种C.6种D.7种

【答案】D

［分析］本题考查了二角形的二边关系“二角形的任意两边之和大于第二边，二角形的任意两边之差

小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.根据三角形的三边关系求解即可得.

【详解】解：・；2+3>4,2+4>5,2+5>6,3+4>5,3+4>6,3+5>6,4-5>6,

・••能围成三角形的三条线段长度分别为2,3,4、2,4,5、2,5,6、3,4,5、3,4,6、3,5,6、4,5,6,组合共有7

种，故选：D.

【变式1・3】满足下列条件的三条线段a,Ac,能组成三角形的是（）

A.a:b:c=/:2:3B.a+b=4,Q十b+c=9

C.a=3,b=4,c=5D.a=3t,b=2t,c=t

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系.根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两

边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

【详解】解：A、设a,b,c分别为％,2%,3x（%>0,则有x+2%=3%,即a+b=c,不符合三角

形的三边关系，故不能构成三角形；

B、当+=4时，=9（+）=5,4<5,不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形；

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C、当Q=3,b=4,c=5时，3+4>5,符合三角形的三边关系，故能构成三角形：

D、t+2t=3t,即c+b=Q,不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形.故选：C.

【题型2确定第三边的取值范围】

【例2】若长度为4,6,Q的三条线段能组成一个三角形，则Q的值可以是（）

A.2B.5C.10D.12

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差

小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.根据三角形的三边关系求解即可得.

【详解】解：:长度为4,6,Q的三条线段能组成一个三角形，

：.6-4<a<6+4,即2<a</0,

观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B.

【变式2・1】在△4BC中，若4B=2,4C=4,且BC的长为整数，则△力BC的周长可能是（）

A.8B.11C.12D.15

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边

是解题的关键.

根据三角形的三边关系可得2〈BCV6,即可确定BC的长度可以为3、4、5,再求出三角形△48C

的可能取值即可解答.

【详解】解：・・・在△4BC中，若AB=2,AC=4,

.・.AC-AB<BC<AC+AB,^4-2<BC<4+2,

：.2<BC<6,

:BC的长度为整数，

・・・BC的长度可以为3、4、5,

・・・△ABC的周长可能是9、10、11.故选：B.

【变式2・2】在平面内，将长度分别为1,3,1,d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，

如图所示，则d的值可能是（）

A.1B.3C.5D.6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的三边关系定理.如图，设这个凸四边形为4BCD,连接BO,并设BO=a,

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先在△BCD中，根据三角形的三边关系定理可得2VQ<4,再在△4BO中，根据三角形的三边关

系定理可得Q-AB<AD<a+ABt即Q-/vADva+/从而可得/v4Dv5,据此即可解答.

【详解】解：如图，设这个凸四边形为力BCD,连接BD,并设BO=a,

在△BCD中，3-/VQV/+3,即

在△,4BD中，a-AB<AD<a+ABf即Q-/V40VQ+/,

所以/<ADv5.

观察四个选项可知，只有选项B符合.故选：B.

【变式2・3】己知的三边长分别为?n-3,2m+/,10.则m的取值范围.

【答案】4<m<6

【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于m的不等式组，即

可求出m的取值范围.关键是掌握三角形三边关系定理.

Cm—3+2m+/>10®

【详解】解：由三角形三边关系定理得到：帆-3+/0>2抽+/②，

\2m+1+10>m-3③

解①得m>4,

解②得m<6,

解③得m>-14,

・•.不等式组的解集为4vmv6.故答案为：4<m<6.

【题型3三角形三边关系的应用】

【例3】已知a、b、c为△ABC的三边长.

(1)化简|Q-b+C\+\a-b-C\；

(2)若△力BC为等腰三角形，且周长为16,已知a=4,求从c的值.

【答案】(l)2c；(2)b=c=6

【分析】(1)根据三角形的三边关系得到：a-b+c>(),a-b-c<(),根据绝对值的性质进行

化简，即可求解；

(2)对a=4进行a为腰长或。为底边进行分类讨论，即可作答.

【详解】(1)解：因为。、b、c为△ABC的三边长，

所以a+c>b,b+c>a,

则Q-b+c=a+c—b>0,a-b-c=a—(b+c)<0,

所以|a-b+c|+|a—b-c|=a-b+c-a+b+c=2c；

(2)解：因为△ABC为等腰三角形，且周长为16,

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所以当Q=4为腰长时，那么底边为/6-4一4=8,

因为4+4=8,所以不能构成三角形，故a=4为腰长舍去；

所以当Q=4为底边时，那么腰长为"”=6,

故4为底边，腰长为6,符合三角形的三边关系，

则b=c=6.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形的三边关系：两边之和大于第三

边，两边之差小于第三边.

【变式3・1】已知△48C的三边长分别为a,b,c.

(1)化简：\a—b—c\+\b-c—a\+\a+b—c\；

(2)若Q=2,b=5,第三边c的长为奇数，判断△ABC的形状.

【答案】(l)Q+b+c；(2)Z\4BC是等腰三角形

【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练

掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；

(1)根据三角形的三边关系可得Q+b>c,b+c>a,a^c>bf然后可去绝对值，进而问题可求解;

(2)根据三角形的三边关系可得3vcv7,则有c=5,然后问题可求解.

【详解】(1)解：,.•△ABC的三边长分别为a,b,c,

c,b+c>a,a+c>b,

,*»\a-b—c\+\b—c—a\+\a+b—c\

=b-^c-a+c+a-b+a+b-c

=a+b+c；

(2)解：・・・Q=2,b=5,

・・・根据三角形三边关系可得3<c<7,

•・•第三边c的长为奇数，

Ac=5,

/.b=c=5,

是等腰三角形.

【变式3・2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根/5cm长的细铁丝，课堂上进行

实验噪作，具体操作如下：在同一平面内将/5cm长的细铁丝弯折成一个三角形.

(1)量出4P=4cm；

(2)在点P右侧取一点Q,使点Q满足PQ>4cm；

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第02讲三角形的边（解析版）

（3）将/P向右翻折，BQ向左翻折.

若要使A、B两点能在M点处重合，则PQ长可能为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查三角形的三边关系.根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案.

【详解】解：设PQ

AP=4,PQ=%,

:•BQ=AB—AP-PQ=15—4—x=（11—初cm,

将4P向右翻折，BQ向左翻折，

AP=MP,MQ=BQ,

・•・△MPQ符合三角形三边关系，

・•・MQ-MP<PQ<MQ+MP,

即“一x-4<x<“7+4,

解得7—x〈x<15—x,

解得

观察四个选项，选项A符合题意，故选：A.

【变式3・3】【问题探究】

数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系.

小明进行了以下探究；

已知，如图，△4BC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AOBC,AB+BC>

AC,BC+AOAB,从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边.

小红在小明的基础上进行了补充：

若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判

断给定的三条线段能首尾相接构成三角形.

【问题解决】

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第02讲三角形的边(解析版)

(1)三角形的三边长分别为％+4,%-/,x-2,求x的取值范围；

(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10,另两边边长相差3,求该三角形最短边的最小值;

(3)在△4BC中，AB=AC,BC=10,已知这个三角形的周长不大于30,求AB的长度范围.

【答案】(1)%>7；(2)4；(3)5<AB<10

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边

关系成为解题的关键.

(1)直接根据三角形三边关系列不等式求解即可：

(2)设最短的边的长度为x,较长边的长度为x+3,然后根据题意列不等式求得%>彳然后根据三

边长都是整数即可解答；

(3)设48=AC=%,然后根据题意列不等式组求解即可.

【详解】(1)解：・・•三角形的三边长分别为x+4,%-7,x—2,

*.x-2+x—l>x+4y解得：x>7.

(2)解：设最短的边的长度为x,较长边的长度为％+3,

由题意可得：x+x+3>10,解得：x>；,

・・,一个三角形的三边长都是整数，

・・・该三角形最短边的最小值4.

(3)解：设AB=AC=xf

由题意可得：匕解得：5<AB<10.

【题型4利用三角形三边关系证不等关系】

【例4】如图，已知£是内的两点，问A8+/OBD+OE+EC成立吗？请说明理由.

【答案】48+4。>80+05+£。成立，见解析

【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三

边关系：“两边之和大于第三边”进行证明.

【详解】解：AB^AOBD+DE+EC,理由如下：

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第02讲三角形的边（解析版）

延长DE交4B于点人延长OE交4C于G,

在△AFG中：AF+AG>FG®t

在△BFO中：FB+FD>BD②,

在aEGC中：EG+GOEC③，

•・•尸。+EO+EG=FG,

.,•①+②+③得：

AF+FB+FD+EG+GC+AG>FG+BDEC,

即：AB+FDEGAC>FGBD+EC,

AB+AOFG-FD-EG+BDEC,

：.AB^AC>BD+ED+EC.

【变式4・1】如图所示，在△ABC中，。是B力上一点，则48+2。0>4。+8。成立吗？说明理由.

【答案】48+2。。>4。+8。成立，理由见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质.先

根据三角形三边关系定理可得4D+C0>4C,BD+CD>BC,再将两式相加得（40+BO）+2C0>

AC+BC,即4B+2co>4C+BC.

【详解】

解：48+2C。>4C十BC成立，理山如下：

在△40C中，AD+CD>AC,

在△BCO中，BD+CD>BC,

两式相加得：（40+BO）+2CD>AC+BC,

即4B+2C0>AC+BC.

【变式4・2】己知，如图四边形4BCD中，。是4c与B0的交点：试说明：4c与B0的和小于四边形4BC0

的局长.

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第02讲三角形的边（解析版）

c

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出4。+48

CD+BC>BD,AD^-CD>AC,AB+BC>AC,计算得出力。+A8+CO+8C>AC+80,即可

得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键.

【详解】证明：在△4B0中，AD+AB>BD,

在△BCO中，CD+BOBD,

在△4CD中，AD+CD>AC,

在△,4BC中，AB+BOACt

・•・AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC>BD+BD+AC+AC>

・•・2{AD+48+CD+BC）>2（AC+BD）,

•**AD+AB+CD+BC>AC+BD,

•••4c与8D的和小于四边形力BCD的周长.

【变式4・3】如图，在四边形4BCD内找一点。，使它与四边形四个顶点的距离的和。4+OB+OC+OD

最小，并说出你的理由.

【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短,连接AC,BD,它们相交于点0,则点。到

4B,C,D四个顶点的距离之和最小，在四边形4BC0内任找一点（如点E,且与点。不重合），

比较它与点。到四个顶点的距离之和即可得到结论.

【详解】解：连接AC,BD,它们相交于点0,则点。到4B,C,。四个顶点的距离之和最小.

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第02讲三角形的边（解析版）

理由如下：

VOA+。。=AC,OB+OD=BD,且AC<FX+EC,BD<EB+ED,

：.OA+OCv£4+EC,OB+ODvEB+ED,

：.OA+OC^OB+OD<EA^EC^EB+ED,即四边形对角线的交点。到四边形四个顶点的距离之

和最小,即我们所找的点.

【题型5三角形的稳定性】

【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）

B.X1C.ED.F

【答案】B

【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可.

【详解】解：•・•三角形具有稳定性，四边形不稳定，

・,・不容易变形的是：B,故选：B

【变式5・1】下列五边形具有稳定性的图形是（）

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构

成，也具有稳定性.根据三角形具有稳定性，进行解答即可.

【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图

形都是由三角形构成.故选：D.

【变式5・2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使

这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（）

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第02讲三角形的边（解析版）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系.

根据三角形的三边关系得出AC,80的范围求解即可.

【详解】解：连接A&BD,

根据题意可得，在△BCD中,4-4<BD<4+4,即OvROv8,

在△480中，6-3<BD<6+3,即3vB0<9,

则3<B0<8,

在△4CD中，6-4<AC<6+4,即2<AC<10,

在△,4BC中，4-3<AC<4+3f即1<AC<7,

则2<4Cv7,故选：A.

【变式5・3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上根木条.

【答案】3

【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三

角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条.根据过八边形的

一个顶点作对角线，可以做（几-3）条即可解答.

【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6-3=3（条）对角线,

所以至少要钉上3根木条.故答案为3.

能力提升

1.以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）

A.屋顶支撑架自行车三脚架C.伸缩门D.旧木门钉木条

【答案】C

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第02讲三角形的边（解析版）

【分析】本题考查了三角形稳定性和四边形不稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有

着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角

形而获得.

【详解】解：A,B,D是利用了三角形的稳定性，C是利用了四边形的不稳定性.故选：C.

2.下列各组条件中，不能组成三角形的是（）

A.2,a+2,a+3（a>0）B.3厘米，8厘米，10厘米

C.三条线段之比为/:2;3D.6厘米，6厘米，6厘米

【答案】C

【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边.根据构成三角形的条件逐项判断即可.

【详解】解：A.由Q>0得2+（a+2）=Q+4>a+3,能构成三角形，故此选项不合题意；

B.3+8=11>（）,能构成三角形，故此选项不合题意；

C.设最小边为m则剩余两边是2a,3a.a+2a=3a,不能构成三角形，故此选项符合题意；

D.因为6+6=/2>6,能构成三角形，故此选项不合题意.故选：C.

3.如图，将长为/4cm的铁丝折成三段，己知第一段长为4cm,第二段长为acm.若这三条线段恰

好能围成一个三角形，则a的值可以是（）

ZX

II1]

4g

A.3B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键.

逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答.

【详解】解：A.当Q=3时，第三段长为14一4一3=7,由3+4=7,得

3,4.7不能组成三角形，故该选项错误；

B.当a=6时，第三段长为〃一4一6=4,由4+4=8>6,得

4,4.6能组成三角形，故该选项正确；

C.当a=7时，第三段长为“一4一7=3,由3+4=7,得

3,4,7不能组成三角形，故该选项错误；

D.当a=8（1寸，第三段长为/4-4-8=2,由4+2=6<8,得

2,4,8不能组成三角形，故该选项错误；故选B.

4.已知一个三角形的两边长分别为3和9,若第三边长为偶数，则第三边长为（）

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第02讲三角形的边（解析版）

A.7或9B.9或11C.6或8D.8或10

【答案】D

【分析】此题主要考查了三角形三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而

就可以求出第三边的长.

【详解】解：设第三边为X,

则9—3〈％v9+3,

即6<%v/2,

,第三边长为偶数，

・・・第三边长是8或10.故选：D.

5.等腰三角形周长为17,其中两条边长分别为x和2x+/,则这个等腰三角形的腰长为（）

A.4或7B.4C.6D.7

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题.

根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x,腰长是2%+/,根据题意列出方程求解

即可.

【详解】解：若x是腰，则底边长是2x+/,应该满足两腰之和大于底，但是2x〈2x+/,

所以只能x是底边，则腰长是2x+/,

由题意得%+2（2%+/）=17,

解得x=3,

01=7,故答案为：D.

6.数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是6cm,8cm,/0cm,/5cm,任意选取其中三个，

能组成的三角形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】木题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.

根据三角形三边关系即可得到答案.

【详解】解：・.・6+8>1（）,

••・长度分别是6cm,8cm,/0cm的三个小木棍能组成三角形；

•••6+8v15,

二长度分别是6cm,8cm,/5cm的三个小木棍不能组成三角形；

•••6+/0>15,

••・长度分别是6cm,/0cm,75cm的三个小木棍能组成三角形；

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第02讲三角形的边（解析版）

v8+10>15,

••・长度分别是8cm,/0cm,/5cm的三个小木棍能组成三角形；

・•・能组成的三角形的个数是3个，故选：C.

7.如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（）

A.AB+AD>BDB.PD+CD>PC

C.ABAOBP+PCD.AP+BP+CP>AB+BC+AC

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

于第三边.根据三角形的三边关系和不等式的性质解答.

【详解】解：由三角形两边的和大于第三边，

.・.AB+AD>BD；PD+CD>PC,

A、B选项正确，不符合题意；

将不等式左边，右边分别相加，

:.AB+AD+PD+CD>BD+PC,

・•・AB+AD+CD>PC+BD-PD

・•・AD-i-AC>PC+DP.

C选项正确，不符合题意；

AP+BP>AB

BP+CP>BC

AP+CP>AC

将不等式左边，右边分别相加，

：.2(AP+BP+CP)>AB+BC+AC

D项无法推出AP+BP+CP>/B+BC+AC,符合题意.故选D.

8.如图，具有稳定性的图形有_______.（填序号）

夕0白6诊

①②③④⑤

【答案】CD®（§）

【分析】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断.只

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第02讲三角形的边（解析版）

要图形分割成了三角形，则具有稳定性.

【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性.

显然图①④⑤具有稳定性.故答案为：①®

9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△48C是“倍

长三角形”，有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为.

【答案】/.5或4

【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为》,先根据三角形三边关系定理得/vxv5,

再根据△ABC是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可.正确理解题意并利用分类讨论的思想

解决问题是解题的关键.

【详解】解：设第三边的长为居

则3—2v%<3+2,BP/<x<5,

••.△ABC是“倍长三角形”，则:

①若2x=2,则％=/（不符合题意，舍去）；

②若2x=3,则％=1.5；

③若％=2x2,则％=4；

④若x=2x3,则x=6（不符合题意，舍去）；

综上所述，第三条边的长为/.5或4.故答案为：1.5或4.

10.如图，线段48和线段AC是三角形48C的两条边，点。在线段48上，点后在线段4c上，将三

角形ABC沿。E所在直线裁去一个角得到四边形。8CE,则四边形D8CE的周长（填“大于”，

“等于"或‘小于"）三角形4BC的周长，理由是.

【答案】小于三角形两边之和大于第三边

【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边.直接根据三角形的三边关

系解答即可.

【详解】解：•・•线段40,AE,OE是△/£）£的三条边，

・•・根据三角形的两边之和大于第三边，得OEvAO+AE,

・・・四边形OBCE的周长小于△4BC的周长.故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边.

11.己知三角形三边a、b、c的长均为整数，且aWbvc,如果b=7,则符合条件的三角形共有—

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第02讲三角形的边(解析版)

个.

【答案】21

【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差

小于第三边”进行分析计算,根据题意，Q可取的值为1、2、3、...7,由三角形的三边关系，有7<c<

7+山对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可

得答案.

【详解】根据题意，Q可取的值为1、2、3、…7,

根据三角形的三边关系，有7vcv7+a,

当。=/时，有7vcv8,则c值不存在，

当Q=2时，有7<c<9,则c=8,有1种情况，

当Q=3时，有7<c</0,则c=39,有2种情况,

当Q=4时，有7vcv〃，贝l」c=8、9、10,有3种情况，

当Q=7时，有7vcv/4,贝l」c=8、9、10…13,有6种情况，

则符合条件的三角形共有/+2+3+4+...+6=2/.故答案为：21.

12.三知△ABC的三边长分别为a,b,c.

(1)化简：\a-b-c\-\b-c-a\+\a+b-c\.

(2)若Q=2,b=5,且三角形的周长为偶数，求c的值.

【答案】(1)一a+3b—c；(2)c=5

【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是

解答此题的关键.

(1)利用三角形的三边关系得到Q—b—cvO,b-c-a<0,a+b-c>0,然后去绝对值符号后化简

即可：

(2)由Q=2,b=5,三角形的周长为偶数，求解即可求得答案.

【详解】(1)解：由三角形三边关系可知：

a—b—c<0,b—c—a<Oya+b—c>0,

原式=-a-^-b+c+b—c—a+a+b—c=—a+3b—c；

(2),/a=2,b=5,

：.3<c<7,

I三角形得周长为偶数，a+b=7为奇数，

*.c=5；

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第02讲三角形的边(解析版)

13.在学习了三角形后，老师给司学们每人准备了一根/2cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式,

制作一个三角形木框.

A-------------------B

C

X。

(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长acm,第二段的长比第一段的3倍少2cm.试判断第一段的长

能否为3cm,并说